o`u D= (x, y)∈R2 : 0≤x≤1, 0≤y≤1, x2+y2≥1

(1)

UNIVERSITE CADI AYYAD Facult´e PolyDisciplinaire de Safi

TD d’Analyse 6 Int´egrales doubles et triples

D´epartement Maths–Info.

Fili`ere SMA(S4) (A.U : 19-20)

Exercice 1. Calculer l’int´egrale double suivante : J =

Z Z

D

xy

1 +x²+y²dxdy.

o`u

D=

(x, y)∈R² : 0≤x≤1, 0≤y≤1, x²+y²≥1

. Solution 1. On peut ´ecrireD sous la forme

D=

(x, y)∈R² : 0≤x≤1, p

1−x² ≤y≤1

.

x y

0 1

1

On poseg1(x) =√

1−x² etg2(x) = 1. Les fonctionsg1 et g2 sont continues sur [0,1], alors, par le théorème de Fubini, D est une partie quarrable, de plus elle est compacte (fermée bornée). La fonction f est continue sur la partie D quarrable et compacte, elle est donc intégrable sur D. Par le théorème de Fubini et une intégration par parties, on obtient

J = Z Z

D

xy

1 +x²+y²dxdy=

1

Z

0

x

1

Z

√1−x²

y

1 +x²+y²dy

! dx

=

1

Z

0

x

"

1

2ln(1 +x²+y²)dy

#1

√1−x²

dx

=

1

Z

0

x

2 ln(2 +x²)dx−

1

Z

0

x

2ln(2)dx

= 1 4

1

Z

0

(2 +x²)⁰ln(2 +x²)dx−

1

Z

0

x

2 ln(2)dx

= 1 4

h

(2 +x²) ln(2 +x²)i1 0−

1

Z

0

2xdx

−

1

Z

0

x

2ln(2)dx

= 1 4

3 ln(3)−2 ln(2)−1−ln(2)

= 3 4ln(3

2)−1 4.

Exercice 2. Calculer l’int´egrale double suivante : J =

Z Z

D

px²+y²dxdy.

(2)

o`u

D=

(x, y)∈R² : x≥0, 1≤x²+y² ≤2y

.

x²+y² = 2y⇒x²+ (y−1)² = 1 le cercle de centre (0,1) et de rayon 1.

x y

0 1 2

1 2

D est la partie grise.

Solution 2. On applique le théorème de changement en coordonnées polaires : on pose x=rcos(θ) et y=rsin(θ). Les conditions surD donnent

rcos(θ)≥0⇒θ∈[−π 2,π

2], et

1≤r² ≤2rsin(θ)⇒1≤r≤2 sin(θ) et 2 sin(θ)≥1⇒1≤r ≤2 sin(θ) et θ≥ π 6 Ce qui donne que

1≤r ≤2 sin(θ) et θ∈[π 6,π

2].

Alors

J = Z Z

D

p2+y²dxdy =

π

Z2

π 6

2 sin(θ)

Z

1

rrdrdθ

= 1 3

π

Z2

π 6

(8 sin³(θ)−1)dθ

=−π 9 +8

3

π

Z2

π 6

(1−cos²(θ) sin(θ)dθ

=−π 9 +8

3

√ 3

Z2

0

(1−u²)du (u= cos(θ), du=−sin(θ)dθ)

=−π 9 +√

3.

Exercice 3. Calculer les deux int´egrales doubles suivantes:

I = Z Z

D

(x+y)²

x²+y²+ 1dxdy, J = Z Z

∆

(x²+y²)dxdy,

o`uD={(x, y)∈R²|x²+y²≤1}et ∆ ={(x, y)∈R²|x²+y²≤1, x≥0, y ≥0}.

(3)

Solution 3. 1. On applique le théorème de changement en coordonnées polaires : on pose x=rcos(θ) et y=rsin(θ). Les conditions surD donnent

x²+y²≤1⇒0≤r ≤1 θ∈[0,2π], donc

I = Z Z

D

(x+y)² x²+y²+ 1dxdy

=

1

Z

0 2π

Z

0

(rcos(θ) +rsin(θ))²

(rcos(θ))²+ (rsin(θ))²+ 1rdrdθ

=

1

Z

0 2π

Z

0

r³1 + sin(2θ) r²+ 1 drdθ

=

1

Z

0

r³ r²+ 1dr

2π

Z

0

(1 + sin(2θ)dθ.

Par une int´egration par parties, on a

1

Z

0

r³

r²+ 1dr =

1

Z

0

1 2r² 2r

r²+ 1dr

=

1

Z

0

1

2r²(r²+ 1)⁰ r²+ 1 dr

= 1 2

h

r²ln(1 +r²)i1 0

−

1

Z

0

2rln(1 +r²)dr

= ln(2) 2 −1

2

1

Z

0

(1 +r²)⁰ln(1 +r²)dr

= ln(2) 2 −¹₂h

(1 +r²) ln(1 +r²)i1 0−

1

Z

0

2rdr

= 1−ln(2)

2 .

On a aussi

2π

Z

0

(1 + sin(2θ)dθ= h

θ−1

2cos(2θ) i2π

0 = 2π.

D’o`u

Z Z

D

(x+y)²

x²+y²+ 1dxdy= 2π1−ln(2) 2 2. Calculons

J = Z Z

∆

(x²+y²)dxdy, o`u ∆ ={(x, y)∈R²|x²+y²≤1, x≥0, y ≥0}.

(4)

On applique le théorème de changement en coordonnées polaires : on pose x = rcos(θ) et y=rsin(θ). Les conditions surD donnent

x²+y²≤1, x≥0, y≥0⇒0≤r≤1 θ∈[0,π 2].

Donc

J = Z Z

∆

(x²+y²)dxdy

=

1

Z

0

π

Z2

0

r³drdθ=

1

Z

0

r³dr

π

Z2

0

dθ

= π 8. Exercice 4. Soit l’ensemble suivante :

D=

(x, y)∈R² :, x²+y²−2y≥0, x²+y² ≤1

. 1. Tracer D.

2. Montrer que Dest une partie quarrable.

3. Calculer l’int´egrale double suivante : J =

Z Z

D

px²+y²dxdy.

Exercice 5. Soit aun r´eel strictement positif, on d´efinit les deux ensembles suivants : K_a= [0, a]×[0, a], D_a=

(x, y)∈([0,+∞[)² :, x²+y² ≤a²

.

L’objectif de cet exercice est de calculer l’int´egrale de Gauss suivante : I =

+∞

Z

0

e^−x²dx

1. Montrer que : I = lim

a→+∞

Z Z

Ka

e^−x²^−y²dxdy.Calculer Z Z

Da

e^−x²^−y²dxdy.

2. En remarquant que Da⊂Ka⊂D_a^√₂, calculerI.

Exercice 6. Soit l’int´egrale I =

1

Z

0

ln(1 +x) 1 +x² dx.

1. Soit D le pav´e [0,1]×[0,1]. Montrer queI = Z Z

D

xdxdy (1 +x²)(1 +xy).

(5)

2. En intervertissant les rˆoles de xety, montrer que 2I =

Z Z

D

(x+y)dxdy (1 +x²)(1 +y²). 3. D´eduire la valeur de I.

Exercice 7. Calculer l’int´egrale double suivante : I =

Z Z

D

xy

(x²+y²+ 1)²dxdy, o`uD={(x, y)∈R² : x²+y²≥1, 0≤x≤1, 0≤y≤1}.

Exercice 8. Soit Dle domaine de R² D=

(x, y)∈R² : |x|+|y| ≤2

.

1. Tracer Det prouver que c’est une partie compacte quarrable deR². 2. Claculer J =

Z Z

D

dxdy.

3. Calculer I = Z Z

D

dxdy (|x|+|y|)²+ 4.

Exercice 9. Calculer les int´egrales doubles suivantes : 1. I =

Z Z

D

(yx²+y³)dxdy, avec D=

(x, y)∈R² : ¹₂ ≤x²+y²≤3, y≥0

.

2. J = Z Z

D

dxdy

2 +e^−x²^−4y², avec D=

(x, y)∈R² : x²+ 4y² ≤16, x≥0 y≥0

.

3. K = Z Z

D

(x+y)²dxdy, avecD=

(x, y)∈R² : y ≥0, x²+y²−x≤0, x²+y²−y≥0

.

Exercice 10. SoitD le domaine deR² tel que D=

(x, y)∈(]0,+∞[)² : x≤y≤2x et 1

x ≤y ≤ 2 x

. 1. Tracer D.

2. Montrer que le changement de variable φ: (u, v)∈∆7→(x= rv

u, y =√

uv)∈Doù ∆ est un domaine à déterminer, est unC¹−difféomorphisme.

3. Calculer l’aire de D.

(6)

Exercice 11. 1. Calculer A = Z Z

D

dxdy

(1 +x²)((1 +y²), o`u D = {(x, y) ∈R²|0 ≤y ≤x ≤ 1}.

2. D´emontrer la convergence des int´egrales

B =

π

Z4

0

ln(2 cos²(θ))

2 cos(2θ) dθ, C =

π

Z4

0

ln(2 sin²(θ))

2 cos(2θ) dθ, D=

1

Z

0

ln(t) 1−t²dt.

3. Montrer queA=B et calculerB+CetB−Cen fonction deD. En d´eduire les valeurs de C etD.

Exercice 12. 1. Calculer le volume d’une sph`ere deR³ de centre 0 et de rayon R.

2. Calculer les deux int´egrales triples suivantes:

I = Z Z Z

D

cos(x)dxdydz, J = Z Z Z

∆

z

px²+y²dxdydz,

o`u D={(x, y, z) ∈R³ : x²+y²+z² <1} et ∆ = {(x, y) ∈R² : x²+y² ≤a², 0<

z < a}.

Exercice 13. Calculer les deux int´egrales triples suivantes:

I = Z Z Z

D

(x+y)zdxdydz, J = Z Z Z

D

cos(x+y+ 2z+ 1)dxdydz,

o`uD={(x, y, z)∈([0,+∞[)³ : x+y+ 2z≤2}.