(1)UNIVERSITE CADI AYYAD Facult´e PolyDisciplinaire de Safi TD de probabilit´es Convergence des v.a D´epartement Maths–Info

UNIVERSITE CADI AYYAD Facult´e PolyDisciplinaire de Safi

TD de probabilit´es Convergence des v.a

D´epartement Maths–Info.

Fili`ere SMA(S6) (A.U : 19-20)

Exercice 1. SoitN une variable al´eatoire `a valeurs dansNet (X_n)n≥1 une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes int´egrables de mˆeme loi. On suppose que la suite (Xn)n≥1

est ind´ependante de la variableN. On pose

Z =







0 si N = 0,

N

P

i=1

Xi si N ≥1.

1. Montrer que Z est une variable al´eatoire.

2. Calculer E(Z) en fonction deE(N) et E(X1).

3. On suppose que les variables X_i sont de mˆeme loi de Bernoulli de param`etre p∈]0,1[

(P{X_i = 1}=p) et N suit la loi de Poisson de param`etreλ >0.

D´eterminer la loi deZ. Solution 1. 1. Soitt∈R

n Z ≤t

o

= n

Z ≤to \ Ω =

n

Z ≤to \^+∞[

n=0

n N =n

o

=

+∞

[

n=0

n

Z ≤to \ n N =n

o

=

+∞

[

n=1

nXⁿ

i=1

X_i ≤to

| {z }

∈A

\ nN =no

| {z }

∈A

[ n 0≤to

| {z }

=(∅ou Ω)∈A

\ nN = 0o

| {z }

∈A

!

∈ A

Par suite, pour tout t∈R, n

Z ≤to

∈ A(comme intersection et r´eunion d´enombrable des parties mesurables). Donc Z est une v.a.

2. Rappelons que

1 = 1Ω= 1n

S+∞

n=1{N=n}

o=

+∞

X

n=1

1{N=n}.

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E(Z) =E(Z1_Ω)

=

+∞

X

n=0

E

Z1_{N=n}

=

+∞

X

n=1

E Xⁿ

i=1

Xi1_{N=n}

=

+∞

X

n=1 n

X

i=1

E(X_i)E(1_N=n) (par ind´ependance)

=

+∞

X

n=1 n

X

i=1

E(Xi)P(N =n)

=

+∞

X

n=1 n

X

i=1

E(X1)P(N =n) (les v.a ont mˆeme lois)

=E(X₁)

+∞

X

n=1

nP(N =n)

=E(X₁)

+∞

X

n=0

nP(N =n)

=E(X1)E(N).

3. Soitk∈N. Si k= 0, alors P(Z = 0) =P(N = 0) =e^−λ. Si k∈N^∗ P(Z =k) =P((Z =k)∩Ω)

=

+∞

X

n=1

P

(

n

X

i=1

Xi=k)∩ {N =n}

=

+∞

X

n=1

P

(

n

X

i=1

X_i=k) P

N =n

=

+∞

X

n=1

P

Y =k

P

N =n

(Y =

n

X

i=1

Xi ∼ B(n, p))

=

+∞

X

n=k

C_n^kp^k(1−p)^n−kλⁿe^−λ n!

= e^−λ(λp)^k k!

+∞

X

n=k

(λ(1−p))^n−k

(n−k)! (k∈ {0,1,· · · , n}}

= e^−λ(λp)^k k! e^λ(1−p)

= e^−λp(λp)^k k!

Par suiteP((Z =k)) = e^−λp(λp)^k

k! ,∀k∈N. DoncZsuit une loi de Poisson de param`etre λp.

Remarque : On peut calculer la loi deZ en utilisant la fonction caract´eristique. Dans ce cas

ϕ_Z(t) =e^λp(eit−1)

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ϕ_Z(t) = E(e^itZ1_Ω)

= P(N = 0) +

+∞

X

n=1

E

e^itPnk=1Xk1{N=n}

= P(N = 0) +

+∞

X

n=1

E

e^itX1

n

P{N =n}

= P(N = 0) +

+∞

X

n=1

p+e^it(1−p) n

λⁿe^−λ n!

= e^−λ+e^−λ

+∞

X

n=1

λ(1−p+e^itp) n

n!

= e^−λ

+∞

X

n=0

λ(1−p+e^itp) n

n!

= e^−λe^{λ(1−p+eitp)}

= e^λp(eit−1)

Donc Z suit une loi de Poisson de param`etre λp.

Exercice 2. Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi µet N une variable al´eatoire `a valeurs dans N^∗ ind´ependante de la suite (X_n)n∈N^∗. Soit f :R→R+ une fonction mesurable. Montrer que

E X^N

k=1

f(X_k)

=E(N) Z

R

f(x)dµ(x).

Solution 2. 1.

E(

N

X

k=1

f(Xk)) =E(

N

X

k=1

f(Xk)1Ω)

=

+∞

X

n=1

E X^N

k=1

f(Xk)1{N=n}

=

+∞

X

n=1 n

X

k=1

E(f(Xk))P(N =n) (par ind´ependance puisquef est mesurable)

=

+∞

X

n=1 n

X

k=1

E(f(X1))P(N =n) (les v.a ont mˆeme lois)

=E(f(X1))

+∞

X

n=1

nP(N =n)

=E(f(X1))

+∞

X

n=0

nP(N =n)

=E(f(X₁))E(N)

=E(N) Z

R

f(x)dµ(x) (par le th´eor`eme de transfert).

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Exercice 3. Soient (X_n)n≥1, une suite de variables al´eatoires ind´ependantes identiquement distribu´ees suivant la loi de Bernoulli de param`etre ¹₂. On poseS_n=

n

X

k=1

X_k. Soitr >0.

1. Donner la limite presque sˆure, en probabilit´e et en loi de la suite (^S_nⁿ)n∈N^∗. 2. Soit f : [0,1]→Rune fonction continue. D´eduire que

n→+∞lim

n

X

k=0

C_n^k1 2

n

fk n

=f(1 2).

3. Montrer que pour tout r´eel λ >0, P

hS_n n ≥ 1

2+ri

≤P h

e^λSn≥e^nλ(12+r)i

≤

chλ 2

e^−λr n

.

4. Montrer que pour tout r´eel λ >0, P

hSn

n ≤ 1 2−r

i

≤P h

e^−λSn≥e^{−nλ(12−r)} i

≤

ch λ

2

e^−λr n

.

5. En d´eduire, en utilisant l’in´egalit´ech(x)≤e^x

2 2 , que P

h

S_n n −1

2 ≥ri

≤2e^−2nr2.

Solution 3. 1. On a, pour tout n ≥ 1, P(Xn = 1) = ¹₂ = P(Xn = 0), alors E|X₁| = 0× ¹₂ + 1× ¹₂ = ¹₂ < +∞, les v.a. (X_n)n∈N^∗ sont ind´ependantes de mˆeme loi, alors d’apr`es la loi forte des grands nombres

Sn

n

−→p.s.

n→+∞E(X1) =1 2,

et donc la convergence aura lieu en probabilit´e (on peut appliquer aussi la loi faible des grands nombres) et en loi (on peut aussi utiliser la fonction caract´eristique)

∀t∈R, ϕSn n

(t) = E(e^itSnn )

=

n

X

n=0

e^itkn P(Sn=k) =

n

X

k=0

e^itkn C_n^k(1 2)^k(1

2)^n−k

=

n

X

k=0

C_n^k(e^itn1 2)^k(1

2)^n−k

= (e^itn1 2 +1

2)ⁿ

= ( 1 2ⁿ)

e^itn + 1

n

= 1

2ⁿ

1 +it n +o(t

n) + 1 n

=

1 + it 2n+o(t

n) n

= e^{nln(1+2nit+o(nt))}

= e^{n(2nit+o(nt))} −→e^it2

n→+∞=E(e^it12) =ϕ1 2(t).

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Donc Sn

n

−→loi n→+∞

1 2,

2. Puisque ^S_nⁿ converge en loi vers ¹₂, alors, par d´efinition de la convergence en loi, pour toute fonction continue born´eeg,

n→+∞lim E h

gS_n n

i

=E(g(1

2)) =g(1 2)

En particulier, pourg=f puisque la fonctionf est continue sur un compact [0,1], donc born´ee etSn suit une loi binomialeB(n,¹₂) il viendra

n→+∞lim E(f(S_n

n ) = lim

n→+∞

n

X

k=0

fk n

P(S_n=k) = lim

n→+∞

n

X

k=0

C_n^k1 2

n

fk n

=f(1 2).

Donc

n→+∞lim

n

X

k=0

C_n^k1 2

n

fk n

=f(1 2).

3. On a, ∀λ >0 n

ω∈Ω : S_n(ω) n ≥ 1

2+r o

⊂n

ω∈Ω : e^λSn(ω)≥e^nλ(12+r) o

, et donc

P hSn

n ≥ 1 2 +r

i

≤P h

e^λSn ≥e^nλ(12+r) i

.

En utilisant l’in´egalit´e de Markov et l’ind´ependance des v.a., on obtient

P hS_n

n ≥ ¹₂ +ri

≤ E(e^λSn) e^nλ(12+r)

=

E(e^λX1)n

e^nλ(12+r)

= 1

2+¹₂e^λn

e^λ(12+r) =

1 +e^λn

2ⁿe^nλ(12+r)

= e^nλ2

e^−λ2 +e^λ2 n

2ⁿe^nλ(12+r) =

e^−λ2 +e^λ2 n

2ⁿe^nλr

=

ch

λ 2

e^−λr

n

4. De la mˆeme mani`ere, on trouve que pour tout r´eel λ >0, P

hS_n n ≤ 1

2−ri

≤P h

e^−λSn≥e^{−nλ(12−r)}i

≤

chλ 2

e^−λr n

.

5. En utilisant l’in´egalit´e ch(x)≤e^x

2

2 , on a pour toutλ >0 P

h

Sn

n −¹₂ ≥r

i

=P hSn

n ≥ ¹₂ +r i

+P hSn

n ≤ ¹₂ −r i

≤

ch

λ 2

e^−λr

n

+

ch

λ 2

e^−λr

n

= 2

ch

λ 2

e^−λr

n

≤2

e^λ

2 8 e^−λr

n

.

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On pose la fonction ψ parψ(λ) =e^λ

2

8 −λr. On a ψ⁰(λ) = (λ

4 −r)ψ(λ)

Donc ψ⁰(λ) = 0 implique que λ = 4r et la fonction atteint son minimum en λ = 4r.

D’o`u

P h

Sn

n −1 2 ≥r

i

≤2 min

λ>0

ψ(λ)

n

= 2

ψ(4r) n

= 2e^−2nr2.

Exercice 4. Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi exponentielle de param`etre 1.

1. Montrer que la suite (^X_nⁿ)n∈N^∗ converge en probabilit´e vers 0.

2. Montrer que la suite (^X_n2ⁿ)n∈N^∗ converge dansL¹ vers 0.

3. Montrer que la suite (1 n

n

X

k=1

X_k)n∈N^∗ converge presque sˆurement vers une limite que l’on d´eterminera.

4. Soit l’´ev´enementAn={ω:Xn(ω)<2 ln(n)}.

(a) On note par A l’ensemble tel que : ω∈A´equivalent `a ω appartient `a tous lesA_k sauf peut-ˆetre un nombre fini”. ´Ecrire Aavec des symboles T

etS . (b) Montrer que P(A) = 1.

Solution 4. 1. Soitε >0, on a

P(|^X_nⁿ|> ε) =P(^X_nⁿ > ε) =P(Xn> nε)

=

+∞

Z

nε

e^−xdx

=e^−nε −→0

n→+∞. Donc la suite (^X_nⁿ)n∈N^∗ converge en probabilit´e vers 0.

2. On a, par une int´egration par parties E

Xn

n²

=E

Xn

n²

= 1 n²E

Xn

= 1 n²

+∞

Z

−∞

xe^−x1_{x>0}dx= 1 n²

+∞

Z

0

xe^−xdx= 1

n² ×1 −→0

n→+∞.

Donc la suite (^X_n2ⁿ)n∈N^∗ converge dansL¹ vers 0.

Remarque : En g´en´eral, pour une v.a. X qui suit une loi exponentielle de param`etre λ,E(X) = _λ¹.

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3. On aE|X₁|= 1<+∞et (X_n)n∈N^∗une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi, alors d’apr`es la loi forte des grands nombres

1 n

n

X

k=1

X_k −→^p.s.

n→+∞E(X1) = 1 4. (a) On a

A= [

n≥0

\

k≥n

A_k= limA_n. (b) On a

+∞

X

n=0

P(A^c_n) =

+∞

X

n=0

P({X_n>2 ln(n)})

=

+∞

X

n=0 +∞

Z

2 ln(n)

e^−x1{x>0}}dx

=

+∞

X

n=0 +∞

Z

2 ln(n)

e^−xdx

=

+∞

X

n=0

e^{−2 ln(n)}

=

+∞

X

n=0

1

n² <+∞, alors d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli

P(limA^c_n) = 0.

Par cons´equent

P(A) =P(limA_n) = 1−P h

limA_nci

= 1−P

limA^c_n

= 1.

Exercice 5. Soit (X_n)n≥1 une suite de variables al´eatoires ind´ependantes identiquement distribu´ees suivant la loi normale N(0,1).

1. Soit a∈R. Donner la loi deY =aX₁ et calculer sa fonction caract´eristiqueϕ_Y. 2. On note, pour tout n∈N^∗,Sn=

n

X

k=1

X_k. (a) Quelle est la loi de Sn.

(b) Calculer l’esp´erance de Yn=e^Sn−n2.

(c) D´eterminer la limite presque sˆure, lorsque ntend vers +∞, de Sn

n . (d) En d´eduire la limite presque sˆure, lorsque ntend vers +∞, de Yn.

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Solution 5. 1. Soitf ∈C_b⁺(R), on a par le th´eor`eme de transfert

E(f(Y) =E(f(aX) =

+∞

Z

−∞

f(ax) 1

√ 2πe^−x

2 2 dx=

+∞

Z

−∞

f(x) 1

√ 2πe^−x

2 2a2 dx

a ,

et donc la loi de Y est donn´ee par dPY(x) = 1

√2πae^−x

2

2a2dx. Ce qui donne que Y suit une loi normale,Y ∼ N(0, a²),(V ar(aX) =a²V ar(X) =a²).

2. (a) La loi S_n : soit t∈R

ϕ_Sn(t) =E

e^{it(X1+···+Xn)}

=

n

Y

k=1

E

e^itXk

=

E h

e^itX1 in

=e^−nt

2 2 =e⁻⁽

√n)2t2

2 .

Donc Sn∼ N(0, n).

(b) On a, par ind´ependance

E(Y_n) =E(e^Sn−n2) =e⁻ⁿ²E(e^Sn) =e⁻ⁿ²

n

Y

k=1

E

e^X1

=e⁻ⁿ²

E(e^X1)n

,

or

E(e^X1) =

+∞

Z

−∞

e^x 1

√2πe^−x

2

2 dx=e¹²

+∞

Z

−∞

√1

2πe^{−12(x−1)2}dx=e¹²

+∞

Z

−∞

√1

2πe^−12x2dx=e¹², alors

E(Yn) =e⁻ⁿ²eⁿ² = 1.

(c) On a E|X₁| = 0 < +∞ et (Xn)n∈N^∗ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi, alors d’apr`es la loi forte des grands nombres

S_n n

−→p.s.

n→+∞E(X1) = 0.

(d) On a

ln(Y_n) =S_n−n

2 =nS_n n − 1

2 _p.s.

n→+∞−→ −∞, et donc

Y_n −→^p.s.

n→+∞0.

Exercice 6. Soit (X_n)n∈N^∗ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de loi de Poisson de param`etre 1.

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1. On poseS_n=

n

X

k=1

X_k. D´eterminer la loi deS_n, puis donner la limite presque sˆure et en probabilit´e de la la suite (^S_nⁿ)n∈N^∗ .

2. On poseYn= Sn−n

√n . Montrer que (Yn)n∈N^∗ converge en loi vers une variable al´eatoire Y dont on donnera la loi.

3. Soit f :R−→Rune fonction continue born´ee. Montrer que

n→+∞lim e⁻ⁿ

∞

X

k=0

f(k−n

√n )n^k k! = 1

√2π

+∞

Z

−∞

f(x)e^−x

2 2 dx.

Solution 6. 1. Soitt∈R, on a

ϕ_X1(t) = E(e^itX1) = Z

R

e^itxdPX1(x)

=

+∞

X

k=0

e^itkP(X₁=k) =e⁻¹

+∞

X

k=0

e^itk k!

= =e⁻¹

+∞

X

k=0

e^itk

k! =e⁻¹e^eit =e^(eit−1). Soit t∈R, on a par ind´ependance

∀t∈R, ϕ_Sn(t) = E(e^itSn) =E

e^itPni=1Xi

= E

e^itX1· · ·e^itXn

=

n

Y

i=1

E

e^itXi

=

n

Y

i=1

E

e^itX1

=

n

Y

i=1

ϕ_X1(t) = (ϕ_X1(t))ⁿ

= e^n(eit−1).

Donc Sn suit une loi de Poisson P(n) de param`etre n. On a E(X1) = 1 < +∞ et (X<sub>n</sub>)n∈N<sup>∗</sup> une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi, alors d’apr`es la loi forte des grands nombres

Sn

n

−→p.s.

n→+∞E(X1) = 1, donc aussi

Sn

n

−→P

n→+∞E(X1) = 1.

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2. On aE(X₁²) = 2<+∞et (X_n)n∈N^∗une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi, alors d’apr`es le th´eor`eme central limite

Yn= Sn−n

√n

−→loi n→+∞Y, o`uY est une v.a. qui suit la loi normale N(0, V ar(X1) = 1)

3. Soit f :R−→Rune fonction continue born´ee, d’apr`es la question pr´ec´edente

n→+∞lim E(f(S_n−n

√n ) =E(f(Y)) = 1

√2π

+∞

Z

−∞

f(x)e^−x

2 2 dx.

Comme S_n suit une loi de Poisson P(n) de param`etre n, alors par le th´eor`eme de transfert

E(f(S_n−n

√n ) =

∞

X

k=0

f(k−n

√n )P(S_n=k) =e⁻ⁿ

∞

X

k=0

f(k−n

√n )n^k k!. D’o`u

n→+∞lim e⁻ⁿ

∞

X

k=0

f(k−n

√n )n^k k! = 1

√2π

+∞

Z

−∞

f(x)e^−x

2 2 dx.

Exercice 7. (Formule de Stirling)

1. SoitZune variable al´eatoire r´eelle de carr´e int´egrable sur un espace probabilis´e (Ω,F,P).

Montrer que pour tout a >0, on a : (a) E|Z−min(Z, a)| ≤E[Z1{Z≥a}].

(b) E|Z−min(Z, a)| ≤(E[Z]²)¹²(P[Z ≥a])¹².

Soit (Xn)n∈N^∗une suite de variables al´eatoires r´eelles sur un espace probabilis´e (Ω,F,P).

On suppose maintenant que (X_n)n∈N^∗ sont ind´ependantes et de mˆeme loi de Poisson P(1). On pose S_n=

n

X

k=1

X_k etY_n= S_n−n

√n . 2. Calculer la loi de S_n,E(S_n) et V ar(S_n).

3. Montrer que (Y_n)n∈N^∗ converge en loi vers une variable al´eatoire Y dont on donnera la loi.

Soit x∈R.On poseh(x) = max(−x,0).

4. (a) Montrer queh(Y_n)n∈N^∗converge en loi vers une variable al´eatoire qu’on d´eterminera.

(b) En d´eduire que

n→+∞lim E[min(h(Yn), a)−min(h(Y), a)] = 0.

5. (a) Calculer E(Y_n)². En d´eduire que pour tout a >0, on a P[h(Y_n)≥a]≤ 1 a².

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(b) En d´eduire que pour tout a >0, E|h(Y_n)−min(h(Y_n), a)| ≤ 1 a. 6. Soit a >0 fix´e. Montrer queP[h(Y)≥a]≤ 1

a². En d´eduire que E|min(h(Y), a)−h(Y)| ≤ 1

a. 7. En d´eduire, de ce qui pr´ec`ede, que lim

n→+∞E(h(Y_n)) =E(h(Y)).

8. Calculer E(h(Y_n)) etE(h(Y)) pour tout n≥1.

9. En d´eduire la formule de Stirling :

n→+∞lim

e⁻ⁿnⁿ√ n

n! = 1

√2π, i.e.n! ∼

+∞

√

2πe⁻ⁿnⁿ√ n.