D´eterminer la loi deZ

(1)

UNIVERSITE CADI AYYAD Facult´e PolyDisciplinaire de Safi

TD de probabilit´es Convergence des v.a

D´epartement Maths–Info.

Fili`ere SMA(S6) (A.U : 19-20)

Exercice 1. SoitN une variable aléatoire à valeurs dansNet (X_n)n≥1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes intégrables de même loi. On suppose que la suite (Xn)n≥1

est ind´ependante de la variableN. On pose

Z =







0 si N = 0,

N

P

i=1

Xi si N ≥1.

1. Montrer que Z est une variable al´eatoire.

2. Calculer E(Z) en fonction deE(N) et E(X1).

3. On suppose que les variables X_i sont de mˆeme loi de Bernoulli de param`etre p∈]0,1[

(P{X_i = 1}=p) et N suit la loi de Poisson de param`etreλ >0.

D´eterminer la loi deZ. Solution 1. 1. Soitt∈R

n Z ≤t

o

= n

Z ≤to \ Ω =

n

Z ≤to \^+∞[

n=0

n N =n

o

=

+∞

[

n=0

n

Z ≤to \ n N =n

o

=

+∞

[

n=1

nXⁿ

i=1

X_i ≤to

| {z }

∈A

\ nN =no

| {z }

∈A

[ n 0≤to

| {z }

=(∅ou Ω)∈A

\ nN = 0o

| {z }

∈A

!

∈ A

Par suite, pour tout t∈R, n

Z ≤to

∈ A(comme intersection et r´eunion d´enombrable des parties mesurables). Donc Z est une v.a.

2. Rappelons que

1 = 1Ω= 1n

S+∞

n=1{N=n}

o=

+∞

X

n=1

1{N=n}.

(2)

E(Z) =E(Z1_Ω)

=

+∞

X

n=0

E

Z1_{N_=n}

=

+∞

X

n=1

E Xⁿ

i=1

Xi1_{N_=n}

=

+∞

X

n=1 n

X

i=1

E(X_i)E(1_N=n) (par ind´ependance)

=

+∞

X

n=1 n

X

i=1

E(Xi)P(N =n)

=

+∞

X

n=1 n

X

i=1

E(X1)P(N =n) (les v.a ont mˆeme lois)

=E(X₁)

+∞

X

n=1

nP(N =n)

=E(X₁)

+∞

X

n=0

nP(N =n)

=E(X1)E(N).

3. Soitk∈N. Si k= 0, alors P(Z = 0) =P(N = 0) =e^−λ. Si k∈N^∗ P(Z =k) =P((Z =k)∩Ω)

=

+∞

X

n=1

P

(

n

X

i=1

Xi=k)∩ {N =n}

=

+∞

X

n=1

P

(

n

X

i=1

X_i=k) P

N =n

=

+∞

X

n=1

P

Y =k

P

N =n

(Y =

n

X

i=1

Xi ∼ B(n, p))

=

+∞

X

n=k

C_n^kp^k(1−p)^n−kλⁿe^−λ n!

= e^−λ(λp)^k k!

+∞

X

n=k

(λ(1−p))^n−k

(n−k)! (k∈ {0,1,· · · , n}}

= e^−λ(λp)^k k! e^λ(1−p)

= e^−λp(λp)^k k!

Par suiteP((Z =k)) = e^−λp(λp)^k

k! ,∀k∈N. DoncZsuit une loi de Poisson de param`etre λp.

Remarque : On peut calculer la loi deZ en utilisant la fonction caract´eristique. Dans ce cas

ϕ_Z(t) =e^λp(e^it⁻¹⁾

(3)

ϕ_Z(t) = E(e^itZ1_Ω)

= P(N = 0) +

+∞

X

n=1

E

e^it^Pⁿ^k=1^X^k1{N=n}

= P(N = 0) +

+∞

X

n=1

E

e^itX¹

n

P{N =n}

= P(N = 0) +

+∞

X

n=1

p+e^it(1−p) n

λⁿe^−λ n!

= e^−λ+e^−λ

+∞

X

n=1

λ(1−p+e^itp) n

n!

= e^−λ

+∞

X

n=0

λ(1−p+e^itp) n

n!

= e^−λe^λ(1−p+e^it^p)

= e^λp(e^it⁻¹⁾

Donc Z suit une loi de Poisson de param`etre λp.

Exercice 2. Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi µet N une variable aléatoire à valeurs dans N^∗ indépendante de la suite (X_n)n∈N^∗. Soit f :R→R+ une fonction mesurable. Montrer que

E X^N

k=1

f(X_k)

=E(N) Z

R

f(x)dµ(x).

Solution 2. 1.

E(

N

X

k=1

f(Xk)) =E(

N

X

k=1

f(Xk)1Ω)

=

+∞

X

n=1

E X^N

k=1

f(Xk)1{N=n}

=

+∞

X

n=1 n

X

k=1

E(f(Xk))P(N =n) (par ind´ependance puisquef est mesurable)

=

+∞

X

n=1 n

X

k=1

E(f(X1))P(N =n) (les v.a ont mˆeme lois)

=E(f(X1))

+∞

X

n=1

nP(N =n)

=E(f(X1))

+∞

X

n=0

nP(N =n)

=E(f(X₁))E(N)

=E(N) Z

R

f(x)dµ(x) (par le th´eor`eme de transfert).

(4)

Exercice 3. Soient (X_n)n≥1, une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la loi de Bernoulli de paramètre ¹₂. On poseS_n=

n

X

k=1

X_k. Soitr >0.

1. Donner la limite presque sûre, en probabilité et en loi de la suite (^S_nⁿ)n∈N^∗. 2. Soit f : [0,1]→Rune fonction continue. Déduire que

n→+∞lim

n

X

k=0

C_n^k 1

2 n

f k

n

=f(1 2).

3. Montrer que pour tout r´eel λ >0, P

hSn

n ≥ 1 2+r

i

≤P h

e^λSⁿ≥e^nλ(¹²^+r) i

≤

ch λ

2

e^−λr n

.

4. Montrer que pour tout r´eel λ >0, P

hSn

n ≤ 1 2−r

i

≤P h

e^−λSⁿ≥e^−nλ(¹²^−r) i

≤

ch λ

2

e^−λr n

.

5. En déduire, en utilisant l’inégalitéch(x)≤e^x

2 2 , que P

h

Sn

n −1 2 ≥ri

≤2e^−2nr².

Exercice 4. Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1.

1. Montrer que la suite (^X_nⁿ)n∈N^∗ converge en probabilit´e vers 0.

2. Montrer que la suite (^X_n2ⁿ)n∈N^∗ converge dansL¹ vers 0.

3. Montrer que la suite (1 n

n

X

k=1

X_k)n∈N^∗ converge presque sˆurement vers une limite que l’on d´eterminera.

4. Soit l’´ev´enementA_n={ω:X_n(ω)<2 ln(n)}.

(a) On note par A l’ensemble tel que : ω∈Aéquivalent à ω appartient à tous lesA_k sauf peut-être un nombre fini”. Ecrire Aavec des symboles T

etS . (b) Montrer que P(A) = 1.

Exercice 5. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la loi normale N(0,1).

1. Soit a∈R. Donner la loi deY =aX1 et calculer sa fonction caract´eristiqueϕY. 2. On note, pour tout n∈N^∗,Sn =

n

X

k=1

Xk.

(5)

(a) Quelle est la loi de S_n.

(b) Calculer l’esp´erance de Yn=e^Sⁿ⁻ⁿ².

(c) Déterminer la limite presque sûre, lorsque ntend vers +∞, de S_n n . (d) En déduire la limite presque sûre, lorsque ntend vers +∞, de Yn.

Exercice 6. Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1.

1. On poseSn=

n

X

k=1

X_k. Déterminer la loi deSn, puis donner la limite presque sûre et en probabilité de la la suite (^S_nⁿ)n∈N^∗ .

2. On poseY_n= Sn−n

√n . Montrer que (Y_n)n∈N^∗ converge en loi vers une variable al´eatoire Y dont on donnera la loi.

3. Soit f :R−→Rune fonction continue born´ee. Montrer que

n→+∞lim e⁻ⁿ

∞

X

k=0

f(k−n

√n )n^k k! = 1

√2π

+∞

Z

−∞

f(x)e⁻^x

2 2 dx.

Exercice 7. (Formule de Stirling)

1. SoitZune variable aléatoire réelle de carré intégrable sur un espace probabilisé (Ω,F,P).

Montrer que pour tout a >0, on a : (a) E|Z−min(Z, a)| ≤E[Z1{Z≥a}].

(b) E|Z−min(Z, a)| ≤(E[Z]²)¹²(P[Z ≥a])¹².

Soit (X_n)n∈N^∗une suite de variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé (Ω,F,P).

On suppose maintenant que (Xn)n∈N^∗ sont ind´ependantes et de mˆeme loi de Poisson P(1). On pose Sn=

n

X

k=1

Xk etYn= Sn−n

√n . 2. Calculer la loi de Sn,E(Sn) et V ar(Sn).

3. Montrer que (Y_n)n∈N^∗ converge en loi vers une variable al´eatoire Y dont on donnera la loi.

Soit x∈R.On poseh(x) = max(−x,0).

4. (a) Montrer queh(Y_n)n∈N^∗converge en loi vers une variable al´eatoire qu’on d´eterminera.

(b) En d´eduire que

n→+∞lim E[min(h(Y_n), a)−min(h(Y), a)] = 0.

5. (a) Calculer E(Y_n)². En d´eduire que pour tout a >0, on a P[h(Y_n)≥a]≤ 1 a².

(6)

(b) En d´eduire que pour tout a >0, E|h(Y_n)−min(h(Y_n), a)| ≤ 1 a. 6. Soit a >0 fix´e. Montrer queP[h(Y)≥a]≤ 1

a². En d´eduire que E|min(h(Y), a)−h(Y)| ≤ 1

a. 7. En déduire, de ce qui précède, que lim

n→+∞E(h(Y_n)) =E(h(Y)).

8. Calculer E(h(Y_n)) etE(h(Y)) pour tout n≥1.

9. En d´eduire la formule de Stirling :

n→+∞lim

e⁻ⁿnⁿ√ n n! = 1

√2π, i.e.n! ∼

+∞

√

2πe⁻ⁿnⁿ√ n.