Soit X 1 et X 2 deux variables al´ eatoires ind´ ependantes toutes les deux de loi normale centr´ ee r´ eduite. On pose X T = (X 1 X 2 ). Soit θ ∈]0, 2π] on pose

(1)

L3 MAPI3 2014–2015

TD 7. Int´ egration et Probabilit´ es

1 Rotation

Soit X ₁ et X ₂ deux variables al´ eatoires ind´ ependantes toutes les deux de loi normale centr´ ee r´ eduite. On pose X ^T = (X 1 X 2 ). Soit θ ∈]0, 2π] on pose

A(θ) =

cos θ − sin θ sin θ cos θ

et Y (θ) = A(θ)X.

1) Montrer que, pour θ ∈]0, 2π], Y (θ) est un vecteur gaussien. Pr´ eciser sa moyenne et sa matrice de covariance.

2) Si u est un vecteur de R ² , kuk d´ esigne sa norme euclidienne. Montrer que, pour θ ∈]0, 2π], kY (θ)k ² suit une loi du Khi2.

3) Quelle est la loi de la variable al´ eatoire

Z = 1 2

(X 1 + X 2 ) ² + (X 1 − X 2 ) ²

?

2 Projection

Soit n un entier naturel non nul et X ₁ , . . . , X _n des variables ind´ ependantes et identi- quement distribu´ ees de loi N (m, σ ² ) (m ∈ R , σ > 0). On pose X n := n ⁻¹ P n

j=1 X j et S _n ² := (n − 1) ⁻¹ P n

j=1 (X j − X n ) ² .

1. On suppose que m = 0 et σ = 1. Montrer que X n et S _n ² sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes. Quelles sont les lois de √

nX _n et (n − 1)S _n ² . Quelle est la loi de

√ n(n−1)X

n

S

n

?

2. Reprendre la question pr´ ec´ edente dans le cas g´ en´ eral en consid´ erant

√ n

σ (X _n − m) et ⁽ⁿ⁻¹⁾ _σ

2

S _n ² . Que valent l’esp´ erance et la variance de X _n et de S _n ² . A quoi pourraient servir ces quantit´ es ?

3. On ne suppose plus les variables X 1 , . . . , X n de loi gaussienne mais seulement qu’elles sont ind´ ependantes et ´ equidistribu´ ees. Montrer que si l’on suppose que les variables al´ eatoires X _n et S _n ² sont ind´ ependantes alors la loi de X ₁ est gaussienne.

3 Pr´ ediction

Soit

X = X ₁

X 2

un vecteur gaussien centr´ e de R ⁿ (n ≥ 2). On suppose que X ₁ est un vecteur de taille n ₁ > 0 et que X ₂ est un vecteur de taille n ₂ > 0 avec n ₁ + n ₂ = n. Soit Γ _i la matrice de covariance de X _i (i = 1, 2) et R la matrice de taille n ₁ × n ₂ contenant les covariances entre les composantes de X ₁ et X ₂ .

1. Montrer que X 1 et X 2 sont des vecteurs gaussiens. Pr´ eciser leur loi.

(2)

2. Quelle est la matrice de variance covariance de X ?

3. On observe X 2 et l’on cherche ` a pr´ edire X 1 . Si X c 1 est un pr´ edicteur de X 1 son risque est

mesur´ e ` a l’aide de E kX ₁ − X c ₁ k ² . D´ eterminer le pr´ edicteur lin´ eaire de risque minimum.

Soit X 1 et X 2 deux variables al´ eatoires ind´ ependantes toutes les deux de loi normale centr´ ee r´ eduite. On pose X T = (X 1 X 2 ). Soit θ ∈]0, 2π] on pose

L3 MAPI3 2014–2015

TD 7. Int´ egration et Probabilit´ es

1 Rotation

Soit X 1 et X 2 deux variables al´ eatoires ind´ ependantes toutes les deux de loi normale centr´ ee r´ eduite. On pose X T = (X 1 X 2 ). Soit θ ∈]0, 2π] on pose

A(θ) =

cos θ − sin θ sin θ cos θ

et Y (θ) = A(θ)X.

1) Montrer que, pour θ ∈]0, 2π], Y (θ) est un vecteur gaussien. Pr´ eciser sa moyenne et sa matrice de covariance.

2) Si u est un vecteur de R 2 , kuk d´ esigne sa norme euclidienne. Montrer que, pour θ ∈]0, 2π], kY (θ)k 2 suit une loi du Khi2.

3) Quelle est la loi de la variable al´ eatoire

Z = 1 2

(X 1 + X 2 ) 2 + (X 1 − X 2 ) 2

?

2 Projection

Soit n un entier naturel non nul et X 1 , . . . , X n des variables ind´ ependantes et identi- quement distribu´ ees de loi N (m, σ 2 ) (m ∈ R , σ > 0). On pose X n := n −1 P n

j=1 X j et S n 2 := (n − 1) −1 P n

j=1 (X j − X n ) 2 .

1. On suppose que m = 0 et σ = 1. Montrer que X n et S n 2 sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes. Quelles sont les lois de √

nX n et (n − 1)S n 2 . Quelle est la loi de

√ n(n−1)X

S

?

2. Reprendre la question pr´ ec´ edente dans le cas g´ en´ eral en consid´ erant

√ n

σ (X n − m) et (n−1) σ

S n 2 . Que valent l’esp´ erance et la variance de X n et de S n 2 . A quoi pourraient servir ces quantit´ es ?

3. On ne suppose plus les variables X 1 , . . . , X n de loi gaussienne mais seulement qu’elles sont ind´ ependantes et ´ equidistribu´ ees. Montrer que si l’on suppose que les variables al´ eatoires X n et S n 2 sont ind´ ependantes alors la loi de X 1 est gaussienne.

3 Pr´ ediction

Soit

X = X 1

X 2

1. Montrer que X 1 et X 2 sont des vecteurs gaussiens. Pr´ eciser leur loi.

2. Quelle est la matrice de variance covariance de X ?

3. On observe X 2 et l’on cherche ` a pr´ edire X 1 . Si X c 1 est un pr´ edicteur de X 1 son risque est

mesur´ e ` a l’aide de E kX 1 − X c 1 k 2 . D´ eterminer le pr´ edicteur lin´ eaire de risque minimum.

Soit X ₁ et X ₂ deux variables al´ eatoires ind´ ependantes toutes les deux de loi normale centr´ ee r´ eduite. On pose X ^T = (X 1 X 2 ). Soit θ ∈]0, 2π] on pose

2) Si u est un vecteur de R ² , kuk d´ esigne sa norme euclidienne. Montrer que, pour θ ∈]0, 2π], kY (θ)k ² suit une loi du Khi2.

(X 1 + X 2 ) ² + (X 1 − X 2 ) ²

Soit n un entier naturel non nul et X ₁ , . . . , X _n des variables ind´ ependantes et identi- quement distribu´ ees de loi N (m, σ ² ) (m ∈ R , σ > 0). On pose X n := n ⁻¹ P n

j=1 X j et S _n ² := (n − 1) ⁻¹ P n

j=1 (X j − X n ) ² .

1. On suppose que m = 0 et σ = 1. Montrer que X n et S _n ² sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes. Quelles sont les lois de √

nX _n et (n − 1)S _n ² . Quelle est la loi de

σ (X _n − m) et ⁽ⁿ⁻¹⁾ _σ

S _n ² . Que valent l’esp´ erance et la variance de X _n et de S _n ² . A quoi pourraient servir ces quantit´ es ?

3. On ne suppose plus les variables X 1 , . . . , X n de loi gaussienne mais seulement qu’elles sont ind´ ependantes et ´ equidistribu´ ees. Montrer que si l’on suppose que les variables al´ eatoires X _n et S _n ² sont ind´ ependantes alors la loi de X ₁ est gaussienne.

X = X ₁

mesur´ e ` a l’aide de E kX ₁ − X c ₁ k ² . D´ eterminer le pr´ edicteur lin´ eaire de risque minimum.