X – MAP
PC – juin – Te s, e imateurs du maximum de vraisemblance et vampires
Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr
E xercice 1. (Retour sur le th´eor`eme de Fubini, Th´eor`eme..du poly) () SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dansN={,,, . . .}. Montrer que
E[X] =
∞
X
i=
P(X≥i).
Indication.On pourra ´ecrire queP(X≥i) =E[1X≥i] et intervertir somme et esp´erance.
() SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dansR+. Montrer que E[X] =
Z ∞
P(X≥u)du.
Indication.On pourra ´ecrireP(X≥u) =E[1X≥u] et intervertir int´egrale et esp´erance.
() Application. Soient (Xi)≤i≤n des varables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi exponentielle de param`etreλ. CalculerE[max(X, . . . , Xn)].
Te s
E xercice 2. SoitX= (X, . . . , Xn) un ´echantillon de taillende variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi exponentielle de param`etre/θ >avecθinconnu. Soitθ>etα∈],[. On pose Sn=X+· · ·+Xn.
On souhaite teerH={θ=θ}contreH={θ > θ}au niveauα.
() Rappeler pourquoiSnsuit une loiΓ(n,θ).
() D´emontrer que sousH,
Zn=Sn
θ
suit une loi duχ `a un nombre de de degr´es de libert´ednqu’on pr´ecisera.
On rappelle qu’une loi du χ `a d degr´es de libert´e e la loi de la somme des carr´es de d gaussiennes centr´ees r´eduites ind´ependantes, et qu’une densit´e de cette loi e
dΓ(d/)td−e−t1t≥.
On rappelle que la densit´e de la loiΓ(a, λ)e Γ(a)λaxa−e−λx1x>. () En d´eduire une r´egion de rejet de la forme
Wn={Sn≥c}
avecc une conante qu’on exprimera en fonion deθetz−α, le quantile d’ordre−α de la loi duχ `adndegr´es de libert´e.
Remarque : Il epossible de d´emontrer que cette r´egion de rejet fournit le teuniform´ement le plus puissant parmi les tes de niveauαdeH={θ=θ}contreH={θ > θ}(c’e-`a-dire que n’importe quelle autre r´egion de rejet au niveau α va donner un teavec une erreur de seconde esp`ece plus grande que le tequ’on vient de conruire).
() On suppose que θ e le temps moyen d’attente du RER B `a la gare de Loz`ere. Une association d’usagers et la RATP souhaitent teer si le RER B respee un temps d’attente moyen d’au plusθ=min. Tee-t-on
H={θ≤θ}contreH={θ > θ} ou H={θ≥θ}contreH={θ < θ}?
E imateurs du maximum de vraisemblance
E xercice 3. La hauteur maximale en m`etres de la crue annuelle d’un fleuve emod´elis´ee par une variable al´eatoire de Rayleigh de param`etreaqui a pour densit´e :
f(x) =x
ae−xa1x≥
o `uaeun param`etre inconnu.
() D´eterminer l’esimateur du maximum de vraisemblancebandea.
() SiXsuit une loi de Rayleigh de param`etrea, d´emontrer queXsuit une loi exponentielle de param`etre/(a).
() L’eimateurbane-il sans biais ?
() Trouver un intervalle de confiance asymptotique pouraau niveau%.
On rappelle que la variance d’une loi exponentielle de param`etreλe/λ.
() Une compagnie d’assurance eime qu’une catarophe correspond `a une crue de plus de m. Trouver un intervalle de confiance asymptotique pour la probabilit´e p qu’une catarophe se produise durant une ann´ee au niveau%.
Plus appliqu´e
E xercice 4. Une colonie de vampires a ´elu domicile dans un chˆateau des Carpates, et le comte Drakul souhaite eimer leur nombre. Pour cela, une nuit de pleine lune, le comte en capture
, leur mord les oreilles, puis les relˆache. La nuit suivante, il en captureau hasard. Trois ont une morsure aux oreilles.
Aidez le comte Drakul en utilisant un eimateur du maximum de vraisemblance.
Pour aller plus loin
E xercice 5. (Prolongement de l’exercice) SoitX une variable al´eatoire r´eelle etf :R→R+ une fonion croissanteC telle que lim−∞f =. Montrer que
E[f(X)] = Z ∞
−∞
f0(u)P(X≥u)du.
Le r´esultat ree-t-il vrai si lim−∞f ,?
E xercice 6. D´emontrer qu’il n’epas possible de truquer deux d´es ind´ependants de fac¸on `a ce que la somme des points obtenus en les lanc¸ant ind´ependamment suive la loi uniforme sur l’ensemble{,,, . . . ,}.
Indication.On pourra noter U etV deux variables al´eatoires ind´ependantes `a valeurs dans {,, . . . ,}, supposer queS =U+V suit la loi uniforme sur{,, . . . ,}et exploiter le fait que E
hxSi
=E hxUi
·E hxVi
.
E xercice 7. Le but de cet exercice ed’´etudier le nombre de triangles dans un graphe al´eatoire d’Erd¨os-R´enyi en utilisant les m´ethodes du premier et du second moment.
Soitn≥un entier etpn∈[,]. Par d´efinition, une arˆete eun ensemble de la forme{i, j} aveci, j∈ {,, . . . , n}eti,j; un triangle eun ensemble de la forme{i, j, k}aveci, j, k∈ {, . . . , n} et o `ui, j, k sont deux `a deux diff´erents.
() Combien y a-t-il d’arˆetes dans{, . . . , n}? Combien y a-t-il de triangles ?
On note A l’ensemble des arˆetes etT l’ensemble des triangles. On consid`ere des variables al´eatoires (Xe)e∈Aind´ependantes de mˆeme loi de Bernoulli de param`etrepn. SiXe=, on colorie l’arˆetee, et siXe=, on ne colorie pas l’arˆetee. On dit qu’un trianglet={i, j, k}ecolori´e si ses trois arˆetes{i, j},{j, k}et{i, k}sont colori´ees. On noteNnle nombre de triangles colori´es.
Pour tout trianglet, on consid`ere la variable al´eatoireItqui vautsitecolori´e etsinon.
() CalculerE[It] et Var(It) pour tout trianglet.
() En remarquant que Nn=P
t∈TIt,calculerE[Nn].
() On suppose quen·pn→lorsquen→ ∞. Montrer queP(Nn=)→.
() SoitXune variable al´eatoire positive dont le carr´e eint´egrable. Montrer queP(X=)≤
Var(X) E[X].
() Quel nombre de mani`eres de choisir un couple de deux triangles (t, t) tels quet ett ont exaement une arˆete en commun ?
() Montrer que, sit ett0 sont deux triangles qui partagent une seule arˆete commune, alors Cov(It, It0)≤pn.
() On suppose quen·pn→ ∞lorsquen→ ∞. Montrer queP(Nn=)→.
