E xercice 1. SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes gaussiennes centr´ees r´eduites.

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Ve eurs de variables al´eatoires

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

 M´ethode de la fon ion muette (pour des ve eurs de v.a.)

E ^{xercice 1.}

^SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes gaussiennes centr´ees r´eduites.

D´eterminer la loi de X+Y√

 ,^X√−_^Y

.

E ^{xercice 2.}

^SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes gaussiennes centr´ees r´eduites.

D´eterminer la loi deX/Y.

E ^{xercice 3.}

^(Pale) SoientX etY deux variables al´eatoires ind´ependantes de lois respec- tivesΓ(α, λ) etΓ(α+/, λ), avecα >etλ >. On pose (V , W) = (

√ XY ,

√

Y). D´eterminer la loi de (V , W).

On rappelle que la densit´e de la loiΓ(a, λ) e(c.f. Seion..du poly)



Γ(a)λ^ax^a−e^−λx1_x>, avec Γ(a) = Z ^∞

 z^a−e^−zdz.

 M´ethode de rejet

E ^{xercice 4.}

Une personne d´ecide de vendre sa maison au premier acheteur qui fera une offre sup´erieure ou ´egale `a s euros. On suppose que les offres (X_, X_, . . .) sont ind´ependantes et suivent la mˆeme loi qu’une variable al´eatoireX.

() SoitN ≥le nombre d’offres n´ecessaires pour vendre la maison.Quelle ela loi deN? () D´eterminer la loi du prix de venteX_N de la maison, et montrer que le prix de vente e

ind´ependant deN.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



 Lois conditionnelles

E ^{xercice 5.}

^{Soit (X, Y}) un couple de variables al´eatoires r´eelles `a densit´e surR^tel que : – X suit une loiΓ(, λ) (de densit´ef_X(x) =λ^xe^−λx1x≥),

– la loi conditionnelle de Y sachant X e la loi uniforme sur le segment [, X] (ou, en d’autres termes, la densit´e conditionnelle deY sachant queX=xefY|X=x(y) = ^_x1<y<x).

() D´eterminer la densit´e de (X, Y) ainsi que la loi deY. () Calculer la densit´e conditionnelle deXsachant Y. () Calculer les quantit´es suivantes :

(a) E[Y|X], (b) E[X|Y],

(c) E[X+XY|Y],

(d) E[E[Y|X]],

(e) E[XY] (on pourra utiliser le fait que E[X^] = _λ^).

E ^{xercice 6.}

^{Soit (X, Y}) un couple de variables al´eatoires r´eelles `a densit´e surR^. On suppose queXetY sont ind´ependantes.

() Montrer que

E[X|Y] =E[X].

() Plus g´en´eralement, montrer queE[h(X, Y)|X] =Φ(X), avec Φ(x) =E[h(x, Y)].

E ^{xercice 7.}

^{Soient X}, . . . , X_n des variables al´eatoires exponentielles ind´ependantes de mˆeme param`etreλ >avecn≥. On poseS_n=X_+· · ·+X_n.

() Identifier la loi deS_ncomme une loi (presque) classique.

() Trouver la densit´e conditionnelle deX_sachant queS_n=t.

() En d´eduire la valeur de l’esp´erance conditionnelle de X_ sachant S_n. Pouvait-on pr´evoir ce r´esultat ?

 Ve eurs gaussiens

E ^{xercice 8.}

^{SoitX= (X, X, X}) un veeur gaussien centr´e de matrice de covariance Γ =













  

  

  















() Que peut-on dire deX_ et de (X_, X_) ? () Quelle ela loi de (X_, X_) ?

() Montrer que pour touta∈Rle veeur (X_, X_+aX_) eun veeur gaussien.

() En choisissantade sorte queX_etX_+aX_ soient ind´ependants, calculerE[X_|X_].

 A chercher pour la prochaine fois (lundi `  mai)

E ^{xercice 9.}

^{Soient X et Y} des variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de lois respeives Γ(a, λ) etΓ(b, λ), aveca, b, λ∈],∞[.

() Calculer la loi du couple

X+Y ,_X+Y^X .

() Montrer queX+Y et _X+Y^X sont ind´ependantes et identifier leurs lois.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 10.

(Simulation d’une loi de Poisson)Soit (U_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme, et soitλ >. On poseE_n=−ln(U_n)/λpour toutn≥et

T_n=E_+· · ·+E_n.

() Identifier la loi de (Ei)_≤i≤n, puis la loi deT_ncomme une loi (presque) classique.

() On pose N = min{n≥:U_U_· · ·U_n+ < e^−λ}. Montrer queN suit une loi de Poisson de param`etreλ.

E xercice 11.

^(Pale ) On consid`ere le jeu de la courte paille entre deux joueurs. Une troisi`eme personne choisit un bˆaton puis elle le coupe en deux. Elle pr´esente alors les deux morceaux aux joueurs en cachant la diff´erence de longueur dans sa main. Le premier joueur choisit un morceau et le second prend l’autre. Celui qui a le morceau le plus long gagne. La longueurU du bˆaton esuppos´ee suivre la loi uniforme sur [,] et les deux morceaux finaux ont pour longueurX =U V etY =U(−V) avecV de loi uniforme sur [,] ind´ependante de U.

() CalculerE[X] etVar(X).

() Donner la loi de−ln(U). En d´eduire sans calcul queξ=−ln(X) suit la loiΓ(,). D´eterminer la loi deX.

() Quelle e la loi de (X, Y) (faire attention au domaine image du changement de va- riables) ? Les longueurs des morceaux sont-elles ind´ependantes ? Comparer les lois de (Y , X) et de (X, Y). Le jeu e-il ´equitable ? Retrouver la densit´e deX.



 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 12.

(R´earrangement croissant de variables uniformes) Soient X_, . . . , X_n des va- riables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi uniforme sur [,]. L’exercice  de la PC  montre qu’il exie une permutation al´eatoireσ telle que

P

X_σ()<· · ·< X_σ(n)

=

et que la loi deσ euniforme sur l’ensemble des permutations de longueurn. On pose (Y_, . . . , Y_n) = (X_σ(), . . . , X_σ(n)).

() D´eterminer la loi de (Y_, . . . , Y_n).

() D´eterminer la loi de (Y_/Y_, . . . , Y_n−/Y_n).

E xercice 13.

(R´earrangement croissant de lois exponentielles) Soientλ_, . . . , λ_n>. On consid`ere des variables al´eatoires (E<sub>i</sub>)<sub></sub>≤i≤n ind´ependantes telles queE<sub>k</sub> suit une loi exponentielle de pa- ram`etreλ_k. On note

E_()≤E_()≤ · · · ≤E_(n)

les variables al´eatoires (E_i)_≤i≤nr´earrang´ees dans l’ordre croissant.

() Montrer queE_() suit une loi exponentielle de param`etreλ_+· · ·+λ_n. () Montrer que P

E_() < E_()

=  (ainsi le minimum des variables e atteint une unique fois presque s ˆurement).

() On note N = min{≤i ≤n:E_i =E_()}. Montrer queN etE_() sont ind´ependants, et que P(N =k) = _λ ^λk

+···+λ_n pour tout≤k≤n.

E xercice 14.

(Processus de Poisson) Soit (X_n, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P), de mˆeme loi exponentielle de param`etre . On pose T_ =et pour tout n≥,

T_n=X_+. . .+X_n. Pour toutt≥, on pose

N_t= max{n≥:T_n≤t}. () Soitn≥. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n).

() En d´eduire la loi deN_tpour toutt >.

() Pour n ≥  et t > , on d´efinit sur Ω une nouvelle mesure de probabilit´e Q^n,t par la formule

Q^n,t(A) =P(A∩ {Nt=n})

P(N_t=n) pour tout A∈ A. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , Tn) sous la mesure de probabilit´eQ^n,t.

