Examen LM390, premi`ere session de l’ann´ee 2007–2008, le 26 Mai 14h–17h, sans document, ni calculatrice.
(1) Donner les d´efinitions d’une variable al´eatoire `a valeurs dansRet de sa loi.
IIOn consid`ere un vecteur al´eatoire (X, Y) `a valeurs dansR2 de loi absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue de densit´ef(X,Y)(x, y) =Cxe−y1{0<x<2y}.
(2) Donner la constante C.
(3) Donner la loi deX. Les variablesX et Y, sont-elles ind´ependantes ? (4) Donner la loi du couple (X/Y, Y).
(5) En d´eduire la loi deX/Y.
(6) Les variablesX/Y et Y sont-elles ind´ependantes ?
IIILes variables al´eatoiresX1, . . . , Xn, . . .sont ind´ependantes, toutes de loi uniforme sur [0,1], c’est-`a-dire de densit´e f(x) = 1{x∈]0,1[}.
(7) Justifier l’existence et donner E(lnX1), V ar(lnX1). (Ceux qui ont oubli´e la primitive de lnx pourraient int´egrer Rlnxdx par parties).
Soit
Yn = pn
X1X2· · ·Xn.
(8) La suite (lnYn)n≥1, converge-t-elle dansL2 ? Si oui, donner sa limite.
(9) Existe-t-il la limite p.s. de la suite (Yn)n≥1 ? Si oui, donner sa valeur.
(10) Donner la limite p.s. de la suiteY
n−exp(−1) lnYn+1
n≥1 quandn→ ∞.
(11) Enoncer le Th´eor`eme de la Limite Centrale. En utilisant le r´esultat de la question (10) et ce th´eor`eme etudier la convergence en loi de la suite√
n(Yn−exp(−1))
n≥1 quandn→ ∞.
IV Soit f : R→ R+. On suppose que f(x) est continue sur R, que f(x) = 0 pour x∈]− ∞,0] et quef(x)> 0 (strictement>0 !) pour x∈]0,∞[,R
Rf(x)dx= 1.
Soit Q une variable al´eatoire `a valeurs dans R de densit´e f(x) par rapport `a la mesure de Lebesgue. Soit F(x) la fonction de r´epartition deQ.
Soits >0. On poseg(x) =f(x)(F(s))−11{x∈]0,s]}. SoientX1, . . . , Xn, . . .des variables al´eatoires ind´ependantes toutes de densit´eg(x) par rapport `a la mesure de Lebesgue. On poseMn= max(X1, X2, . . . , Xn).
(12) Donner la limite p.s. de la suite (s−Mn)n≥0 (argumenter votre r´eponse.) (13) Donner la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire Zn=n(s−Mn).
(14) D´eduire si la suite (Zn)n≥0 converge en loi et, si oui, donner la loi limite.
SoientY1, . . . , Yn, . . .des variables al´eatoires ind´ependantes et ind´ependantes deX1, . . . , Xn, . . .. P(Yn= 1) = 1−n−α, P(Yn=n2) =n−α, o`uα∈]0,∞[ est un param`etre. Soit
Vn=Yn(s−Mn).
(15) Donner le domaine de param`etre αtel queP(S
N≥1
T
n≥N{Vn =s−Mn}) = 1. Que peut-on dire sur la convergence p.s. de la suite (Vn)n≥1pour ces valeurs deα?
(16) Donner le domaine de param`etreαo`uP(T
N≥1
S
n≥N{Vn=s−Mn}) = 1 etP(T
N≥1
S
n≥N{Vn=n2(s−Mn)}) = 1.
Que peut-on dire sur la convergence p.s. de la suite (Vn)n≥1 pour ces valeurs deα?
VSoitX= (X1, X2, X3) un vecteur Gaussien de composantes ind´ependantes d’esp´erance 0 et de variance 1. Soit
A=
1 1 1
−1 1 0
0 −1 1
.
(17) D´eterminer la loi deA ~X et ´ecrire sa fonction caract´eristique.
(18) Les variablesU = cos(X1+X2+X3) et V = (X2−X1)2+ (X3−X2)2, sont-elles ind´ependantes ?
(19) La loi deA ~X admet-elle une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue ? Si oui donner son expression. (Il n’est pas demand´e d’expliciter la matrice qui pourrait figurer dans cette densit´e.)
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VISoient X1, . . . , Xn, . . . des variables al´eatoires ind´ependantes. On note Sn =X1+X2+· · ·+Xn. On suppose que la suiteSn converge vers une v.a. S en loi.
(20) Exprimer la fonction caract´eristique deφS(t) en terme des fonctions caract´eristiques φX1(t), . . . , φXn(t), . . ..
(21) Prouver que limm,n→∞Qm
k=nφXk(t) = 1.pour touttdans un voisinage de 0.
(22) On va admettre une in´egalit´e : 1−cos(2t)≤4(1−cost) pour toutt∈R.
D´eduire que pour toute fonction caract´eristique φ(t) on a 1−Reφ(2t)≤4(1−Reφ(t)) D´eduire que limm,n→∞Qm
k=nφXk(t) = 1 pour toutt∈R.
(23) Que vaut alors la limite en loi de Sm−Sn quand n, m→ ∞ ? Est-ce que la suiteSm−Sn converge en probabilit´e quandn, m→ ∞vers la mˆeme limite ? Pourquoi ?
(24) Supposons que la suite (Sn)n≥1 est de Cauchy en probabilit´e : cad Sm−Sn →0 en probabilit´e quand n, m→ ∞.
D´eduire qu’elle contient une sous-suite convergente p.s.
(25) Supposons que la suite (Sn)n≥1 est de Cauchy en probabilit´e : cad Sm−Sn →0 en probabilit´e quand n, m→ ∞ et elle contient une sous-suite convergente p.s. D´eduire que (Sn)n≥1 converge en probabilit´e.
(26) Quel(es) autre(s) mode(s) de convergence pour (Sn)n≥1 pouvez-vous en d´eduire par le(s) Th´eor`eme(s) du cours ?
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