Examen LM390, Juin 2006–2007, première session. I Les variables aléatoires X et Y sur un espace (Ω,F, P ) à valeurs dans R sont indépendantes, X a pour densité f

(1)

Examen LM390, Juin 2006–2007, premi`ere session.

I Les variables aléatoires X et Y sur un espace (Ω,F, P) à valeurs dans R sont indépendantes, X a pour densité fX(x) = ^x₃e^−x²^/61_{x>0},Y a pour densitéfY(y) = ¹

π√

1−y²1_]−1,1[(y) par rapport `a la mesure de Lebesgue.

(a) On poseU =XY,V =X√

1−Y². Quelle est la densité du couple (U, V) ? (b) Les variables aléatoiresU etV, sont-elles indépendantes ?

(c) Donner les densit´es de la variableU et de la variableV.

IIOn considère une suite de variables aléatoires indépendantes X1, . . . , Xn, . . . sur un espace (Ω,F, P): Xn suit la loi exponentielle de paramètreλn=n². (Rappel : la densite de la loi exponentielle de paramètre λvaut λe^−λx1_{x>0}. )

(a) La s´erieP∞

n=1Xn(ω), converge-t-elle dansL² ? Converge-t-elle p.s. ? (b) On pose

Y_n(ω) =X_n(ω)1_{X_n(ω)<1/n}+e²ⁿ1_{X_n_(ω)≥1/n}. Que vautP(ω:Y_n(ω)6=X_n(ω)) ?

Que vaut lim_N→∞P(T

n≥N{ω:X_n(ω) =Y_n(ω)}) ? (c) La s´erieP∞

n=1Y_n(ω), converge-t-elle p.s. ? Converge-t-elle dansL² ?

IIIOn considère une suite de variables aléatoires indépendantesX₁, . . . , X_n, . . .à valeurs dansRde même loi de densité suivantef(x) = (α+1)x^α1_[0,1](x) par rapport à la mesure de Lebesgue. Le paramètreα >0. On poseIn= min(X1, . . . , Xn).

(a) Etudier la convergence en loi deIn ( Suggestion : pensez `a utiliser les fonctions de r´epartition).

(b) Etudier, en fonction deλ∈R+, la convergence en loi de la suite n^λIn. (c) Etudier la convergence presque sˆure et dansL² deIn.

IV(a) La fonction cos(t) est la fonction caract´eristique d’une variable al´eatoireX. Donner la loi deX.

(b) Soient X1, . . . , Xn des v.a. indépendantes de même loi que X, quelle est la fonction caractéristique φS_n(t) de Sn=X1+· · ·+Xn ?

(c) SoitN une variable aléatoire indépendante deX1, X2, . . . ,à valeurs dansNet P(N =n) =cn, avecP∞

n=1cn= 1.

Prouver l’une des égalités suivantes concernant la fonction caractéristique φSN(t) de la variable aléatoireSN(ω)(ω) :

soitφS_N(t) =

∞

X

n=1

c⁻¹_n φS_n(t), soit φS_N(t) =

∞

Y

n=1

cnφS_n(t), ou bienφS_N(t) =

∞

X

n=1

cnφS_n(t).

(d) On fixec1, c2, . . . tels queP∞

n=1cnxⁿ= 1−(1−x)^1/2 pour tout|x|<1.

Donner la loi de la varaible al´eatoireN dans ce cas.

Donner la fonction caract´eristiqueφ_S_N(t) dans ce cas en utilisant le r´esultat du point (c).

(e) Dans le cadre de (d) : soientW₁, W₂, . . .des v.a. ind´ependantes de mˆeme loi que la v.a. S_N dans le point (d). Soit

Z_n =

√2(W1+· · ·+Wn)

n .

Existe-t-ila∈Rtel que la suiteZ_n converge versap.s. ? Si oui, donner la valeur de a.

(f) Calculer la limite en loi de Zn =

√

2(W1+···+Wn)

n en utilisant les fonctions caract´eristiques. (Rappel : (t²)^1/2 =|t|, cost= 1−t²/2(1 +o(t)),t→0.)

VSoientX₁, . . . , X_n des v.a. ind´ependantes de mˆeme loi,P(X₁= 1) = 1/3,P(X₁= 0) = 2/3. SoitS_n=X₁+· · ·+X_n. (a) Calculer la limite p.s. de la suite etV_n =^(Sⁿ^/n)_S ¹⁰⁰^−1/3¹⁰⁰

n/n−1/3 . (b) Calculer la limite en loi deWn =√

n((Sn/n)−1/3) et donner limn→∞P(√

n(Sn/n−1/3)≤10) sous forme d’int´egrale.

(c) En utilisant (a) et (b) calculer la limite en loi de la suite de v.a. √

n[(S_n/n)¹⁰⁰−1/3¹⁰⁰]. Donner l’esp´erance et la variance de la loi limite.

VI(X, Y, Z) est un vecteur Gaussien de l’esp´erance (1,0,1) et de matrice de covariances

B=





1 −1 0

−1 6 2

0 2 1



.

(a) Donner la loi du vecteurU~ = (X+Y, X+Z).

(b) Trouver une matriceAtelle que les composantes du vecteurA ~U soient ind´ependantes.

(2)

Correction

I(a) On pose u=xy, v =xp

1−y², doncx=√

u²+v², y = ^√ ^u

u²+v², dxdy =|_u₂_+v^v ₂|dudv. Pour touteh mesurable born´ee

Z

R²

h(xy, xp

1−y²)fX(x)fY(y)dxdy= Z

R²

h(u, v) 1

3πe^−u²^/6e^−v²^/61_{v>0}dudv.

La densit´e de (U, V) est defU,V(u, v) =_3π¹e^−u²^/6e^−v²^/61_{v>0}.

(b)fU,V(u, v) ´etant le produit de deux fonctions, l’une de la variableu, l’autre de la variablev, ces v.a. sont ind´ependantes.

(c)U est une v.a. Gaussienne de moyenne 0 et de variance 3,f_U(u) = ^√¹

6πe^−u²^/6. V n’est pas une variable Gaussienne ! fV(v) =p

2/3πe^−v²^/61_{v>0}.

IIEXn = 1/n². V arXn = 1/n⁴. Les s´eriesP∞

n=1EXn <∞, P∞

n=1V arXn <∞ convergent. Donc la s´erie P∞ n=1Xn

converge dansL², donc en probabilité et donc p.s. par le Thm du cours sur la convergence des séries de v.a. indépendantes.

P(Y_n 6= X_n) = n²R∞

1/ne⁻ⁿ²^xdx = e⁻ⁿ. La s´erie P∞

n=1P(Y_n 6= X_n) converge. Par le lemme de Borel Cantelli limN→∞P(T

n≥NYn = Xn) = 1. Donc P∞

n=1Yn converge p.s. aussi. Par contre EYn ≥ eⁿ, cette s´erie ne converge pas dansL².

III(a), (b)

P(n^λIn≤x) =P(In ≤xn^−λ) = 1−(P(X > xn^−λ))ⁿ. Ceci est égal à 1 six≥n^λ, à 0 six <0 et

1−(1−x^α+1n^−λ(α+1))ⁿ si 0≤x < n^λ. Pourn→ ∞, et 0≤λ <(1 +α)⁻¹, on a

1−(1−x^α+1n^−λ(α+1))ⁿ→1.

Donc, si 0≤λ <(1 +α)⁻¹,n^λI_n converge en loi vers 0.

Siλ= (1 +α)⁻¹, on a

1−(1−x^α+1n^−λ(α+1))ⁿ →1−exp(−x^1+α).

Alorsn^λIn converge en loi vers une v.a. surRdont la fonction de repartiton est (1−exp(−x^1+α))1_[0,∞[(x).

Siλ >(1 +α)⁻¹, on a

1−(1−x^α+1n^−λ(α+1))ⁿ→0 et n^λIn ne converge pas en loi.

(c)P(In> ) = (1−^α+1)ⁿ. La s´erieP∞

n=1P(In> ) est convergente. Donc par le lemme de Borel-CantelliIn→0 p.s.

Comme|In| ≤1∈L², alors, par le Théorème de LebesgueIn→0 dansL². IV(a)P(X = 1) =P(X =−1) = 1/2. On aφX(t) =eît(1/2) +e^−it(1/2) = cost.

(b)φ_S_n(t) = (cos(t))ⁿ. (c)φ_S_N(t) =Ee^itS^N =P∞

n=1Ee^itSⁿP(N =n) =P∞

n=1c_nφ_S_n(t).

(d) P(N = n) = c_n = (1/2)(1/2−1)(1/2 −2)· · ·(1/2−(n−1))(n!)⁻¹ pour n = 1,2, . . . En utilisant (b) et (c) φ_S_N(t) =P∞

n=1c_n(cos t)ⁿ = 1−(1−cost)^1/2.

(e) Comme φ_S_N(t) n’est pas d´erivable dans 0, les v.a. W_n ne sont pas int´egrables, donc par la loi de grands nombres cette valeur n’existe pas.

(f) φZ_n(t) = (φ^√_2n−1/2W1(t))ⁿ = (φW₁(√

2n⁻¹t))ⁿ = (1−[1−cos(√

2n⁻¹t)]^1/2)ⁿ = (1−[t²n⁻²(1 +o(n⁻¹))]^1/2)ⁿ = (1− |t|n⁻¹(1 +o(n⁻¹)))ⁿ = exp(nln[1− |t|n⁻¹(1 +o(n⁻¹))])→exp(−|t|). La suiteZn converge en loi vers la loi de Cauchy dont on reconnaˆıt la fonction caract´eristique.

V(a)Sn/n→1/3 p.s. par la loi de grands nombres. DoncVn →f⁰(1/3) o`u f(x) =x¹⁰⁰. DoncVn →100(1/3)⁹⁹ p.s.

b) Par le TCL √

n(Sn/n−1/3) converge vers une v.a. de loi Normale dont l’esp´erance est 0 et la variance est de V arX = 2/9. Donc la fonction de r´epartition deF^√_n(S

n/n−1/3)(x) converge vers la fonction de r´epartition de la loi Normale dont l’esp´erance est 0 et la variance est de V arX = 2/9 pour tout point x ∈ R, et notamment pour x = 10. Donc limn→∞P(√

n(Sn/n−1/3)≤10)→(2πσ²)^−1/2R10

−∞e^−t²^/(2σ²⁾dt, avecσ²= 2/9.

c)√

n[(S_n/n)¹⁰⁰−1/3¹⁰⁰] =

√n[(S_n/n)¹⁰⁰−1/3¹⁰⁰](S_n/n−1/3)

Sn/n−1/3 =V_nW_n. Comme l’une des suites de v.a. (V_n) converge en loi vers un constante, ceci converge en loi vers le produit d’une v.a. Gaussienne (dont l’espérance est zéro et la variance 2/9) et de la constante 100/3⁹⁹, ce qui est une v.a. de loi Gaussienne dont l’espérance est zéro et la variance (2/9)×(100²/3^99×2).

VI(a) C’est un vecteur Gaussien de l’esp´erance (1,2) et de matrice de covariances

C=

5 2 2 2

.

(3)

On cherche A telle que ACA^T soit diagonale. Les valeurs propres de C sont (1,6), un vecteur propre est propotionnel `a (1,−2) et l’autre `a (2,1). Soit

P=

1/√

5 2/√ 5

−2/√ 5 1/√

5

.

AlorsP⁻¹CP est la matrice diagonale avec 1 et 6 sur la diagonale. On peut prendre donc

A=P⁻¹=P^T = 1/√

5 −2/√ 5 2/√

5 1/√ 5

.