Formulaires: Variables al´ eatoires ` a densit´ e
+ Mise en garde : Bien penser `a relire les propositions et d´efinitions qui se trouvent dans le formulaire ”Espaces probabilis´es et variables al´eatoires” et qui sont valables en particulier pour les variables `a densit´e.
D´ efinition 1:
Soitf une fonction num´erique d´efinie surR. On dit quef est une densit´e de probabilit´e si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :• f est positive ou nulle.
• f est continue sauf ´eventuellement en un nombre fini de points (f y est tout de mˆeme d´efinie).
• Z +∞
−∞
f(t)dt converge et Z +∞
−∞
f(t)dt= 1.
D´ efinition 2:
On dit queX, une variable al´eatoire, est une variable al´eatoire continue (ou `a densit´e) si sa fonction de r´epartition F v´erifie que, pour tout r´eel x, on a :F(x) = Z x
−∞
f(t)dt
avec f une densit´e de probabilit´e. On dit alors que f est une densit´e de X.
+ Mise en garde : SiX est une variable al´eatoire dont une densit´e est f alors toute fonction g ne diff´erant de f qu’en un nombre fini de points est aussi une densit´e de X. On dit donc une densit´e de X et pas la densit´e de X. Par contre, X n’a qu’une fonction de r´epartition, on parler de la fonction de r´epartition deX.
Proposition 3:
Soit F la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire `a densit´eX, elle v´erifie les propri´et´es suivantes :• F est croissante et continue.
• lim
x−→−∞(F(x)) = 0 et lim
x−→+∞(F(x)) = 1.
• F est de classeC1 sauf ´eventuellement en un nombre fini de points. En dehors de ces points, on a F0 =f avecf une densit´e de X.
Proposition 4:
Soit F la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire X. Si on prouve que F est continue sur R et est de classe C1 sauf ´eventuellement en un nombre fini de points alors on peut affirmer que X est une variable al´eatoire `a densit´e. Au passage, une densit´e f deX est alors d´efinie par : f :
R - R
t -
(F0(t) si F0(t) existe
0 sinon
.
Proposition 5:
Soit F la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire `a densit´eX.On note f une densit´e de X. On a les propri´et´es suivantes :
• Pour tout r´eel a, f est continue en a si et seulement si F est d´erivable en a, on a alors F0(a) =f(a) dans ce cas.
1
• Pour tout D intervalle ou union d’intervalles de R, on a P(X ∈ D) = Z
D
f(t)dt. En particulier
Z +∞
a
f(t)dt=P(X > a),P(X =a) = 0, P(a6X < b) = Z b
a
f(t)dt... si a et b sont deux r´eels tels que a6b.
D´ efinition 6:
Soit X une variable al´eatoire de densit´e f.• Si Z +∞
−∞
tf(t)dt est absolument convergente, on dit que X admet une esp´erance et E(X) est
Z +∞
−∞
tf(t)dt.
• Si Z +∞
−∞
t2f(t)dt est convergente, on dit que X admet une variance.
Th´ eor` eme 7:
Soient X une variable al´eatoire de densit´ef. Soit Φ une fonction d´efinie sur un ensemble contenant X(Ω). SiZ +∞
−∞
Φ(t)f(t)dt est absolument convergente alors E(Φ(X)) existe et vaut :
E(Φ(X)) = Z +∞
−∞
Φ(t)f(t)dt (Th´eor`eme de transfert) Sinon, Φ(X) n’admet pas d’esp´erance.
Proposition 8:
SoitXune variable al´eatoire suivant la loi exponentielle de param`etreλ avecλun r´eel strictement positif. Pour tout r´eel positifsett, on a :P(X>s)(X >s+t) = P(X >t).Proposition 9:
Soit Φ la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire suivant une loi normale centr´ee r´eduite. On a Φ(0) = 12 et, pour tout r´eel x, Φ(x) + Φ(−x) = 1.
Proposition 10:
Si X une variable al´eatoire suivant la loi normale de param`etres (m, σ2) et si a un r´eel non nul et b un r´eel alors aX+b ,→ N(am+b, a2σ2).Proposition 11:
Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes `a densit´e de fonctions de r´epartitions respectives FX etFY, de densit´efX et fY.• max(X, Y) est une variable `a densit´e, sa fonction de r´epartition est FX ×FY. R´esultat `a savoir retrouver pour min.
• X+Y est alors une variable `a densit´e, une de ses densit´es estfX⊗fY (produit de convolution def et de g), la fonction d´efinie par :
Pour tout r´eel t,(fX ⊗fY)(t) = Z +∞
−∞
fX(u)fY(t−u)du.
• Si X et Y suivent respectivement la loi normale de param`etres (m1, σ21) et (m2, σ22) alors X+Y ,→ N(m1+m2, σ12+σ22).
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