TD sur: Espaces probabilis´ es et variables al´ eatoires

TD sur: Espaces probabilis´ es et variables al´ eatoires

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

On pr´el`eve cinq cartes d’un jeu de 32 cartes. ´Evaluer la probabilit´e des ´ev´enements suivants : 1. A : ”Obtenir un carr´e”.

2. B : ”Obtenir cinq cartes de hauteurs distinctes”.

3. C : ”Obtenir exactement deux paires mais pas de full”.

. Exercice 2 :

On munit (N^?,P(N^?) de P une mesure de probabilit´e avec P d´efinie par : Pour tout entier naturel non nulk, on a : P({k}) = a

3^k

aveca un r´eel `a d´eterminer. D´eterminer a puis ´evaluer la probabilit´e d’avoir un nombre pair.

. Exercice 3 :

On prend un d´e au hasard parmi un lot de 100 d´es dont on sait que 25 sont pip´es. Pour un d´e pip´e, la probabilit´e d’obtenir un 6 est 0,5.

1. On lance le d´e, on obtient 6. Quelle est la probabilit´e pour que ce d´e soit pip´e ?

2. On relance le d´e et on obtient un second 6. Quelle est la probabilit´e pour que ce d´e soit pip´e ?

. Exercice 4 :

Soit C le cercle trigonom´etrique et soient les points A(1), G (i), B(-1) et P(-i). Pierre joue en d´epla¸cant un pion sur C dans le sens trigonom´etrique de la fa¸con suivante : Le jeton se trouve initialement en A. Il lance un d´e ´equilibr´e dont les faces sont num´erot´ees de 1 `a 6 et il d´eplace le pion d’un nombre de quart de tours ´egal au nombre indiqu´e par le d´e. Par exemple si le d´e marque 3, le pion est plac´e en P. La partie se d´eroule en 100 lancers maximum : Tant que le pion est en A ou B, on le d´eplace selon la r`egle ci-dessus. La premi`ere fois que le pion est plac´e en P, Pierre a perdu et le jeu s’arrˆete.

La premi`ere fois que le pion est plac´e en G, Pierre a gagn´e et le jeu s’arrˆete. Si apr`es 100 lancers, le jeton se trouve en A ou en B, la partie est d´eclar´ee ” partie nulle ”. Pour tout entier naturel non nul n, on note a_n la probabilit´e pour que le pion soit en A apr`es len<sup>i`eme</sup> lancer du d´e etb_nla probabilit´e pour que le pion soit en B apr`es le n<sup>i`eme</sup> lancer du d´e. On pose a₀ = 1 et b₀ = 0. Soit n un entier naturel non nul.

1. Calculer a1 etb1.

2. Exprimer an+1 etbn+1 en fonction de an etbn. 3. D´eterminer a_n et b_n en fonction den.

4. D´eterminer la probabilit´e que Pierre gagne.

On pourrait poursuivre cet exercice en ´evaluant la probabilit´e que la partie soit nulle puis la proba- bilit´e que Pierre perde.

. Exercice 5 :

1. Montrer que, pour tout entier naturel non nuln, on a :

ln(2) =

n

X

k=1

1 k2^k +

Z ¹₂

0

tⁿ 1−tdt

2. Soit n un entier naturel non nul. Un joueur lance une pi`ece ´equilibr´ee jusqu’`a l’obtention du premier pile. S’il lui a fallu n lancers pour obtenir ce premier pile, on lui fait tirer au hasard un billet de loterie parmi n billets dont un seul est gagnant. Quelle est la probabilit´e que le joueur gagne ?

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 6 :

On dispose de 4 petits paniers d´ecor´es diff´eremment et de 12 œufs tous diff´erents ´egalement. On r´epartit ces œufs dans les paniers, chaque panier pouvant contenir un nombre quelconque d’œufs, ou mˆeme aucun œuf.

1. Combien y a-t-il de r´epartitions possibles de ces œufs dans les paniers ?

2. Combien y a-t-il de r´epartitions possibles de ces œufs dans les paniers de telle fa¸con que chaque panier contienne 3 œufs ?

3. Combien y a-t-il de r´epartitions possibles de ces œufs dans les paniers de telle fa¸con qu’un panier contienne 1 œufs, un autre 2 œufs, un autre 3 œufs et un autre 6 œufs ?

4. Combien y a-t-il de r´epartitions possibles de ces œufs dans les paniers de telle fa¸con que deux paniers contiennent 3 œufs, un autre en contienne 4 et un autre en contienne 2 ?

5. Combien y a-t-il de r´epartitions possibles de ces œufs dans les paniers de telle fa¸con que deux paniers contiennent 5 œufs, les autres en contenant un nombre quelconque ?

6. On suppose d´esormais que les œufs sont indiscernables. Combien y a-t-il de r´epartitions pos- sibles de ces œufs dans les paniers ?

- Exercice 7 :

Soit a ∈ ]0,1[. Un joueur effectue des jets successifs et ind´ependants d’une pi`ece de monnaie. `A chaque jet, il obtient ”pile” avec la probabilit´e a et ”face” avec la probabilit´e 1 −a. S’il obtient

”pile”, il gagne un point. S’il obtient ”face”, il gagne deux points. Pour tout entier naturel non nul n, le joueur joue jusqu’`a ce qu’il obtienne un total de points sup´erieur ou ´egal `a n et on note p_n la probabilit´e qu’il gagne n points exactement.

1. Calculer p₁ et p₂.

2. Exprimer p_n+2 en fonction dep_n+1 et dep_n. 3. Exprimer p_n en fonction de a et de n .

- Exercice 8 :

Alice et Bob jouent au jeu suivant : on lance infiniment une pi`ece ´equilibr´ee ; Alice gagne si la configuration pile, pile, face apparaˆıt dans la suite des lancers avant que la configuration face, pile, pile n’apparaisse ; Bob est gagnant si la configuration face, pile, pile apparaˆıt dans la suite des lancers avant que la configuration pile, pile, face n’apparaisse. On se propose de d´eterminer lequel des deux joueurs a plus de chances de gagner. Pour tout entier naturel non nul n, on note les ´ev´enement suivants :

• G_n, ´ev´enement de probabilit´e g_n, suivant : ”Alice est d´eclar´ee gagnante `a l’issue du n<sup>i`eme</sup> lancer”.

• D_n, ´ev´enement de probabilit´ed_n, suivant : ”Lors desn premiers lancers, n’apparaissent jamais deux pile cons´ecutifs”.

• A_n, ´ev´enement de probabilit´e a_n, suivant : ”Un joueur est d´eclar´e gagnant `a l’issue du du n<sup>i`eme</sup> lancer”.

• B_n, ´ev´enement de probabilit´e b_n, suivant : ”Aucun joueur n’est d´eclar´e gagnant `a l’issue du du n<sup>i`eme</sup> lancer”.

1. Expliciter (g_n)_n>3 et en d´eduire la probabilit´e qu’ Alice soit d´eclar´e gagnante.

2. Montrer que, pour tout entier naturel non nuln, on a : d_n+2 = 1

2d_n+1+ 1 4d_n.

3. En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral d_n converge et calculer sa somme.

4. Montrer, pour tout entiern sup´erieur `a 2, que :P(B<sub>n</sub>) = 1 2<sup>n</sup> +d<sub>n</sub>. 5. Montrer, pour tout entiern sup´erieur `a 4, que :P(A_n) = 1

2ⁿ +dn−3

8 .

6. Montrer que la probabilit´e que l’un des joueurs soit d´eclar´e gagnant vaut 1 puis conclure.

Exercices bonus

_) Exercice 9 :

Compter le nombre d’anagrammes du mot MISSISIPI.

_) Exercice 10 :

Soit un ensemble de lettres contenant 9 consonnes distinctes et 6 voyelles distinctes. Combien peut- on former de mots (Un mot n’ayant pas n´ecessairement de signification) de 8 lettres distinctes prises dans cet ensemble dont 5 consonnes et 3 voyelles ?

_) Exercice 11 :

Lors du Bigdil, un joueur est plac´e devant trois portes ferm´ees. Derri`ere l’une d’elles se trouve une voiture et derri`ere chacune des deux autres se trouve un crayon. Le joueur d´esigne d’abord une porte puis le pr´esentateur (qui sait o`u se trouve la voiture) ouvre une porte qui n’est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture. Le candidat a alors le droit ou bien d’ouvrir la porte qu’il a choisie initialement, ou bien d’ouvrir la troisi`eme porte. Imaginons que le joueur ouvre au d´ebut la porte 1 puis que le pr´esentateur ouvre la deux. Pour tout k de J1,3K, on note V_k l’´ev´enement La voiture se trouve derri`ere la porte ket P_k l’´ev´enement Le pr´esentateur ouvre la porte k . Que faut-il conseiller au joueur ?

M Exercice 12 :

Deux radiosA et B annoncent la m´et´eo, avec une probabilit´e de 0,95 pour la premi`ere, et 0,9 pour la seconde. Lundi matin, la radio A annonce beau temps et la radio B de la pluie. En sachant qu’il pleut en moyenne 3 jours sur 10, quelle est la probabilit´e qu’il pleuve ?