Formulaires: Espaces probabilis´ es et variables al´ eatoires

Formulaires: Espaces probabilis´ es et variables al´ eatoires

D´ efinition 1:

On note souvent

+∞

[

i=1

A_i l’ensemble [

i∈N^?

A_i. Notation similaire avec les intersections.

D´ efinition 2:

Soient Ω un ensemble non vide et T un sous-ensemble de P(Ω). On dit que T est une tribu sur Ω si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1. Ω ∈ T

2. T est stable par passage au compl´ementaire, c’est-`a-dire que si A∈ T alors A∈ T. 3. T est stable par union d´enombrable, c’est-`a-dire que si (A_n)n∈N∈ T^N alors [

n∈N

A_n∈ T.

D´ efinition 3:

Soit (Ω,T) un espace probabilisable. Soit P une application de T dans R. On dit que P est une probabilit´e sur (Ω,T) si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1. Pour tout ´el´ement A de T, on a : P(A)>0.

2. P(Ω) = 1.

3. Pour toutes suites ´ev´enements (A_i)_i∈

N deux-`a-deux incompatibles, X

P(A_i) converge et on a :

+∞

X

i=0

P(A_i) = P

+∞

[

i=0

A_i

! .

D´ efinition 4:

^{Soient I} une partie deN et (A_i)_i∈I une famille d’´ev´enements. On dit que (A_i)_i∈I est un syst`eme quasi-complet d’´ev´enements si les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1. ∀(i, j)∈JIK

2, i6=j ⇒A_i∩A_j =∅ . 2. X

i∈I

P(A_i) = 1 (ce qui est moins fort que[

i∈I

A_i = Ω que l’on a dans les syst`emes complets d’´ev´enements).

Proposition 5:

Soit (Ω,T, P) un espace probabilis´e. Soient A etB deux ´ev´enements, on a :

1. Si A ⊂B, on a :P(A)6P(B).

2. P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

3. P(B\A) =P(B)−P(A∩B).

Proposition 6:

Soient Ω un ensemble fini,P la probabilit´e uniforme sur (Ω,P(Ω)) et A un ´ev´enement, on a :P(A) = Card (A)

Card (Ω) ce que l’on peut ´ecrire ainsi : P(A) = Nombre de cas o`u A se r´ealise

Nombre de cas possible .

1

D´ efinition 7:

Soit (Ω,T, P) un espace probabilis´e et A un ´ev´enement de probabilit´e non nulle. Pour tout B de T, on pose : P_A(B) = P(A∩B)

P(A) .

Proposition 8:

Formule des probabilit´es compos´ees Soient (Ω,T, P) un espace probabilis´e et A1,· · · , An n (n entier sup´erieur `a 2) ´ev´enements. On suppose que P(A1 ∩ · · · ∩ An−1)6= 0, on a alors :

P(A₁∩ · · · ∩A_n) = P(A₁)×P_A1(A₂)P_A1∩A2(A₃)× · · · ×P_A1∩···∩An−1(A_n).

En particulier :

1. Si A et B sont deux ´ev´enements tels que P(A)6= 0 alors P(A∩B) =P(A)×P_A(B).

2. Si A, B et C sont trois ´ev´enements tels que P(A∩B)6= 0 alors P(A∩B∩C) est P(A)× P_A(B)×PA∩B(C).

Proposition 9:

Formule des probabilit´es totales Soient (Ω,T, P) un espace probabilis´e, I une partie de N et (A_i)_i∈I un syst`eme quasi-complet d’´ev´enements. Soit B un

´

ev´enement. X

i∈I

P(B ∩A_i) existe et on a : P(B) =X

i∈I

P(B∩A_i), soit :

P(B) =X

i∈I

P(A_i)×P_Ai(B).

En particulierP(B) =P(A)×P_A(B)+(1−P(A))×P_A(B) siAest un ´ev´enement tel queP(A)6= 0 et P(A)6= 1.

Proposition 10:

Formules de Bayes Soit (Ω,P(Ω), P) un espace probabilis´e.

1. Si A et B sont deux ´ev´enements de probabilit´e non nulle alors : P_B(A) = P_A(B)×P(A)

P(B) .

2. Si B est un ´ev´enement de probabilit´e non nulle, I une partie de N et (A_i)_i∈I un syst`eme quasi-complet d’´ev´enements alors : P_B(A_i) = P_Ai(B)×P(A_i)

X

j∈I

P(A_j)×P_Aj(B) .

D´ efinition 11:

^{Soit (Ω,T, P}) un espace probabilis´e et A et B deux ´ev´enements. On dit que A et B sont ind´ependants (pour la probabilit´eP) si : P(A∩B) = P(A)×P(B).

D´ efinition 12:

^{Soient (Ω,T, P}) un espace probabilis´e,I une partie deNet (A_i)_i∈I un famille d’´ev´enements.

1. On dit que les ´ev´enements (A_i)_i∈I sont deux-`a-deux ind´ependants si :

∀(i, j)∈I², i6=j ⇒P(A_i∩A_j) =P(A_i)×P(A_j).

2

2. On dit que les ´ev´enements A₁,· · · , A_n sont mutuellement ind´ependants si, pour tout sous- ensemble J non vide de I, on a :

P \

i∈J

A_i

!

=Y

i∈J

P(A_i).

D´ efinition 13:

On appelle fonction de r´epartition de X, une variable al´eatoire, l’ap- plication F_X :

(

R →[0,1]

x 7→P(X 6x).

Proposition 14:

La fonction de r´epartition F_X de X, une variable al´eatoire, v´erifie les propri´et´es suivantes :

• F_X est croissante.

• lim

x−→−∞(F_X(x)) = 0 et lim

x−→+∞(F_X(x)) = 1.

• Pour tous r´eels a etb tels que a < b, on a :P(a < X 6b) = F_X(b)−F_X(a).

• F_X est continue `a droite en tout point.

Proposition 15:

^{Si E(X2) est d´}efini alors X une variable al´eatoire admet une esp´erance et une variance etV(X) est E(X²)−(E(X))² (Formule de Kœnig-Huygens).

Proposition 16:

• αX+β, avecα etβ deux r´eels etX une variable al´eatoire admettant une variance, admet une variance et on aV(αX +β) = α²V(X).

• αX +βY, avec α et β deux r´eels et X et Y deux variables al´eatoires admettant une esp´erance, admet une esp´erance et E(αX+βY) = αE(X) +βE(Y).

D´ efinition 17:

• On dit que X est une variable, une variable al´eatoire, est centr´ee si E(X) = 0. On appelle variable centr´ee associ´ee `aX la variable X−E(X).

• On dit queX est une variable, une variable al´eatoire, est r´eduite si V(X) = 1. On appelle variable centr´ee r´eduite associ´ee `a X la variable X−E(X)

σ(X) (qu’on note souvent X^?).

Proposition 18:

SoientX une variable al´eatoire positive admettant une esp´erance et a un r´eel strictement positif alors : P(X >a)6 E(X)

a (In´egalit´e de Markov).

Th´ eor` eme 19:

Soient X une variable al´eatoire admettant une variance et ε un r´eel strictement positif alors :

P (|X−E(X)|>ε)6 V(X)

ε² (In´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev).

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