Probabilit´ es - Utilisations d’un syst` eme complet d’´ ev` enements

Lyc´ ee Dominique Villars TD ECE 2

Probabilit´ es - Utilisations d’un syst` eme complet d’´ ev` enements

Soit (A i ) i∈I un syst` eme complet d’´ ev´ enements, tous de probabilit´ e non nulle. Soit B un ´ ev´ enement. Alors :

P (B) = X

i∈I

P (B ∩ A _i ) = X

i∈I

P (A _i ) P A

(B)

Exemple ¶

Une urne contient 7 boules jaunes et 3 boules noires. On effectue deux tirages successifs sans remise dans cette urne. Quelle est la probabilit´ e que la deuxi` eme boule tir´ ee soit jaune ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple ·

On dispose de 3 urnes U 1 , U 2 , U 3 , chacune contient 10 boules ; parmi elles, U 1 contient 1 blanche, U 2 contient 2 blanches et U 3 contient 6 blanches. On choisit au hasard une urne puis on tire au hasard une boule.

Quelle est la probabilit´ e d’obtenir une blanche, not´ e B?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple ¸

Un professeur oublie fr´ equemment ses cl´ es. Pour tout n, on note A n , l’´ ev` enement ”le jour n, le professeur oublie ses cl´ es” ˙ On note a n = P (A n ).

On suppose que : a ₁ = a est donn´ e et que si le jour n il oublie ses cl´ es, le jour suivant il les oublie avec la probabilit´ e 1

10 ; si le jour n, il n’oublie pas ses cl´ es, le jour suivant il les oublie avec la probabilit´ e 4 10 . 1. Montrer que a _n+1 = − 3

10 a _n + 2 5 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. En d´ eduire l’expression de a _n = P (A _n ) en fonction de n.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Exercice 1 - Evolution du nombre de num´ eros disctints obtenus - EML 2013

Soit n un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 2.

On consid` ere une urne U contenant n boules num´ erot´ ees de 1 ` a n et indiscernables au toucher.

On effectue une suite de tirages d’une boule avec remise de la boule dans l’urne U . Pour tout entier k sup´ erieur ou ´ egal ` a 1, on note Z _k la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de num´ eros distincts obtenus au cours des k premiers tirages et on note E(Z _k ) l’esp´ erance de Z _k .

1. D´ eterminer la loi de la variable Z 1 et la loi de la variable Z 2 . En d´ eduire E(Z 1 ) et E(Z 2 ).

2. Soit k un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 1.

(a) D´ eterminer P (Z _k = 1) et d´ eterminer P (Z _k = k).

(b) Montrer, pour tout i ∈ [[1, n]] :

P(Z k+1 = i) = i

n P(Z k = i) + n − i + 1

n P(Z k = i − 1) (c) En d´ eduire : E(Z _k+1 ) = n − 1

n E(Z _k ) + 1.

3. (a) Montrer que la suite (v _k ) _k>1 de terme g´ en´ eral v _k = E(Z _k ) − n est une suite g´ eom´ etrique.

(b) En d´ eduire, pour tout entier k sup´ erieur ou ´ egal ` a 1 : E(Z _k ) = n 1 −

n − 1 n

k ! .

Exercice 2 - Une urne ` a contenu ´ evolutif - EDHEC 2013

On dipose d’une urne contenant au d´ epart n boules blanches et (n + 2) boules noires. On dispose d’une r´ eserve infinie de boules blanches et noires.

Pour tout entier naturel j, on dit que l’urne est dans l’´ etat j lorsqu’elle contient j boules blanches et (j + 2) boules noires. Au d´ epart de l’urne est donc l’´ etat n.

On r´ ealise une succession d’´ epreuves, chaque ´ epreuve se d´ eroule selon le protocole suivant :

Pour tout entier naturel j non nul, si l’urne est dans l’´ etat j, on extrait une boule au hasard de l’urne.

• Si l’on obtient une boule blanche, alors cette boule n’est pas remise dans l’urne et on enl` eve de plus une boule noire , l’urne est alors dans l’´ etat (j − 1) ;

• Si l’on obtient une boule noire, alors cette boule est remise dans l’urne et on remet en plus une boule blanche et une boule noire , l’urne est alors dans l’´ etat (j + 1)

1. Dans cette question, on suppose que n = 1 et on note X ₁ la variable ´ egale au nombre de boules blanches encore pr´ esentes dans l’urne apr` es la premi` ere ´ epreuve et X 2 la variable ´ egale au nombre de boules blanches encore pr´ esentes dans l’urne apr` es la deuxi` eme ´ epreuve.

(a) Donner la loi de la variable X ₁

(b) En utilisant la formule des probabilit´ es totales, d´ eterminer la loi de X ₂ .

(c) Compl´ eter le programme suivant afin qu’il simule l’exp´ erience al´ eatoire d´ ecrite dans cet exercice et pour qu’il affiche les valeurs prises par les variables X ₁ et X ₂ .

tirage=grand(1,1,"uin",1,4) if tirage = 1 then

x1=... ; else x1=... ; end,

if x1==0 then

x2=... ;

else tirage=grand(1,1,"uin",1,6) ;

if tirage<=2 then x2=... ; else x2=... ; end;

end,

disp(x1,x2)

2

On revient au cas g´ en´ eral (n est donc un entier quelconque sup´ erieur ou ´ egal ` a 1) et on d´ ecide que les tirages s’arretent d` es lors que l’urne ne contient plus de boules blanches.

Pour tout entier j, on note E j l’´ ev` enement : ”l’urne est dans l’´ etat j initialement et les tirages s’arretent au bout d’un temps fini”. On pose alors e _j = P (E _j ) et l’on a bien sur e ₀ = 1.

2. Montrer en consid´ erant les deux r´ esultats possibles lors du premier tirage (c’est ` a dire au d´ ebut du jeu lorsque l’urne est dans l’´ etat n) que

e n = n

2n + 2 e n−1 + n + 2 2n + 2 e n+1

3. (a) Montrer par r´ ecurrence que pour tout entier n, e n > e n+1

(b) En d´ eduire que la suite (e _n ) est convergente.

On admet pour la suite que la suite (e n ) converge vers la valeur 0.

4. Pour tout entier naturel n, on pose u n = (n + 1)e n

(a) Pour tout entier n ∈ N ^∗ , ´ ecrire u n+1 en fonction de u n et u n−1 . (b) En d´ eduire l’expression de u _n en fonction de n et e ₁

(c) Montrer enfin que l’on a : pour tout n ∈ N,

e n = (2e 1 − 1) n

n + 1 + 1 n + 1 (d) En d´ eduire la valeur de e ₁ puis l’expression de e _n en fonction de n.

Exercice 3 - EDHEC 2018

Exercice 4 - ”Ca fera la paire!!!” - ECRICOME 2012

Soit n un entier naturel non nul. Une entreprise dispose d’un lot du n feuilles originales qu’elle a num´ erot´ ees l, 2, · · · , n. Elle photocopie ces n feuilles originales et souhaite que chaque original soit agraf´ e avec sa copie.

L’entreprise programme le photocopieur afin que chaque original soit agraf´ e avec sa copie. Cependant . suite ` a un d´ efaut informatique, la photocopieuse a m´ elang´ e les originaux et les copies. L’entreprise d´ ecide donc de placer les n originaux et les n copies dans une boite. Une personne est alors charg´ ee du travail suivant : elle pioche simultan´ ement et au hasard 2 feuilles dans la boite. S’il s’agit d’un original et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles dans la, boite et elle recommence.

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On mod´ elise l’exp´ erience par un espace probabilit´ e (Ω, B, P ). Soit T _n la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de pioches qui sont n´ ecessaires pour vider la boite lorsque celle-ci contient n originaux et n copies (soit 2n feuilles).

On consid` ere l’´ ev´ enement A n : ” ` a l’issue de la premi` ere pioche, les deux feuilles pioch´ ees ne sont pas agraf´ ees ” et a <sub>n</sub> sa probabilit´ e c’est-` a-dire que a _n = P (A _n ).

1. Calculer a _n .

2. ´ Etude de T ₂ . On suppose dans cette question que n = 2, c’est-` a-dire que la boite contient deux originaux et deux copies.

(a) Montrer que pour tout entier k > 2 : P (T ₂ = k) = (1 − a ₂ ) (a ₂ ) ^k−2 .

(b) Justifier que la variable S ₂ = T ₂ − 1 suit une loi g´ eom´ etrique dont on pr´ ecisera le param` etre.

En d´ eduire l’esp´ erance et la variance de T ₂ en fonction de a ₂

3. ´ Etude de T ₃ . On suppose dans cette question que n = 3, c’est-` a-dire que la boite, contient trois originaux et trois copies.

(a) Calculer P (T 3 = 2) puis P (T 3 = 3) en fonction de a 2 et a 3

(b) A l’aide du syst` eme complet d’´ ev´ enements A 3 , A 3

d´ emontrer pour tout k > 2 que : P (T ₃ = k + 1) = (1 − a ₃ ) P (T ₂ = k) + a ₃ P (T ₃ = k)

(c) Montrer que :

k > 2, P (T ₃ = k) = (1 − a ₂ ) (1 − a ₃ ) a ₃ − a ₂

h

(a ₃ ) ^k−2 − (a ₂ ) ^k−2 i .

(d) Calculer

+∞

X

k=2

P (T ₃ = k) .

(e) Prouver que la variable al´ eatoire T ₃ − 1 admet une esp´ erance et calculer E (T ₃ − 1).

Donner la valeur de E (T ₃ ) en fonction de a ₂ et a ₃ .

(f) ´ Etablir que la variable al´ eatoire T ₃ (T ₃ − 1) admet une esp´ erance et donner sa valeur en fonction de a ₂ et a 3 .

En d´ eduire que T 3 admet une variance.

Exercice 5 - EDHEC

On r´ ealise une suite de lancers d’une pi´ ece ´ equilibr´ ee, chaque lancer amenant donc pile ou face avec une probabilit´ e 1/2.

On note P _k (resp. F _k ) l’´ ev´ enement : “on obtient pile (resp. face) au k ^{´ eme} lancer”.

Pour ne pas surcharger l’´ ecriture, on ´ ecrira, par exemple, P 1 F 2 ` a la place de P 1 ∩ F 2 .

On note X la variable al´ eatoire qui prend la valeur k si l’on obtient pour la premi´ ere fois pile puis face dans cet ordre aux lancers k − 1 et k (k d´ esignant un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 2), X prenant la valeur 0 si l’on obtient jamais une telle succession.

1. Calculer P(X = 2).

2. (a) En remarquant que (X = 3) = P 1 P 2 F 3 ∪ F 1 P 2 F 3 , calculer P (X = 3).

(b) Sur le mod´ ele de la question pr´ ec´ edente, ´ ecrire, pour tout entier k sup´ erieur ou ´ egal ` a 3, l’´ ev´ enement (X = k) comme r´ eunion de (k − 1) ´ ev´ enements incompatibles.

(c) D´ eterminer P(X = k) pour tout entier k sup´ erieur ou ´ egal ` a 2.

(d) Calculer P(X = 0).

3. On se propose, dans cette question, de retrouver le r´ esultat de la question 2) c: par une autre m´ ethode.

(a) Montrer que, k d´ esignant un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 3, si le premier lancer est un pile, alors il faut et il suffit que P 2 P 3 . . . P k−1 F k se r´ ealise pour que (X = k) se r´ ealise.

(b) En d´ eduire, en utilisant la formule des probabilit´ es totales que:

∀k > 3 P (X = k) = 1

2 P (X = k − 1) + 1 2 ^k (c) On pose, pour tout entier k sup´ erieur ou ´ egal ` a 2, u k = 2 ^k P (X = k).

Montrer que la suite (u _k ) _k>2 est arithm´ etique. Retrouver le r´ esultat annonc´ e.

4. Montrer que X a une esp´ erance E(X), puis la calculer.

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