Ann´ ee 2020-2021 Fiche n◦2. Ev´ enements.

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Probabilit´ es

L2 math´ ematiques

Ann´ ee 2020-2021 Fiche n

2. Ev´ enements.

Exercice 1. Proposer un univers Ω pour les exp´ eriences al´ eatoires suivantes et d´ enombrer les r´ esultats possibles.

(1) On lance un d´ e ` a 6 faces.

(2) On lance un d´ e ` a 6 faces et un autre ` a 20 faces.

(3) On tire trois cartes dans un jeu de 52 cartes.

Exercice 2. (1) Dans une classe de 36 ´ el` eves, quelle est la probabilit´ e pour que deux ´ el` eves au moins soient n´ es le mˆ eme jour ? (on consid` ere que l’ann´ ee compte 365 jours, et que toutes les dates d’anniversaires sont ind´ ependantes et ´ equiprobables).

(2) G´ en´ eraliser ce r´ esultat pour une classe de n ´ el` eves.

Exercice 3. Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´ e et soient A, B deux ´ ev´ enements. On suppose que

P (A ∪ B) = 7

8 , P (A ∩ B) = 1

4 , P (A) = 3 8 . Calculer P (B ), P (A ∩ B ^c ), P (B ∩ A ^c ).

Exercice 4. Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´ e.

(1) Soient A et B deux ´ ev´ enements tels que A ⊂ B.

(a) Que peut-on dire de P (B) si P (A) = 1 ? (b) Que peut-on dire de P (A) si P (B) = 0 ?

(2) Soit (A n ) une suite d’´ ev´ enements telle que P (A n ) = 0 pour tout n ≥ 1. Montrer que

P

∞

\

n=1

A n

!

= 0 et P

∞

[

n=1

A n

!

= 0.

(3) Soit (A n ) une suite d’´ ev´ enements telle que P (A n ) = 1 pour tout n ≥ 1. Montrer que

P

∞

[

n=1

A n

!

= 1 et P

∞

\

n=1

A n

!

= 1.

Exercice 5. Soient (Ω, P ) un espace probabilisable. On suppose que l’on ait deux ´ ev` enements A et B tels que P (A) = P (B) = 0.08, P (A ∪ B) = 0.52 et P (A) = 2 P (B).

(1) D´ eterminer les probabilit´ es des ´ ev` enements A et B . (2) Les ´ ev` enements A et B sont-ils ind´ ependants ?

Exercice 6. La famille Potter comporte deux enfants. Consid´ erons les ´ ev´ enements A : ”il y a deux enfants de sexes diff´ erents chez les Potter” et B : ”la famille Potter a au plus une fille”. On suppose que le sexe de chaque enfant est ind´ ependant de celui des autres.

(1) Les ´ ev´ enements A et B sont-ils ind´ ependants ?

(2) Mˆ eme question si la famille Potter comporte trois enfants.

1

(3) Mˆ eme question si la famille Potter comporte n enfants, n ≥ 1.

Exercice 7. Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´ e, et soient A et B deux ´ ev´ enements tels que P (A) > 0. Montrer que P (A ∩ B|A ∪ B) ≤ P (A ∩ B|A).

Exercice 8. En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou ´ equivalent), et deux sur cinq prennent un autre m´ edicament M .

— avec l’aspirine, 75% des patients sont soulag´ es ;

— avec le m´ edicament M, 90% des patients sont soulag´ es.

(1) Quelle est la proportion de personnes soulag´ ees ?

(2) Quelle est la probabilit´ e pour un patient d’avoir pris de l’aspirine sachant qu’il est soulag´ e ?

Exercice 9. Dans une usine, la machine A fabrique 60% des pi` eces, dont 2% sont d´ efectueuses.

La machine B fabrique 30% des pi` eces, dont 3% sont d´ efectueuses. La machine C fabrique 10%

des pi` eces, dont 4% sont d´ efectueuses.

(1) On tire une pi` ece au hasard dans la fabrication. Quelle est la probabilit´ e qu’elle soit d´ efectueuse ? (2) On tire une pi` ece au hasard dans la fabrication. Elle est d´ efectueuse. Quelle est la probabilit´ e

qu’elle ait ´ et´ e fabriqu´ ee par la machine A ? par la machine B ? par la machine C ?

Exercice 10. On cherche un objet dans un meuble constitu´ e de sept tiroirs. La probabilit´ e qu’il soit effectivement dans ce meuble est p. Sachant qu’on a examin´ e les six premiers tiroirs sans succ` es, montrer que la probabilit´ e qu’il soit dans le septi` eme est ´ egale ` a <sub>7−6p</sub> <sup>p</sup> (on suppose que la probabilit´ e a priori que l’objet soit dans un tiroir est la mˆ eme d’un tiroir ` a l’autre) ?

Exercice 11. Un d´ ebutant ` a un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la premi` ere partie, les probabilit´ es de gagner ou perdre sont les mˆ emes. Pour les autres, on suppose que :

— si une partie est gagn´ ee, la probabilit´ e de gagner la suivante est 0.6 ;

— si une partie est perdue, la probabilit´ e de perdre la suivante est 0.7.

Soit G _n l’´ ev´ enement ”Le joueur gagne la partie n”, et u _n = P (G _n ). On note v _n = P (G ^c _n ).

(1) Ecrire deux relations entre u _n , u _n+1 , v _n , v _n+1 .

(2) En utilisant le fait que u _n + v _n = 1, montrer que u _n+1 = 0.3 + 0.3u _n . (3) Que peut-on dire de P (G _n ) au bout d’un grand nombre de parties ?

Exercice 12. Soit N ≥ 1 un entier. Consid´ erons un tournoi qui se d´ eroule selon les modalit´ es suivantes :

— au temps 1, les joueurs J ₀ et J ₁ s’affrontent ;

— ` a chaque temps n > 1, un nouveau joueur J _n affronte le vainqueur du match au temps n −1.

Soit G _n l’´ ev´ enement : ”au temps n, le joueur J _n gagne”. Supposons que les ´ ev´ enements (G _n ) soient ind´ ependants et que P (G _n ) = p ∈]0, 1[ pour tout n ≥ 1.

Un joueur est d´ eclar´ e vainqueur du tournoi d` es qu’il parvient ` a remporter N matchs cons´ ecutifs.

Pour chaque n ≥ 1, consid´ erons l’´ ev´ enement E n : ”aucun joueur n’a remport´ e le tournoi ` a l’issue du match n”.

(1) Justifier que la suite ( P (E n )) _n≥1 converge.

(2) Calculer P (E n ) pour tout n ≤ N . (3) Montrer que P (E n ) −→

n→∞ 0.

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Exercice 13. Soient Ω = {1, 2, . . . , n} et P la probabilit´ e uniforme sur Ω. Notons P _n l’ensemble des diviseurs premiers de n et d´ efinissons, pour tout p ∈ P _n , l’´ ev´ enement A _p = {a ∈ Ω : p divise a}.

(1) Calculer P (A _p ) pour tout p ∈ P _n .

(2) Montrer que les ´ ev´ enements A p , pour p ∈ P n , sont ind´ ependants.

(3) En d´ eduire que la fonction d’Euler φ : N → N, o` u φ(n) est le nombre d’entiers k de {1, 2, . . . , n} tels que pgcd(k, n) = 1, v´ erifie

φ(n) = n Y

p∈P

1 − 1

p

.

Exercice 14. Soit (A _n ) une suite d’´ ev´ enements d’un espace probabilisable (Ω, A). On pose lim A n = \

N≥1

[

n≥N

A n .

(1) Montrer que lim A n est l’ensemble des ω ∈ Ω tels qu’il existe une infinit´ e d’indices k v´ erifiant ω ∈ A k .

(2) Interpr´ eter de mˆ eme l’´ ev´ enement

lim A _n = [

N≥1

\

n≥N

A _n .

(3) Comparer lim(A _n ∪ B _n ) et lim(A _n ∩ B _n ) avec lim A _n et lim B _n . (4) Calculer lim(A n ) et lim(A n ) dans les cas suivants.

(a) Pour tout n ≥ 0, A 2n = F et A 2n+1 = G, o` u F, G sont des ´ ev´ enements ind´ ependants de n.

(b) Pour tout n ≥ 0, A n =] − ∞, a n ], o` u a _2n = 1 + 1

2n , a _2n+1 = −1 − 1 2n + 1 . (c) Pour tout n ≥ 0,

A 2n =

0, 3 + 1 2n

, A 2n+1 =

−1 − 1 3n , 2

.

(d) Pour tout n ≥ 0, A _n = p _n N, o` u (p _n ) est la suite des nombres premiers.

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