EILCO Probabilit´ es CP1
Ann´ ee 2020-2021 Fiche n◦2. Ev´ enements.
Exercice 1. Proposer un univers Ω pour les exp´ eriences al´ eatoires suivantes et d´ enombrer les r´ esultats possibles.
(1) On lance un d´ e ` a 6 faces.
(2) On lance un d´ e ` a 6 faces et un autre ` a 20 faces.
(3) On tire trois cartes dans un jeu de 52 cartes.
Exercice 2. (1) Dans une classe de 36 ´ el` eves, quelle est la probabilit´ e pour que deux ´ el` eves au moins soient n´ es le mˆ eme jour ? (on consid` ere que l’ann´ ee compte 365 jours, et que toutes les dates d’anniversaires sont ind´ ependantes et ´ equiprobables).
(2) G´ en´ eraliser ce r´ esultat pour une classe de n ´ el` eves.
Exercice 3. Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´ e et soient A, B deux ´ ev´ enements. On suppose que
P (A ∪ B) = 7
8 , P (A ∩ B) = 1
4 , P (A) = 3 8 . Calculer P (B ), P (A ∩ B
c), P (B ∩ A
c).
Exercice 4. Soient (Ω, P ) un espace probabilisable. On suppose que l’on ait deux ´ ev` enements A et B tels que P (A) = P (B) = 0.08, P (A ∪ B) = 0.52 et P (A) = 2 P (B).
(1) D´ eterminer les probabilit´ es des ´ ev` enements A et B . (2) Les ´ ev` enements A et B sont-ils ind´ ependants ?
Exercice 5. On dipose de n boˆıtes pouvant chacune contenir jusqu’` a n boules. On consid` ere n boules num´ erot´ ees de 1 ` a n que l’on r´ epartit au hasard dans les n boˆıtes.
(1) Justifier que la probabilit´ e p
nque chaque boˆıte contienne exactement une boule vaut p
n=
n!
nn
.
(2) (a) Montrer que
ppnn+1
≥ 2.
(b) Quelle est la limite de p
nlorsque n tend vers l’infini ?
Exercice 6. La famille Potter comporte deux enfants. Consid´ erons les ´ ev´ enements A : ”il y a deux enfants de sexes diff´ erents chez les Potter” et B : ”la famille Potter a au plus une fille”. On suppose que le sexe de chaque enfant est ind´ ependant de celui des autres.
(1) Les ´ ev´ enements A et B sont-ils ind´ ependants ?
(2) Mˆ eme question si la famille Potter comporte trois enfants.
(3) Mˆ eme question si la famille Potter comporte n enfants, n ≥ 1.
Exercice 7. En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou ´ equivalent), et deux sur cinq prennent un autre m´ edicament M .
— avec l’aspirine, 75% des patients sont soulag´ es ;
— avec le m´ edicament M, 90% des patients sont soulag´ es.
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(1) Quelle est la proportion de personnes soulag´ ees ?
(2) Quelle est la probabilit´ e pour un patient d’avoir pris de l’aspirine sachant qu’il est soulag´ e ?
Exercice 8. Dans une usine, la machine A fabrique 60% des pi` eces, dont 2% sont d´ efectueuses.
La machine B fabrique 30% des pi` eces, dont 3% sont d´ efectueuses. La machine C fabrique 10%
des pi` eces, dont 4% sont d´ efectueuses.
(1) On tire une pi` ece au hasard dans la fabrication. Quelle est la probabilit´ e qu’elle soit d´ efectueuse ? (2) On tire une pi` ece au hasard dans la fabrication. Elle est d´ efectueuse. Quelle est la probabilit´ e
qu’elle ait ´ et´ e fabriqu´ ee par la machine A ? par la machine B ? par la machine C ?
Exercice 9. On cherche un objet dans un meuble constitu´ e de sept tiroirs. La probabilit´ e qu’il soit effectivement dans ce meuble est p. Sachant qu’on a examin´ e les six premiers tiroirs sans succ` es, montrer que la probabilit´ e qu’il soit dans le septi` eme est ´ egale ` a
7−6pp(on suppose que la probabilit´ e a priori que l’objet soit dans un tiroir est la mˆ eme d’un tiroir ` a l’autre) ?
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