I X et Y sont deux variables al´eatoires ind´epedantes de loi de Cauchy

Examen LM390, deuxi`eme session de l’ann´ee 2006–2007.

I X et Y sont deux variables al´eatoires ind´epedantes de loi de Cauchy. La loi de Cauchy est la loi sur R de densit´e

1 π(1+x²).

(a) SoitZ=XY, U =X. Calculer la densit´e du couple (Z, U).

(b) D´eduire la densit´e de la variable al´eatoireZ.

(c) D´eduire la densit´e de la variable al´eatoire ln|X|+ ln|Y|.

(d) D´eduire la valeur de l’int´egraleR∞

−∞

t e^t−e^−tdt.

IISoitX₁, . . . , X_n des variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Poisson de param`tre 1.

(a) SoitZ_n=Qn

i=1(1 +X_i). Etudier la convergence p.s. de ^ln_n^Zn (b) SoitV_n =Qn

k=1X_k. Etudier la convergence en probabilit´e deV_n. (c) Etudier la convergence p.s. deV_n.

(d) Etudier la convergence dansL¹ deV_n.

(e) Donner la fonction-g´en´eratrice et puis la loi deX1+· · ·+Xn.

(f) SoitYn une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etren. Donner lim_n→∞P(Yn>2n).

(g) Etudier la convergence en loi de ^Y√n_Y⁻ⁿ

n .

IIIOn r´ealise une suite d’essaies ind´ependants o`u la probabilit´e de succ`es est `a chaque foisp∈]0,1[. Soit Xp le nombre d’essaies n´ecessaires pour obtenir un succ`es.

(a) Donner la fonction de repartition de la variable al´eatoireXp.

(b) Etudier la convergence en loi de suitepXpquand p→0 (Suggestion : pensez `a utiliser les fonctions de r´epatition).

IVW₁ est une variables al´eatoire de loi uniforme sur [−1,1] (cad de densit´e (1/2)1_{{x∈[−1,1]}} ). Soitφ_1/W1(t) la fonction caract´eristique de de la variable al´eatoire 1/W₁.

(a) Prover l’une des ´egalit´es suivantes : φ1/W₁(t) =R1

0 cos (t/x)dxou bienφ1/W₁(t) =R1

0 sin (t/x)dx (b) En d´eduire l’une des ´egalit´es suivantesφ_1/W1(t) =|t|R∞

|t| sin (y)y⁻²dy ou bienφ_1/W1(t) =|t|R∞

|t| cos (y)y⁻²dy.

Donner le developpement limit´e d’ordre 1 deφ_1/W1(t) quandt→0.

Rappel. R∞

0 y⁻²(cos (y)−1)dy=−π/2.

(c) Soient W1, . . . , Wn des variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [−1,1]. Donner la limite en loi de la suiteZ_n =n⁻¹Pn

i=1(1/W_i).

VSoientσ₁, σ₂, ρ∈R

B= σ²₁, ρ ρ, σ₂²

.

(a) Quelle condition faut-il imposer sur σ₁, σ₂, ρ pour qu’il existe un vecteur Gaussien (X, Y) d’esp´erance (0,0) et de matrice de covariances B ?

(b) Quelle condition faut-il imposer σ1, σ2, ρ pour que le vecteur Gaussien (X, Y) d’esp´erancce (0,0) de matrice de covariance B poss`ede une densit´e surR<sup>2</sup> par rapport `a la mesure de Lebesgue ? Donner cette densit´e.

(c) On consid`ere le vecteur W~ = (U, V) = (X−Y,(X+Y)/2). Donner sa loi. Quelle condition faut-il imposer sur les param`etresσ1 et σ2 pour que ces composantes soient ind´ependantes pour toutρ∈]− ∞, σ₁²σ₂²[ ?

(d) Soit σ₁² = σ₂² = 3, ρ = 1. Trouver une application lin´eaire A : R → R, telle que le vecteur A ~W soit un vecteur Gaussien dont l’esp´erance est 0 et la matrice de covariances

G= 18/5 4/5 4/5 2/5

.

VIFormuler le Th´eor`eme de la limite centrale vectoriel.

Corr´ection

I

(a) On calcule pour toute f mesurable born´ee _π¹2

R

R²f(xy, x)_1+x¹2

1

1+y²dxdy == _π¹2

R

R²f(z, u)_1+u¹2

1 1+z²/u²

1

|u|dudv. La densit´e vaut _π¹_21+u^|u|_2z2+u¹ ₂.

(b)R

R 1 π²

|u|

1+u² 1

z²+u²du=_π²₂R∞ 0

udu

(1+u²)(z²+u²)== _π¹_21−z¹₂

ln^u_1+u^2+z₂²

u=∞

u=0

= _π2^ln_(z2^z₋₁₎² . c) On calcule pour toute f mesurable born´ee R

Rf(ln|z|)_π2^ln(z^2z−1)² dz. Le changement de variable ln|z|=t, z =e^t pour z ∈ [0,∞[ et z = −e^t pour z =]− ∞,0] donne R∞

−∞f(t)_π2^2te(e^2ttdt−1)+R−∞

∞ f(t)_π^2t(−e2(e^2tt−1)^)dt = R∞

−∞f(t)_π2^4te(e^2ttdt−1) La densit´e de ln|Z|vaut donc _π2(e^t4t−e^−t).

d) CommeR

R 4tdt

π²(e^t−e^−t) = 1, l’int´egrale demand´ee vautπ²/4.

II

(a) lnZn/n=n⁻¹Pn

i=1ln(1 +Xi)→E(1 +Xi) =e⁻¹P∞

k=0ln(1 +k)/k! par la loi de grands nombres.

(b),P(Vn> )≤P(X16= 0)ⁿ= (1−e⁻¹)ⁿ→0, doncVn→0 en probabilit´e.

(c)P

nP(Vn> )<∞, Par le lemme de Borel-CantelliVn→0 p.s.

(d) SiVn convrgeait dansL¹, sa limite aurait ´et´e la mˆeme que la limite en probabilit´e, donc z´ero, orE|Vn|= 1, Vn ne converge pas dansL¹.

(e)G_X1+···Xn(s) = (G_X1(s))ⁿ=e^n(s−1), donc la loi deX₁+· · ·X_n est de Poisson de param`etren.

(f)Y_n est de loi qui est la loi de la somme denv.a. ind´ep. de loi de Poisson de param`etre 1. Donc par la loi de grands nombresY_n/n→1 p.s. et donc en proba. Donc lim_n→∞P(Y_n >2n) = 0.

(g) ^Yn√−n_n converge en loi versN(0,1) par le TLC.p

n/Y_n converge p.s. et donc en loi vers 1 par la loi de grands nombres.

Comme ^Y√n_Y⁻ⁿ

n =^Yn√−n_n ×p

n/Yn o`u les deux termes convergent en loi dont un vers une constante, ^Y√n_Y⁻ⁿ

n converge en loi vers N(0,1)×1 =N(0,1).

III(a)P(Xp> x) = (1−p)^[x]. P(Xp≤x) = 1−(1−p)^[x] pour x >0 etP(Xp≤x) = 0 pourx <0.

(b)P(pX_p≤x) = 1−(1−p)^[x/p]→1−e^−xpourx >0. DoncpX_p converge en loi vers la loi exponentielle de param`etre 1 quandp→0.

IV

(a)φ_1/W1(t) = (1/2)R1

−1e^it/xdx== (1/2)R1

0 e^it/xdx+(1/2)R0

1 e^it/(−x)(−dx) = (1/2)R1

0(e^it/x+e^−it/x)dx=R1

0 cos (t/x)dx.

( L’autre ´egalit´e est impossible d´ej`a par le fait queφ(0)6= 0.)

(b) Par le changement de variable t/x =y pour t > 0 et−t/x=y pour t < 0 on aφ_1/W1(t) =|t|R∞

|t| cos,(y)y⁻²dy =

|t|R∞

|t|(cos (y)−1)y⁻²dy+|t|R∞

|t| y⁻²dy=−(π/2)|t|+o(|t|) + 1,t→0.

(c) φZ_n(t) = (1−(π/2)|t|/n+o(1/n))ⁿ →exp(−(π/2)|t|). Zn converge en loi vers une v.a. de loi de Cauchy standard multipi´ee parπ/2.

V

(a)σ₁²σ₂²−ρ²≥0

(b)σ₁²σ₂²−ρ²>0. Densit´ef(s1, s2) =√ ¹

(2π)²detBexp(−~sB⁻¹~s/2),~s= (s1, s2).

(c) C’est un vecteur Gaussien d’esp´erance 0 et de matrice de covariances

C= σ²₁+σ²₂−2ρ, (σ²₁−σ²₂)/2 (σ²₁−σ²₂)/2, (σ²₁+σ²₂+ 2ρ)/4

.

La condition estσ1=σ2.

(d) Soit σ₁²=σ²₂ = 3, ρ= 1. La mariceC est diagonale avec 4 et 2 sur la diagonale. Ce sont les valeurs propres de la matrice G. Les vecteurs propres orthogonaux sont proportionnels aux (2,1) et (−1,2). DoncA= 2/√

5 −1/√ 5 1/√

5 2/√ 5

,car A^T =A⁻¹et ACA^T =ACA⁻¹=G.

VIVoir le poly du cours.