1 – Lois de variables al´eatoires

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD  – Variables al´eatoires, fon ions cara ´eri iques

0 – Petite question

. Calculer la fonion cara´eriique de la loi de probabilit´e de densit´e (− |x|)1^|x|<?

. Quelle ela fonion cara´eriique de la loi de probabilit´e de densit´e (−cos(x))/(πx^) ?

1 – Lois de variables al´eatoires

E

^{xercice 1. SoientX,Y etZ}des variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P).

. On suppose queX =Y p.s. Montrer que X etY ont la mˆeme loi. Montrer que la r´eciproque e fausse.

. On suppose queXetY ont la mˆeme loi.

(a) Soitf :R→Rune fonion bor´elienne. Montrer que les variables al´eatoiresf(X) etf(Y) ont la mˆeme loi.

(b) Montrer que les variables al´eatoiresXZetY Zn’ont pas n´ecessairement la mˆeme loi.

E

^{xercice 2.} (Simulation de variables al´eatoires.) Soient X une variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P) etFsa fonion de r´epartition d´efinie parF(t) =P(X≤t) pourt∈R.

. SiFecontinue etriement croissante, et siU eune variable uniforme sur [,], quelle ela loi de la variable al´eatoireF^−(U) ?

. Dans le cas g´en´eral on d´efinitF^−, l’inverse continu `a droite deFpar, F^−(u) = inf{x∈R : F(x)> u}. Quelle ela loi de la variable al´eatoireF^−(U) ?

. SoitU une variable al´eatoire de loi uniforme sur [,], etX la variable al´eatoire d´efinie parX=

−^

pln(U). D´eterminer la loi deX.

E

^{xercice 3.} (Variables exponentielles)

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



. On dit qu’une variable al´eatoire r´eelle positive v´erifie la propri´et´e d’absence de m´emoire si pour touss, t >,

P(X > t+s) =P(X > t)P(X > s).

Montrer qu’une variable al´eatoire r´eelle positiveXv´erifie la propri´et´e d’absence de m´emoire si et seulement siXeexponentielle.

. Soit X une variable al´eatoire exponentielle. Calculer la loi de la variable al´eatoire bXc, o `u bxc d´esigne la partie enti`ere dex.

2 – Fonctions caract´eristiques

Notation.SiXeune variable al´eatoire r´eelle, on noteraφ_X sa fonion cara´eriique, d´efinie par φ_X(t) =E

he^itXi

pourt∈R.

E

^{xercice 4.}

. Calculer les fonions g´en´eratrices des lois suivantes : (a) Bernoulli de param`etrep∈[,].

(b) Binomiale de param`etres (n, p), avecn∈N, p∈[,].

(c) G´eom´etrique de param`etrep∈],[.

(d) Poisson de param`etreλ >.

. Calculer les fonions cara´eriiques des lois suivantes : (a) Exponentielle de param`etreθ >.

(b) Uniforme sur [,].

E

^{xercice 5. SoitX}une variable al´eatoire r´eelle.

. On suppose queXadmet un moment d’ordren∈N^∗. Montrer queφ_X ede classeCⁿet que pour tout entier≤k≤n, on a

∀t∈R, φ^(k)_X (t) =i^kE

hX^kexp(itX)i . En particulier :

φ_X^(k)() =i^kE hX^ki

()

. On suppose queφ_X efois d´erivable en. Montrer queX admet un moment d’ordre et que E[X^] =−φ^()_X ().

. Soitk≥entier. On suppose queφ_X ekfois d´erivable en. Montrer queXadmet des moments jusqu’`a l’ordrebk/c(icibxcela partie enti`ere dex) donn´es par (??).

. Faire l’exercice??.

3 – ` A chercher pour la prochaine fois



E

^{xercice 6. SoitX}une variable al´eatoire r´eelle.

. On suppose queXadmet un moment d’ordren∈N^∗. (a) Montrer que pour toutt∈R:

φ_X(t) =

n−

X

k=

(it)^k k! E

hX^ki

+ (it)ⁿ (n−)!E

"

Xⁿ Z _

 (−u)^n−exp(ituX)du

# .

(b) Montrer que

φ_X(t) =

n−

X

k=

(it)^k k! E

hX^ki +(it)ⁿ

n! _n(t), o `u|_n(t)| ≤E[|X|ⁿ] et lim

t→_n(t) =.

. On suppose queXadmet des moments de tous ordres et que lim sup

n→∞

kXk

n

n =  R<∞.

Ici,kXk_n=E[|X|ⁿ]^/n. Montrer qu’alorsφ_X ed´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de tout r´eel, le rayon de convergence ´etant≥R/e. En d´eduire que :

∀t∈

−R e,R

e

, φ_X(t) =

∞

X

k=

(it)^k k! E

hX^ki .

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 7. SoitF} la fonion de r´epartition d’une mesure de probabliti´e µ telle queF(x)∈ {,} pour toutx∈D, o `uDeun ensemble dense deR. Montrer queµeune mesure de Dirac.

E

^{xercice 8. SoitX}une variable al´eatoire r´eelle de loiP_X=P

k∈Za_kδ_ksym´etrique (c`ada_k=a−k) et telle que P

k≥ka_k=∞. Le moment d’ordredeX e-il fini ?Que dire de la d´erivabilit´e ende φ_X? Comparer avec l’exercice??.

E

^{xercice 9.} (Probl`eme des moments)On consid`ere la fonionf :R^∗₊→R: f(x) = sin(πlnx) 

x√

πexp −lnx^



! . CalculerR

R+x^kf(x)dxpour toutk∈N.Que peut-on dire des v.a.XetY de densit´e respeives

 x√

πexp −lnx^



!

et (+ sin(πlnx))  x√

πexp −lnx^



!

?



E

xercice 10. (Pouvoir paranormal moyen)On consid`ere l’exp´erience de divination suivante. On dispose d’un jeu de cartes diines, d’un manipulateur et d’un devin. Le devin ne peut `a aucun moment voir le jeu ou le manipulateur, et doit deviner quelle ela carte se trouvant sur le dessus du paquet.

Il annonce donc une carte au hasard, et le manipulateur retourne silencieusement les cartes les unes apr`es les autres jusqu’`a tomber sur la carte annonc´ee par le devin. Apr`es quoi ce dernier doit deviner la carte qui suit. Il annonce une carte au hasard parmi lesreantes, et le manipulateur continue de retourner les cartes `a partir de l’endroit o `u il s’´etait arrˆet´e. Ainsi de suite jusqu’`a ce que tout le paquet soit retourn´e.

. Donner un espace de probabilit´e correspondant `a cette exp´erience.

. Montrer que siXeune variable al´eatoire `a valeurs dansNalors E(X) =X

k≥

P(X≥k).

. Combien de cartes en moyenne le devin trouvera-t-il ?

Fin

