3 – Lois de variables al´eatoires

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Lois de variables al´eatoires – Corrig´e

Notations.

Soit (Ω,F,P), un espace de probabilité. Soit (E,E) un espace mesurable. Une fonionX:Ω→E qui e(F,E)-mesurable eappeléevariable aléatoire, (sous entendu (F,E) mesurable), abrégé en v. a.

On parle de variable al´eatoire r´eelle lorsque (E,E) = (R,B(R)).

Lorsque E = R ou C et X ∈ L^(Ω,F,P), l’espérance de X e par définition son intégrale par rapport àP, et on la noteE[X] :

E[X] = Z

Ω

X(ω)P(dω).

Par d´efinition, laloideX, not´eeP_X, ela mesure image dePparX, autrement dit

∀C∈ E, P_X(C) =P(X∈C).

En particulier, d’après le théorème de transfert, pour toute fonionf :E→[,∞] qui eE-mesurable, Z

Ω

f(X(ω))P(dω) =E[f(X)] = Z

E

f(u)dP_X(u).

Une variable aléatoire réelle e dite gaussienne centrée réduite si sa densité e ^√^_πe⁻^x^^/ par rapport à la mesure de Lebesgue, et une variable aléatoire réelle e dite exponentielle de paramètre λ >si sa densité eλe⁻^λx1x≥par rapport à la mesure de Lebesgue.

1 – Calculs de lois

E

^{xercice 1.} Sur un espace de probabilité (Ω,A,P), on se donne (X, Y) une variable aléatoire à valeurs dansR^.

. On suppose que la loi de (X, Y) e

λµe⁻^λx⁻^µy1^R^₊(x, y)dx dy.

D´eterminer la loi de la variable al´eatoireU= min(X, Y).

. On suppose que la loi de (X, Y) e



πe⁻^x/^1^{x≥}1[,π](y)dx dy.

D´eterminer la loi de la variable al´eatoire (

√

Xcos(Y),

√

Xsin(Y)).

Pour des queions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V.



(2)

. On suppose que la loi de (X, Y) e



πe⁻^x

+y

 dx dy.

Calculer la loi de la variable aléatoire réelle ^X_Y. Corrigé :

. SoitF:R₊→R₊une fonion borélienne. On a, en utilisant le théorème de Fubini-Tonelli,

E(F(U)) = λµ Z

R^₊

F(min(x, y))e⁻^(λx+µy)dx dy

= λµ Z

{≤x≤y}

F(x)e⁻^(λx+µy)dx dy+λµ Z

{≤y≤x}

F(y)e⁻^(λx+µy)dx dy

= λ

Z∞

 F(x)e⁻^λx Z ^∞

x

µe⁻^µydy

! dx+µ

Z∞

 F(x)e⁻^µx Z ^∞

x

λe⁻^λydy

! dx

= (λ+µ) Z ∞

 F(x)e⁻^(λ+µ)xdx.

La variable al´eatoireU edonc exponentielle de param`etreλ+µ.

. SoitF:R^→R₊une fonion bor´elienne. On a,

E F√

Xcos(Y),

√

Xsin(Y)

= 

π Z ∞



Z _π

 f(

√

xcos(y),

√

xsin(y))e⁻^xdx dy

= 

π Z ∞



Z _π

 f(xcos(y), xsin(y))e⁻^x^^/x dx dy,

d’après la formule du changement de variables utilisée avec le C^-diffómorphisme suivant : (x, y)∈ R^∗₊×[,π] 7→(√

x, y)∈R^∗₊×[,π]. Puis d’apr`es la formule du passage en coordonn´ees polaires, on a



π Z∞



Z _π

 f(xcos(y), xsin(y))e⁻^x^^/x dx dy= 

π Z

Rf(u, v)e⁻^(u^^+v^^)/du dv.

La loi de (

√

Xcos(Y),

√

Xsin(Y)) edonc (π)⁻^e⁻^(u^^+v^^)/du dv.

Remarque :les variables

√

Xcos(Y) et

√

Xsin(Y) sont ind´ependantes et de loiN(,).

. Soitg:R→R₊bor´elienne. On a

E

g X

Y

= 

π Z

R^

g x y

! e⁻^x

+y

 dx dy.

Et (x, y)∈R×R^∗7→(x/y, y)∈R×R^∗eunC^-difféormorphisme de jacobieny⁻^. Donc d’après la formule de changements de variables puis le théorème de Fubini-Tonelli, on a

Z

R^

g x y

! e⁻^x

+y

 dx dy = Z

R^

g x y

!

|y|e⁻

y

(^x_y^_+)|y|⁻^dx dy

= Z

R^

g(u)|v|e⁻^v^^^(u^^+)du dv

= Z

R

g(u) Z

R

|v|e⁻^v^^^(u^⁺^⁾dv

! du

= 

Z

R

g(u)  u^+du.



(3)

Donc

E

g X

Y

=  π

Z

R

g(u)  u^+du,

ce qui signifie que la loi deX/Y ela loi de Cauchy, c’e-à-dire la loi de densité (π(+x^))⁻^par rapport à la mesure de Lebesgue.

3 – Lois de variables al´eatoires

E

^{xercice 2.} ^Soient^X,^Y êt^Zdes variables aléatoires réelles définies sur un espace de probabilité (Ω,A,P).

. On suppose queX=Y p.s. (c’e-`a-direPpresque partout). Montrer queXetY ont la mˆeme loi.

Montrer que la r´eciproque efausse.

. On suppose queXetY ont la mˆeme loi.

(a) Soitf :R→Rune fonion borélienne. Montrer que les variables aléatoiresf(X) etf(Y) ont la même loi.

(b) Montrer que les variables aléatoiresXZ etY Zn’ont pas nécessairement la même loi.

Corrig´e :

. SiX =Y p.s. alorsE(f(X)) =E(f(Y)) pour toute fonion boréliennef :R→R₊, ce qui montre queXetY ont la même loi. La réciproque efausse. Considérons une variable aléatoireXde loi normaleN(,) (c’e-à-dire de densité√

π⁻^e⁻^x^^/par rapport à la mesure de Lebesgue). Posons Y =−X. AlorsY eune variable aléatoireXde loi normaleN(,). En effet soitg:R→R₊une fonion borélienne. Alors

E(g(Y)) = Z ₊∞

−∞

g(−x)e⁻^x^^/dx= Z ₊∞

−∞

g(x)e⁻^x^^/dx.

DoncXetY ont la mˆeme loi mais ne sont pas ´egales p.s.

. (a) Pour toute fonion borélienneg:R→R₊, la foniong◦f eborélienne. CommeXetY ont la même loi, on a

E(g◦f(X)) =E(g◦f(Y)), ce qui montre quef(X) etf(Y) ont la mˆeme loi.

() (b) On reprend les variablesXetY de la queion. SoitZ=X. AlorsXZ =X^etY Z=−X^. La loi deX^eune mesure de probabilit´e surR₊ (diff´erente de la mesure de Diracδ_) et la loi de

−X^eune mesure de probabilit´e surR₋doncXZ etY Z n’ont pas la mˆeme loi.

E

^{xercice 3.} (Simulation de variables aléatoires.) SoientX une variable aléatoire réelle définie sur un espace de probabilité (Ω,A,P) etFsa fonion de répartition définie parF(t) =P(X≤t) pourt∈R.

. SiF econtinue etriement croissante, et siU eune variable uniforme sur [,], quelle e la loi de la variable al´eatoireF⁻^(U) ?

. Dans le cas général on définitF⁻^, l’inverse continu à droite deFpar, F⁻^(u) = inf{x∈R: F(x)> u}. Quelle ela loi de la variable aléatoireF⁻^(U) ?

Indication.On pourra v´erifier que{F⁻^(U)≤t}=T

n≥{U < F(t+/n)}.



(4)

. SoitU une variable aléatoire de loi uniforme sur [,], etXla variable aléatoire définie parX=

−^

pln(U). D´eterminer la loi deX.

Corrig´e :

. Soitt∈R. On a{F⁻^(U)≤t}={U ≤F(t)}. Donc

P(F⁻^(U)≤t) =P(U ≤F(t)) =F(t).

Or la fonion de répartition d’une variable aléatoire caraérise sa loi. Ainsi F⁻^(U) a la même loi queX.

. Soitt∈R. On a{F⁻^(U)≤t}=T

n≥{U < F(t+/n)}. Donc P(F⁻^(U)≤t)

= P







\

n≥

U < F

t+

n







= lim

n→∞

P

U < F

t+ n

= lim

n→∞F

t+ n

=F(t),

la dernière égalité étant une conséquence de la continuité à droite deF.

E

^{xercice 4.} (Variables exponentielles)

. On dit qu’une variable aléatoire réelle positive vérifie la propriété d’absence de mémoire si pour touss, t >,

P(X > t+s) =P(X > t)P(X > s).

Trouver toutes les variables aléatoires réelle positivesX qui vérifient la propriété d’absence de mémoire.

. Soit X une variable aléatoire exponentielle. Calculer la loi de la variable aléatoire bXc, o ùbxc désigne la partie entière dex.

Corrig´e :

. SiXeexponentielle de param`etreλalorsP(X > t) =R∞

t λe⁻^λxdx=e⁻^λt, et la propriété d’absence de mémoire evérifiée. Si Xvérifie la propriété d’absence de mémoire alors la fonionG:t7→

log(P(X > t)) eadditive. De plus,G= log(−F_X) econtinue à droite, doncG elinéaire. Et G ≤. Donc il exie λ ≥ tel que G(t) =−λt pour tout t >, et donc X eexponentielle de paramètreλ.

. On poseN =bXc. On a

P(N =k) =P(X∈[k, k+[) = Z _k+

k

λe⁻^λxdx= (e⁻^λk−e⁻^λ(k+)) = (−e⁻^λ)e⁻^λk,

ce qui signifie queN suit la loi géométrique de paramètree⁻^λ.

 – Compl´ements (hors TD)



(5)

E

^{xercice 6.} Sur un espace de probabilité (Ω,A,P), on se donne une variable aléatoireN à valeurs dans Rde loi (

√π)⁻^e⁻^x^^/dx. Calculer la loi de la variable al´eatoire/N^. Corrig´e :

SoitF:R₊→R₊une fonion bor´elienne. On a par sym´etrie

E(F(N⁻^)) = √

π Z

R

F 

x^

e⁻^x^^/dx=√

π Z

R^∗₊

F 

x^

e⁻^x^^/dx.

Etx∈R^∗

+7→x⁻^∈R^∗

+eunC^diff´eomorphisme de Jacobien−x⁻^donc d’apr`es la formule du changement de variables, on a

Z

R^∗₊

F 

x^

e⁻^x^^/dx= Z

R^∗₊

F(u)e⁻^/(u)(u^/)⁻^du.

Donc la loi de/N^e^√_πu^ _e⁻^/(u)1^{_u>^}du.

E

^{xercice 7.} ^Soit^F la fonion de répartition d’une mesure de probablitié µ telle queF(x)∈ {,} pour toutx∈D, o ùDeun ensemble dense deR. Montrer queµeune mesure de Dirac.

Corrig´e :

Par continuit´e `a droite deF on aF(x)∈ {,}pour toutt∈R. On pose a= inf{x∈R:F(x) =}.

Comme F(x) → quand x →+∞ on a a <+∞. De même a >−∞. Par continuité à droite deF, on a

F(x) =1[a,+∞[,et doncF ela fonion de r´epartition deδ_a.

E

^{xercice 8.} Sur un espace de probabilité (Ω,A,P), on se donne (X_, . . . , X_n) une variable aléatoire à valeurs dansRⁿde loi

1_[,]ⁿ(x_, . . . , x_n)dx_. . . dx_n.

. Conruire, à l’aide des évènements A_σ ={X_σ_ < . . . < X_σ_n} pour σ ∈ S

n, n variables al´eatoires Y_, . . . , Y_nsur (Ω,A,P) telles que

Y_(ω)≤. . .≤Y_n(ω) et {Y_(ω), . . . , Y_n(ω)}={X_(ω), . . . , X_n(ω)} pour presque toutω∈Ω.

. D´eterminer les lois des variables al´eatoires (Y_, . . . , Y_n) et (Y_/Y_, . . . , Y_n−/Y_n).

Corrig´e :

. Soiti∈ {, . . . , n}. On peut d´efinir pour presque toutω∈Ω, Y_i(ω) = X

σ∈S_n

X_σ_i(ω)1^{X_σ_(ω)<...<X_σn(ω)}.

En effet, la mesure de Lebesgue des hyperplans deRⁿo ù deux coordonnées sont égales enulle.

Ainsi, les variables al´eatoiresY_, . . . , Y_nsont bien d´efinies.

. Soitf : [,]ⁿ→R₊une fonion bor´elienne. On a

E(f(Y_, . . . , Y_n)) = X

σ∈S_n

Z

{≤x_σ_<...<x_σn≤}

f(x_σ_, . . . , x_σ_n)dx_. . . dx_n

= n!

Z

{≤x_<...<x_n≤}

f(x_, . . . , x_n)dx_. . . dx_n.



(6)

La loi de (Y_, . . . , Y_n) edonc

n!1^{_^≤x_<...<x_n≤}dx_. . . dx_n. Soit maintenantg: ],[ⁿ⁻^→R₊une fonion bor´elienne. On a

E g Y_

Y_, . . . ,Y_n−

Y_n

!!

=n!

Z

{<x_<...<x_n<}

g x_

x_, . . . ,x_n−

x_n

!

dx_. . . dx_n. Etφ: (x_, . . . , x_n)∈ {< x_< . . . < x_n<} 7→_x

x_, . . . ,^x_xⁿ⁻^

n , x_n

∈],[ⁿeunC^-difféomorphisme de jacobien égal à (x_. . . x_n)⁻^. Ainsi, d’après la formule de changements de variables puis le théorème de Fubini-Tonelli, on a

E g Y_

Y_, . . . ,Y_n−

Y_n

!!

= n!

Z

],[ⁿg(u_, . . . , u_n−)u_u_^. . . u_nⁿ−⁻^uⁿ_n⁻^du_. . . du_n

= (n−)!

Z

],[ⁿ⁻^g(u_, . . . , u_n−)u_u_^. . . u_nⁿ−⁻^du_. . . du_n−. Donc la loi de (Y_/Y_, . . . , Y_n−/Y_n) e

(n−)!u_u_^. . . u_nⁿ−⁻^1_],[ⁿ⁻^(u_, . . . , u_n−)du_. . . du_n−.

Remarque :les variablesY_/Y_, . . . , Y_n−/Y_nsont ind´ependantes, et chaqueY_i/Y_i+ede loiiyⁱ⁻^1_],[(y)dy.

E

^{xercice 9.} (Pouvoir paranormal moyen)On considère l’expérience de divination suivante. On dispose d’un jeu de cartes diines, d’un manipulateur et d’un devin. Le devin ne peut à aucun moment voir le jeu ou le manipulateur, et doit deviner quelle ela carte se trouvant sur le dessus du paquet.

Il annonce donc une carte au hasard, et le manipulateur retourne silencieusement les cartes les unes après les autres jusqu’à tomber sur la carte annoncée par le devin. Après quoi ce dernier doit deviner la carte qui suit. Il annonce une carte au hasard parmi lesreantes, et le manipulateur continue de retourner les cartes à partir de l’endroit o ù il s’était arrêté. Ainsi de suite jusqu’à ce que tout le paquet soit retourné.

. Donner un espace de probabilité correspondant à cette expérience.

. Montrer que siXeune variable al´eatoire `a valeurs dansNalors E(X) =X

k≥

P(X≥k).

. Combien de cartes en moyenne le devin trouvera-t-il ? Corrig´e :

. Supposons que les cartes dans le paquet soient numérotées deà. Le devin annonce les cartes dans un autre ordre, c’e à dire qu’il annonce une permutation de{, . . . ,}. On se place donc sur (S_,P(S_),P= #/!).

. On a

E(X) = X

k≥

kP(X=k) = X

k≥

k(P(X≥k)−P(X≥k+))

= lim

N→∞







N

X

k=

kP(X≥k)−

N+

X

k=

(k−)P(K≥k)







= X

k≥

P(X≥k).



(7)

. Le nombre de cartes que le devin trouvera e

X= max{k:ω()< ω()< . . . < ω(k)}. Et l’on a pour≤k≤

P(X≥k) = X

≤j_<...<j_k≤

P({ω:ω() =j_, . . . , ω(k) =j_k}) = X

≤j_<...<j_k≤

(−k)!

! =  k!.

Ainsi, il trouvera en moyenne

E(X) = X

k=



k! ≈ e−.

E

xercice 10. On considère un jeu decartes bien mélangé, posé face caché sur une table. On retourne une à une les cartes jusqu’à trouver une dame. Combien de cartes aura-t-on vu en moyenne ?

Corrig´e :

On place toutes les cartes (face visible) en cercle sur la table (de sorte qu’on voit toutes les cartes), et on ajoute une cinquième dame fiive entre la première carte du paquet et la dernière carte du paquet.

Lescartes sont ainsi partionnées en cinq intervalles qui ont même loi (chaque intervalle commençant par la carte suivant une dame et finissant par une dame), de sorte que le nombre moyen de cartes dans le premier intervalle e /. Le nombre de cartes qu’on aura vu étant le nombre de cartes entre la cinquième dame (excluse) et la première dame (incluse), on aura donc vu en moyenne/cartes.

Fin

