Chapitre 3 Variables al´eatoires discr`etes

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Chapitre 3

Variables al´ eatoires discr` etes

Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee

(2)

Table des mati` eres

1 Notion de variables al´eatoires 2

1.1 Généralités . . . 2

1.2 Premières propriétés des variables discrètes . . . 2

1.3 Loi d’une variable al´eatoire . . . 4

1.4 Fonctions de r´epartition . . . 5

2 Moments d’une variable al´eatoire 6 3 Lois usuelles 8 3.1 Loi uniforme . . . 8

3.2 Loi de Bernoulli . . . 10

3.3 Loi binomiale . . . 11

3.4 Loi hyperg´eom´etrique . . . 13

3.5 Loi g´eom´etrique . . . 15

3.6 Loi de Poisson . . . 17

4 Exercices du td 20 4.1 Exercices `a chercher . . . 20

4.2 Exercices `a faire pendant la classe . . . 21

4.3 Exercices bonus . . . 21

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Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Notion de variables aléatoires

En première année, on a vu des variables aléatoires ne pouvant prendre qu’un nombre fini de valeurs. Une telle variable était issue d’une expérience ou de la répétition d’un nombre fini d’expériences.

Se limiter à telles variables est une restriction empêchant de se poser de questions très naturelles sur les expériences faites comme : Si je fais une expérience qui a une chance sur deux de mar- cher, combien faut-il d’expériences, en moyenne, pour avoir le premier succès ?, combien faut-il d’expériences, en moyenne, pour avoir deux, trois,... succès ? Pour répondre à ce type de questions et d’autres, nous devons avons besoin de variables pouvant prendre toutes les valeurs entières.

+ Mise en garde :

Bien relire toutes les notions vues dans le chapitre ”Espaces probabilis´es et variables al´eatoires” avant de commencer ce chapitre !

Dans tout ce chapitre, (Ω,T, P) sera un espace probabilisé et X et Y deux variables aléatoires discrètes sur cet espace.

1 Notion de variables al´ eatoires

1.1 G´ en´ eralit´ es

Si X(Ω) est au plus dénombrable, on dit que X est une variable discrète. Dans les variables discrètes, on distingue deux cas : discrète finie et discrète infinie. Si X est une variable discrète, on dit qu’elle est discrète finie si X(Ω) est fini et discrète infinie si X(Ω) est dénombrable.

D´efinition 1

, Exemple :

Expérience 1 : Un joueur lance une pièce non truquée deux fois de manière indépendante. À chaque fois qu’il obtient pile, il gagne un euro et à chaque fois qu’il obtient face, il perd deux euros. On appelle G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. G est donc une variable discrète finie.

Expérience 2 : On lance une pièce de monnaie jusqu’à obtenir pile et on noteX le nombre tirs effectués et on dit que (X = 0) a lieu si on n’obtient que des faces. X(Ω) est N. X est donc une variable discrète infinie.

Expérience 3 : On jette deux dés équilibrés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note S la somme de ces deux dés. S est une variable discrète finie.

Expérience 4 : On noteT le retard d’un train donné en minutes. On a T(Ω) =R⁺.T n’est pas une variable discrète.

1.2 Premi` eres propri´ et´ es des variables discr` etes

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* Remarque :

X sera une variables discr`ete dans tout ce chapitre, on pourra donc ´ecrire X(Ω) sous la forme suivante :

{x_i, i∈I}

avec I une partie de N (I peut ˆetre N ou N^? entre autre si X est infinie, I pourra s’´ecrire sous la forme J1, pK avecp entier naturel non nul si X est finie).

La famille d’événements ((X = x))x∈X(Ω) est un système complet d’événements, on l’appelle système complet d’événements associé à X.

Proposition 2

, Exemple :

On peut, sans difficulté, donner les systèmes complet d’événements associés aux variables aléatoires des expériences 1, 2 et 3.

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. Pour tout événementB, on peut donc écrire : P(B) = X

x∈X(Ω)

P(B∩(X =x))

= X

x∈X(Ω)

P_(X=x)(B)×P(X =x).

Cela s’appelle décomposer l’événementB suivant les valeurs de X.

Soit α un r´eel.

• X+Y, X×Y,αX sont aussi des variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,T, P).

• Soient f une fonction à valeur réelle dont l’ensemble de définition contient X(Ω) et h une fonction de deux variables à valeur réelle dont l’ensemble de définition contient X(Ω)×Y(Ω). f(X) eth(X, Y) sont des variables aléatoires discrètes sur (Ω,T, P).

• max(X, Y) et min(X, Y) sont en particulier des variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,T, P).

Proposition 3

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. On peut prendre pour f (ou h) une fonction continue, continue par morceaux, monotone, et d’une fa¸con générale, toute fonction que l’on rencontre dans la pratique. On peut ainsi, si on le souhaite prendre une variable aléatoire, la mettre au carré,

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1.3 Loi d’une variable al´ eatoire

• On appelle loi de X ou densit´e de X l’application L_X suivante :

L_X :

(X(Ω) →[0,1]

x 7→P(X =x)

• Donner la loi deX consiste ou bien à expliciter l’application L_X définie ci-dessus ou à décrire X(Ω) et à donner les valeurs de P(X =x) pour tout x deX(Ω).

D´efinition 4

, Exemple :

On peut, sans difficulté, donner les lois des variables aléatoires des expériences 1, 2 et 3.

* Remarque :

Soient (Ω,T, P) un espace probabilisé,X et Y deux variables aléatoires discrètes sur (Ω,T, P). On peut avoir L_X =L_Y avecX etY deux variables distinctes. C’est le cas par exemple si on lance une pièce équilibrée et qu’on note X la variable donnant 1 si on obtient pile et 0 si on a face et Y la variable donnant 1 si on obtient face et 0 si on a pile.

Soient I une partie au plus dénombrable de N et {p_i, i∈I} une famille de réels. Cette famille définit une loi de probabilité (i.e. il existe (Ω,T, P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur (Ω,T, P) telle que la loi de X soit cette famille) si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1. ∀ i∈I, p_i >0. 2. X

i∈I

p_i existe et vaut 1.

Proposition 5

M´ethode:

Si on nous donne I une partie au plus dénombrable de Z et {p_i, i∈I} une famille de réels alors, pour prouver qu’on a bien défini une loi, il faut s’assurer de deux choses :

1. On s’assure que p_k (pour tout k de I) est positif.

2. On prouve que X

k∈I

pk existe et vaut 1.

Si I est une partie finie de Z, on applique la mˆeme d´emarche mais on n’a pas besoin de prouver l’existence de X

k∈I

p_k.

, Exemple :

On peut, sans difficulté, donner les lois des variables aléatoires des expériences 1, 2 et 3 ainsi qu’une représentation graphique et s’assurer, avec la méthode précédente, qu’il s’agit bien de loi.

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1.4 Fonctions de r´ epartition

+ Mise en garde :

Bien relire la définition et les propriétés de la fonction de répartition vues dans le chapitre ”Espaces probabilisés et variables aléatoires”.

La fonction F_X de r´epartition de X et sa loi L_X sont reli´ees. Si X(Ω) ={x_i ∈I} avec I une partie de N etx₁ < x₂ <· · ·, on a alors :

• Pour tout élément i deI supérieur à 2, P(X =x_i) =F_X(x_i)−F_X(xi−1).

• Pour tout ´el´ement ideI, F_X(x) =P(X =x₁) +· · ·+P(X =x_i) six∈[x_i, x_i+1[.

En particulier si X(Ω)⊂Z alors, pour tout entierk, on a : P(X =k) =F_X(k)−F_X(k−1).

Proposition 6

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. On peut donc résumer le passage entre fonction de répartition et loi en disant que F_X est constante par morceaux et que les discontinuités ont lieu aux valeurs de X, la hauteur du saut étant la probabilité correspondante.

- Exercice 1 :

On fait n (n entier naturel non nul) tirages avec remise d’une urne comptant 3 boules numérotées de 1 à 3. On noteX le plus grand des nombres obtenus. Donner la loi de X.

M´ethode:

Comme on vient de le voir dans cet exercice, il faut penser, lorsqu’on a du mal à obtenir une loi, que les probabilités des événements suivants et si elles sont connues pour tout x deX(Ω)) :

(X =x) (X>x) (X 6x)

permettent d’accéder à la loi de X. Il faut y penser en particulier quand intervient dans la définition deX une notion d’ordre, de min ou de max.

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Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Moments d’une variable aléatoire

2 Moments d’une variable al´ eatoire

• Si X est finie alors on pose {x₁,· · · , x_n} = X(Ω) et on appelle esp´erance de X (ou valeur moyenne) le nombre suivant :

E(X) =x₁P(X =x₁) +x₂P(X =x₂) +· · ·+x_nP(X =x_n).

• Si X(Ω) est dénombrable alors on l’écrit sous la forme {xi, i∈N} et, si la série de terme général x_kP(X = x_k) converge absolument, i.e. si

n−→+∞lim

n

X

k=0

|xk|P(X =xk)

!

existe et est finie, alors on dit que X admet une espérance (ou est intégrable) et on appelle espérance de X (ou valeur moyenne) le nombre suivant :

E(X) = lim

n−→+∞

n

X

k=0

x_kP(X =x_k)

! .

Si la série de terme généralx_kP(X =x_k) ne converge pas absolument, on dit que X n’a pas d’espérance.

D´efinition 7

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition.

1. Si X(Ω) est dénombrable, on ne dit pas que X est intégrable si la série de terme général x_kP(X =x_k) converge mais si la série de terme généralx_kP(X =x_k)converge absolument! 2. Ne pas parler de l’espérance deX (si X(Ω) est dénombrable) avant d’avoir prouvé son exis-

tence. Ne pas ´ecrire ou manipuler directement

+∞

X

k=0

|xk|P(X =xk)

! .

* Remarque :

1. Toute variable aléatoire discrète finie admet une espérance. Le problème est plus délicat pour une variable aléatoire infinie, elle ne peut ne pas avoir d’espérance.

2. SiX est une variable aléatoire discrète sur (Ω,T, P) prenant des valeurs positives alorsE(X) est défini et est un réel positif ou bien +∞. Cette propriété s’appelle la positivité de l’espérance.

+ Mise en garde :

On se rend compte que cette définition d’espérance est conforme aux propriétés nécessaires pour être appelée ”Espérance”. En découlent alors les notions et propriétés vues dans le chapitre ”Espaces probabilisés et variables aléatoires” :

• Lin´earit´e, croissance.

• définition et propriétés de la variance, des moments de manière plus générale.

• Notion de variable r´eduite, centr´ee.

• Inégalités de Markov, de Bienaymé-Tchebychev.

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Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Moments d’une variable aléatoire

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. On impose la convergence absolue de la série de terme général x_kP(X = x_k) et pas uniquement la convergence pour parler d’espérance pour éviter que l’existence de E(X) ne dépende de la fa¸con dont on ordonne X(Ω). En effet, si (u_n)n∈N est une suite et (v_n)_n∈_N une suite composée des mêmes termes que la précédente mais pas dans le même ordre (pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel m tel que v_n =u_m), il est possible que les séries de terme général u_netv_nsoient l’une convergente et l’autre divergente ! Par contre, si l’une des deux converge absolument, cela sera aussi le cas de l’autre.

-) Exercice 2 :

Evaluer les esp´´ erances des variables al´eatoires des exp´eriences 1, 2 et 3.

Th´eor`eme de transfert.

Soit f est une fonction à valeur réelle dont l’ensemble de définition contientX(Ω).

• Si X est finie alors on pose{x₁,· · · , x_n}=X(Ω), E(f(X)) existe et vaut : E(f(X)) =f(x₁)P(X =x₁) +· · ·+f(x_n)P(X =x_n).

• Si X(Ω) est dénombrable alors on l’écrit sous la forme {xi, i∈N} et, si la série de terme général f(x_k)P(X = x_k) converge absolument, i.e. si

n−→+∞lim

n

X

k=0

|f(x_k)|P(X =x_k)

!

existe et est finie, alorsE(f(X)) existe et vaut :

E(f(X)) = lim

n−→+∞

n

X

k=0

f(x_k)P(X =x_k)

! .

Si la série de terme général x_kP(X =x_k) ne converge pas absolument, f(X) n’a pas d’espérance.

Th´eor`eme 8

* Remarque :

On utilise les notations du précédent théorème. Ce théorème permet de calculer l’espérance def(X) sans avoir à déterminer la loi def(X), on utilise uniquement la loi de X. Il sera donc très utile pour calculerV(X) en cas d’existence.

, Exemple :

1. On peut, avec ce théorème, calculer facilement E(G³), E(S²), E(ln(S)) et E(X(X−1)) avec X, S et G les variables aléatoires liées aux expériences 1, 2 et 3 données en début de chapitre.

2. Avec le théorème du transfert, on peut donner des formules explicites (en cas d’existence) de la variance et des moments d’une variable aléatoire discrète.

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Chapitre 3: Variables al´eatoires discr`etes Lois usuelles

Soit r un entier naturel non nul.

• Si E(X^r) existe alors, pour tout k deJ1, rK, E(X^k) existe.

• E(X^r) existe si et seulement siE((X−E(X))^r) existe.

Proposition 9

3 Lois usuelles

3.1 Loi uniforme

Soit n un entier naturel non nul.

• Soientx₁,· · · , x_nnr´eels distincts deux-`a-deux. On dit queXsuit une loi uniforme sur {x₁,· · ·, x_n}si :

X(Ω) ={x₁,· · · , x_n} et ,∀k ∈J1, nK, P(X =x_k) = 1 n. On note alors X ,→ U({x1,· · · , xn}).

• En particulier, si X ,→ U(Ja, bK) avec a et b deux entiers tels que a < b alors on a :

X(Ω) =Ja, bK et ,∀k∈Ja, bK, P(X =k) = 1 b−a+ 1.

• On note X ,→ U(n) lorsque X suit une loi uniforme sur J1, nK. D´efinition 10

, Exemple :

SiX est le numéro obtenu lors du jet d’un dé équilibré et cubique alors X ,→ U(6).

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. Si X suit une loi uniforme et est discrète alors X ne peut que être finie.

• SiX est une variable al´eatoire suivant une loi uniforme surJa, bK avecaetb deux entiers tels que a < b alors on a :

E(X) = a+b

2 et V(X) = (b−a)×(b−a+ 2)

12 .

• SiX est une variable al´eatoire suivant une loi uniforme surJ1, nK(nentier naturel non nul), on a

E(X) = n+ 1

2 et V(X) = n²−1 12 . Proposition 11

(10)

* Remarque :

Ces derni`eres formules sont valables pour une variable suivant une loi uniforme sur des ensembles bien pr´ecis ( de la forme Ja, bK avec a et b deux entiers tels que a < b ) pas pour sur un ensemble quelconque !

, Exemple :

On peut sans difficult´e donner E(X), V(X),E(Y) et V(Y) avec : 1. X suivant une loi uniforme sur {1851,8563,12}.

2. Y suivant une loi uniforme sur J−10,14K.

6 Un peu de python:

Listing 1 – loiunif.py i m p o r t n u m p y as np

i m p o r t m a t p l o t l i b.p y p l o t as plt

def uni(a, b):

r e t u r n np.r a n d o m.r a n d i n t(a,b)

def Loi(n, a, b):

c=[ uni(a, b) for i in r a n g e(n)]

V a l e u r s = r a n g e(a, b+1)

P r o b a s = [c.c o u n t(k)/n for k in V a l e u r s] plt.bar(Valeurs, P r o b a s)

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.35 Loi d'une variable uniforme sur [2, 5] avec 5000 répétitions

2 0 2 4 6 8 10 12 14

0.00 0.05 0.10 0.15

Loi d'une variable uniforme sur [0, 12] avec 5000 répétitions

(11)

3.2 Loi de Bernoulli

Soit p un élément de [0,1]. On dit queX suit une loi de Bernoulli de paramètre psi : X(Ω) ={0,1}, P(X = 1) =p etP(X = 0) = 1−p.

On note alors X ,→ B(p).

D´efinition 12

* Remarque :

1. On vient bien de proposer une loi puisque les nombres propos´es sont positifs et leur somme vaut 1.

2. Voici une situation typique modélisée par cette loi. On fait une expérience dont on classe les résultats en deux catégories : les succès et les échecs (par exemple : lancer une pièce et considérer qu’obtenir ”pile” est un succès. Ç a peut être aussi lancer deux dés et dire qu’on a un succès si les deux résultats diffèrent de 1...). X désigne alors la variable valant 1 si on réalise un succès et 0 sinon. On a a lors X ,→ B(p) avec p la probabilité du succès.

SiX ,→ B(p) avec p∈[0,1] alors on a :

E(X) =p et V(X) =p(1−p).

Proposition 13

6 Un peu de python:

Listing 2 – loibern.py i m p o r t n u m p y as np

def b e r n(p):

u=np.r a n d o m.r a n d() if(u<=p) :

r e t u r n 1 r e t u r n 0

def Loi(n,p):

a=[ b e r n(p) for i in r a n g e(n)]

V a l e u r s = [0 ,1]

P r o b a s = [a.c o u n t( 0 ) /n,a.c o u n t( 1 ) /n] plt.bar(Valeurs, P r o b a s)

(12)

0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Loi d'une variable bernoulli de paramètre 0.7 avec 5000 répétitions1.0

0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

1.0Loi d'une variable bernoulli de paramètre 0.2 avec 5000 répétitions

3.3 Loi binomiale

Soient n un entier naturel et pun élément de [0,1]. On dit queX suit une loi binomiale de paramètres (n, p) si :

X(Ω) =J0, nK et ∀k ∈J0, nK, P(X =k) =p^k(1−p)^n−k n

k

. On note alors X ,→ B(n, p).

D´efinition 14

* Remarque :

2. Si X ,→ B(1, p) alors X ,→ B(p).

3. Voici une situation typique modélisée par cette loi. On faitnexpériences aléatoires indépendantes.

Pour chacune de ces expériences, on range les résultats dans deux catégories : le succès ou l’échec. Si la probabilité du succès est à chaque fois la même et si X compte le nombre de succès alorsX ,→ B(n, p). C’est le cas par exemple dansntirages successifs avec remise : si on compte le nombre de boules blanches dans une urne ayant une proportion pde boules blanches

`

a l’origine et que l’on procède à n tirages successifs avec remise alors X suit une loi de Ber- noulli de paramètres (n, p). On a deux paramètres à déterminer : n, le nombre d’expériences et p la probabilité à chaque fois du succès.

(13)

SiX ,→ B(n, p) (avec (n, p)∈N×[0,1]), on a :

E(X) = np et V(X) =np(1−p).

Proposition 15

6 Un peu de python:

Listing 3 – loibino.py i m p o r t n u m p y as np

def b i n o(n, p):

s=0

for k in r a n g e(n):

u=np.r a n d o m.r a n d() if(u<=p) :

s+=1 r e t u r n s

def Loi(m, n,p):

a=[ b i n o(n,p) for i in r a n g e(m)]

V a l e u r s = r a n g e(n+1)

P r o b a s = [a.c o u n t(k)/m for k in V a l e u r s] plt.bar(Valeurs, Probas, w i d t h = e p a i s s e u r)

2 0 2 4 6 8 10 12

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

Loi d'une variable binomiale de paramètres 10 et 0.3 avec 5000 répétitions

2 0 2 4 6 8 10 12

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Loi d'une variable binomiale de paramètres 10 et 0.7 avec 5000 répétitions0.35

(14)

3.4 Loi hyperg´ eom´ etrique

Pour tout entier naturelp etn, on pose : n

p

= 0 si p > n et n

p

= n!

p!(n−p)! sip6n.

D´efinition 16

Relation de Vandermonde

Pour tout entier naturelp, n et m, on a :

p

X

k=0

n k

m p−k

=

n+m p

. Proposition 17

Soient n un entier naturel,p un élément de [0,1] etN un entier naturel non nul. On dit que X suit une loi hypergéométrique de paramètres (N, n, p) si le produit N ×p est un entier naturel,n 6N et si :

X(Ω)⊂J0, nK et∀k ∈J0, nK, P(X =k) = N p

k

N −N p n−k

N

n

.

On note alors X ,→ H(N, n, p).

D´efinition 18

* Remarque :

2. On peut ˆetre plus pr´ecis que X(Ω) ⊂ J0, nK en disant que X(Ω) est Jmax(0, n − N(1− p)),min(n, N p)K.

3. Voici une situation typique modélisée par cette loi. On réalise n tirages successifs sans remise ou un tirage simultanée de n boules dans une urne de N boules ayant une proportion p de boules blanches à l’origine alors si on compte le nombre X de boules blanches obtenues, X suit une loi de hypergéométrique de paramètres (N, n, p). On a trois paramètres à déterminer : N, le nombre de boule à l’origine,n, le nombre d’expériences etpla proportion de boules qui nous intéressent à l’origine.

(15)

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. Ne pas oublier la condition N ×p entier pour la loi hypergéométrique ! On peut se souvenir que dans cette loi, N ×p est le nombre de boules qui nous intéressent à l’origine, c’est donc un entier !

SiX ,→ H(N, n, p) (avec N ∈N^∗, n∈N, p∈[0,1],N p entier naturel et n6N) , on a : E(X) = np et V(X) =np(1−p)× N−n

N −1 (Formule de la variance hors-programme).

Proposition 19

6 Un peu de python:

Listing 4 – loihyper.py i m p o r t n u m p y as np

def h y p e r g e o ( N , n , p ):

s=0 a=p*N b=(1 -p)*N

for k in r a n g e(n):

u=np.r a n d o m.r a n d() p=a/N

N+= -1

if(u<=p) : a+= -1 s+=1 r e t u r n s

def Loi(m,N , n , p):

a=[ h y p e r g e o ( N , n , p ) for i in r a n g e(m)]

V a l e u r s = r a n g e(max(a))

P r o b a s = [a.c o u n t(k)/m for k in V a l e u r s] plt.bar(Valeurs, P r o b a s)

(16)

2 0 2 4 6 8 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Loi d'une variable hypergéométrique ( 20,10, 0.6) avec 5000 répétitions

2 0 2 4 6 8 10

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Loi d'une variable hypergéométrique ( 200,10, 0.6) avec 5000 répétitions0.35

1 0 1 2 3 4 5 6

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

3.5 Loi g´ eom´ etrique

Soit p un élément de ]0,1[. On dit queX suit une loi géométrique de paramètre p si : X(Ω) =N^? et ∀k∈N^?, P(X =k) = p×(1−p)^k−1.

On note alors X ,→ G(p).

D´efinition 20

* Remarque :

1. On vient bien de proposer une loi puisque les nombres propos´es sont positifs et leur s´erie converge vers 1.

2. Voici une situation typique modélisée par ces lois. On réalise une succession infinie d’épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre p, on appelle X le rang d’apparition du premier succès et Y le nombre d’échecs précédant le premier succès.X suit alors une loi géométrique de paramètre psur ^? etY suit alors une loi géométrique de paramètre p sur .

(17)

Soit pun élément de ]0,1[. Si X suit une loi géométrique de paramètre palors X admet une variance et :

E(X) = 1

p et V(X) = 1−p p² . Proposition 21

Soient p un élément de ]0,1[ et X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p.

• Pour tout entier naturel k, on a : P(X > k) = (1−p)^k.

• La loi géométrique est une loi sans mémoire, cela signifie que pour tous entiers naturels s etk, on a :

P_(X>k)(X > s+k) = P(X > s).

Proposition 22

6 Un peu de python:

Listing 5 – loigeo.py i m p o r t n u m p y as np

def geo ( p ):

s=1

u=np.r a n d o m.r a n d() w h i l e u>p:

u=np.r a n d o m.r a n d() s+=1

r e t u r n s

def Loi(n , p):

a=[ geo (p ) for i in r a n g e(n)]

V a l e u r s = r a n g e(max(a)) # U n i v e r s i m a g e

P r o b a s = [a.c o u n t(k)/n for k in V a l e u r s] # La s o m m e v a u t 1 plt.bar(Valeurs, P r o b a s)

(18)

0 5 10 15 20

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

Loi d'une variable géométrique de paramètre 0.3 avec 5000 répétitions0.40

0 5 10 15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Loi d'une variable géométrique de paramètre 0.7 avec 5000 répétitions

3.6 Loi de Poisson

Soit λ un r´eel strictement positif. On dit que X suit la loi de Poisson de param`etre λ si X(Ω) =N et ∀k ∈N, P(X =k) = exp (−λ)× λ^k

k!. On note alors X ,→ P(λ).

D´efinition 23

* Remarque :

1. On vient bien de proposer une loi puisque les nombres proposées sont positifs et leur série converge et leur somme vaut 1. Il suffit de se souvenir des séries exponentielles !

2. Voici une situation typique modélisée par cette loi. On compte le nombre N_t d’événements d’un certain type se produisant dans une période de tempstconnu. Si le nombre d’occurrences dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants et si la probabilité d’une occurrence dans un petit intervalle de temps est proportionnelle à la longueur de cet intervalle (on note λ le coefficient de proportionnalité) alors, pour tout réel t positif, Nt suit une loi de Poisson de paramètre λ×t. On utilise cette loi ainsi pour donner le nombre de clients se présentant dans un magasin pendant un temps donné, le nombre d’appels re¸cus par un standard téléphonique pendant un temps donné, le nombre de gouttes de pluie tombées pendant un temps donné.

3. On verra aussi dans le chapitre Théorèmes limites que cette loi permet de modéliser le nombre de succès enregistrés lorsque l’on répète plein de fois et de fa¸con indépendante une expérience aléatoire dont la probabilité de succès est faible. Si, pour tout entier naturel non nul n, on a :

Xn,→ B

n,λ n

avec λ un r´eel strictement positif fix´e alors :

(19)

avec X suivant une loi de Poisson de paramètre λ. On dit que c’est la loi des événements rares.

4. On s’attend à ce que les élèves modélisent des situations en utilisant une loi géométrique, une loi binomiale... mais pas une loi de Poisson. C’est l’énoncé qui précisera que la situation sera modélisée par une loi de Poisson.

Soit λ un r´eel strictement positif. Si X suit une loi de Poisson de param`etre λ alors X admet une variance et :

E(X) =λ et V(X) =λ.

Proposition 24

6 Un peu de python:

Listing 6 – loipoiss.py i m p o r t n u m p y as np

def p o i s s(l):

F=0 i=0

u=np.r a n d o m.r a n d() S=np.exp( -l)

w h i l e F<u: i+=1 F+=S S*=l/i r e t u r n i-1

def Loi(n , l):

a=[ p o i s s(l) for i in r a n g e(n)]

V a l e u r s = r a n g e(max(a))

P r o b a s = [a.c o u n t(k)/n for k in V a l e u r s] plt.bar(Valeurs, P r o b a s)

(20)

0 2 4 6 8 10 12 14

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Loi d'une variable de Poisson de paramètre 5 avec 5000 répétitions

0 5 10 15 20 25 30 35

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12

Loi d'une variable de Poisson de paramètre 20 avec 5000 répétitions

* Remarque :

Python propose déjà la loi de Poisson toute faite, il suffit de taper np.random.poisson( mu, N ) pour avoir une liste de N tirages suivant une loi de Poisson de paramètre µ. Il y a aussi np.random.binomial(n, p, N),np.random.geometric( p, N) etnp.random.hypergeometric ( a , b, n, N)à connaˆıtre.

- Exercice 3 :

D´ecrire la loi de X et donner son esp´erance et sa variance dans chacun des cas suivants :

1. On range au hasard des objets dans 5 tiroirs. X est le nombre d’objet dans le premier tiroir.

2. On soumet une population de 10⁶ cellules à 5 séances d’irradiation. On suppose que les réactions des différentes cellules sont indépendantes les unes des autres et qu’à chaque séance, la probabilité de tuer une cellule est de 0,3. SoitX le nombre de cellules tuées à la fin.

3. Une urne contient 12 boules blanches, 5 boules rouges. On tire successivement et sans remise 4 boules. X est le nombre de boules rouges tir´ees.

4. On prend un jeu de 32 cartes mélangées. On retourne une par une les cartes jusqu’à l’apparition de l’as de cœur. X est le nombre de cartes retournées.

(21)

Chapitre 3: Variables al´eatoires discr`etes Exercices du td

4 Exercices du td

4.1 Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

Soient n un entier supérieur à 2, α un réel etf l’application suivante :

f :







J0, n−1K →R k 7→αsin

kπ n

D´eterminer α pour que f soit une loi de probabilit´e.

. Exercice 2 :

On lance indéfiniment un dé et on note X le numéro du lancer amenant le premier 6. Si X est pair, on gagne X euros, sinon on perd X euros. On note Y le gain algébrique (positif ou négatif) ainsi obtenu. Déterminer la loi de Y. Calculer E(Y) en justifiant son existence.

. Exercice 3 :

On lancen (n entier naturel supérieur à 2) fois de suite une pièce équilibrée. On souhaite calculer le nombre moyen de séries, c’est-à-dire de suites ininterrompues de PILE ou FACE. Par exemple dans la liste suivante : PPFFFPPFPF où n=10, il y a 6 séries : PP, FFF, PP , F, P et enfin F.

On note S la variable aléatoire qui donne le nombre de série et, pour tout k de J2, nK, X_k la variable aléatoire compteur définie par :

X_k=

(1 si l’issue du k-ième lancer diffère du précédent

0 sinon .

Exprimer S en fonction des X_k et en d´eduire le nombre moyen de s´eries.

. Exercice 4 :

On lancek (kentier naturel non nul) dés cubiques équilibrés. On noteX la plus petite valeur obtenue etY la plus grande. Donner les lois de X etY.

. Exercice 5 :

Dans chacune des exp´eriences qui suivent, reconnaˆıtre la loi de X.

1. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les 26 lettres de l’alphabet. On en choisit 5 au hasard que l’on aligne afin de former un mot de 5 lettres. X est le nombre de voyelles dans ce mot.

2. n clients se présentent devant lesmcaisses d’un grand magasin. On suppose que chaque client choisit une caisse au hasard, indépendamment des autres clients. X est le nombre de clients se présentant à la caisse numéro 1.

. Exercice 6 :

SoitX une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de de paramètreλ(λréel strictement positif).

D´eterminer la loi et l’esp´erance de la variable (−1)^X.

(22)

Chapitre 3: Variables al´eatoires discr`etes Exercices du td

. Exercice 7 :

Sur un échiquier à 9 cases (3×3), un pion parti de la case centrale saute latéralement ou verticalement d’une case adjacente (la probabilité de rester sur place est nulle et le pion ne se déplace pas en diagonale).

1. O`u se trouve le pion apr`es un nombre pair de sauts ?

2. On note X le nombre de sauts effectués avant de revenir à la case centrale. Montrer que X est une variable aléatoire et donner sa loi.

3. On noteY_nle nombre de fois que le pion repasse par la case centrale au cours des 2n premiers sauts. D´eterminer la loi et l’esp´erance de Yn.

4.2 Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 8 :

On lance une pi`ece amenant pile avec une probabilit´e de 2

3 jusqu’`a obtenir deux fois de suite pile.

On note X le nombre de lancer effectu´es et on pose, pour tout entier naturel n, a_n =P(X =n).

1. Montrer que, pour tout entier n sup´erieur `a 3, on a : a_n = an−1

3 +2an−2

9 . 2. En d´eduire la loi de X.

- Exercice 9 :

C’est l’anniversaire de Monsieur Bacquelin aujourd’hui (on est donc le 20 septembre) et ses amis viennent lui présenter leurs voeux. Le nombreN de personnes ayant effectué le déplacement suit une loi de Poisson de paramètre λ (λ réel strictement positif). Pour les remercier, ses amis étant trop nombreux, Monsieur Bacquelin offre à chacun d’eux un cadeau de fa¸con aléatoire. Chacun recevra un cadeau avec la probabilitép avec p∈]0,1[ et ceci de fa¸con indépendante.

1. Soit X le nombre de visiteurs ayant re¸cu un cadeau. D´eterminer la loi de X.

2. Soit Y le nombre de visiteurs qui n’ont pas de cadeau. D´eterminer la loi de Y.

3. Montrer que, pour tout (n, m)∈N², les événements (X =n) et (Y =m) sont indépendants.

4.3 Exercices bonus

M Exercice 10 :

On lance un dé cubique classique et on note X le nombre aléatoire obtenu. Si X est divisible par 3, on tire simultanément 3 boules d’une urne U₁ contenant 3 boules blanches et 5 boules noires. Sinon on extrait simultanément X boules d’une urne U₂ qui contient 2 boules blanches et 3 boules noires.

On note Y le nombre de boules blanches obtenues.

1. D´eterminer la loi de Y, son esp´erance et sa variance.

2. Calculer la probabilit´e que le tirage ait eu lieu dans l’urne U₁ sachant que l’on a obtenu 2 boules blanches.