TD sur: Variables al´ eatoires discr` etes

TD sur: Variables al´ eatoires discr` etes

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

Soient n un entier sup´erieur `a 2, α un r´eel etf l’application suivante :

f :







J0, n−1K →R k 7→αsin

kπ n

D´eterminer α pour que f soit une loi de probabilit´e.

. Exercice 2 :

On lance ind´efiniment un d´e et on note X le num´ero du lancer amenant le premier 6. Si X est pair, on gagne X euros, sinon on perd X euros. On note Y le gain alg´ebrique (positif ou n´egatif) ainsi obtenu. D´eterminer la loi de Y. Calculer E(Y) en justifiant son existence.

. Exercice 3 :

On lancen (n entier naturel sup´erieur `a 2) fois de suite une pi`ece ´equilibr´ee. On souhaite calculer le nombre moyen de s´eries, c’est-`a-dire de suites ininterrompues de PILE ou FACE. Par exemple dans la liste suivante : PPFFFPPFPF o`u n=10, il y a 6 s´eries : PP, FFF, PP , F, P et enfin F.

On note S la variable al´eatoire qui donne le nombre de s´erie et, pour tout k de J2, nK, X_k la variable al´eatoire compteur d´efinie par :

X_k=

(1 si l’issue du k-i`eme lancer diff`ere du pr´ec´edent

0 sinon .

Exprimer S en fonction des X_k et en d´eduire le nombre moyen de s´eries.

. Exercice 4 :

On lancek (kentier naturel non nul) d´es cubiques ´equilibr´es. On noteX la plus petite valeur obtenue etY la plus grande. Donner les lois de X etY.

. Exercice 5 :

Dans chacune des exp´eriences qui suivent, reconnaˆıtre la loi de X.

1. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les 26 lettres de l’alphabet. On en choisit 5 au hasard que l’on aligne afin de former un mot de 5 lettres. X est le nombre de voyelles dans ce mot.

2. n clients se pr´esentent devant lesmcaisses d’un grand magasin. On suppose que chaque client choisit une caisse au hasard, ind´ependamment des autres clients. X est le nombre de clients se pr´esentant `a la caisse num´ero 1.

. Exercice 6 :

SoitX une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de de param`etreλ(λr´eel strictement positif).

D´eterminer la loi et l’esp´erance de la variable (−1)^X.

. Exercice 7 :

Sur un ´echiquier `a 9 cases (3×3), un pion parti de la case centrale saute lat´eralement ou verticalement d’une case adjacente (la probabilit´e de rester sur place est nulle et le pion ne se d´eplace pas en diagonale).

1. O`u se trouve le pion apr`es un nombre pair de sauts ?

2. On note X le nombre de sauts effectu´es avant de revenir `a la case centrale. Montrer que X est une variable al´eatoire et donner sa loi.

3. On noteY_nle nombre de fois que le pion repasse par la case centrale au cours des 2n premiers sauts. D´eterminer la loi et l’esp´erance de Y_n.

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 8 :

On lance une pi`ece amenant pile avec une probabilit´e de 2

3 jusqu’`a obtenir deux fois de suite pile.

On note X le nombre de lancer effectu´es et on pose, pour tout entier naturel n, a_n =P(X =n).

1. Montrer que, pour tout entier n sup´erieur `a 3, on a :

a_n = an−1

3 +2an−2

9 .

2. En d´eduire la loi de X.

- Exercice 9 :

C’est l’anniversaire de Monsieur Bacquelin aujourd’hui (on est donc le 20 septembre) et ses amis viennent lui pr´esenter leurs voeux. Le nombreN de personnes ayant effectu´e le d´eplacement suit une loi de Poisson de param`etre λ (λ r´eel strictement positif). Pour les remercier, ses amis ´etant trop nombreux, Monsieur Bacquelin offre `a chacun d’eux un cadeau de fa¸con al´eatoire. Chacun recevra un cadeau avec la probabilit´ep avec p∈]0,1[ et ceci de fa¸con ind´ependante.

1. Soit X le nombre de visiteurs ayant re¸cu un cadeau. D´eterminer la loi de X.

2. Soit Y le nombre de visiteurs qui n’ont pas de cadeau. D´eterminer la loi de Y.

3. Montrer que, pour tout (n, m)∈N², les ´ev´enements (X =n) et (Y =m) sont ind´ependants.

Exercices bonus

M Exercice 10 :

On lance un d´e cubique classique et on note X le nombre al´eatoire obtenu. Si X est divisible par 3, on tire simultan´ement 3 boules d’une urne U₁ contenant 3 boules blanches et 5 boules noires. Sinon on extrait simultan´ement X boules d’une urne U₂ qui contient 2 boules blanches et 3 boules noires.

On note Y le nombre de boules blanches obtenues.

1. D´eterminer la loi de Y, son esp´erance et sa variance.

2. Calculer la probabilit´e que le tirage ait eu lieu dans l’urne U1 sachant que l’on a obtenu 2 boules blanches.