TD sur: Couple de variables al´ eatoires discr` etes
Exercices ` a chercher
. Exercice 1 :
SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes, suivant la mˆeme loi g´eom´etrique de param`etre pavec p∈]0,1[. D´eterminer la loi de X−Y.
. Exercice 2 :
Soit n un entier naturel non nul. Une urne contient n boules num´erot´ees de 1 `a n. On tire deux boules successivement et avec remise. On note X le premier num´ero tir´e et Y le second. On note U = max (X, Y) et V = min (X, Y).
1. D´eterminer la loi du couple (X, Y) . 2. Calculer E(U).
3. En d´eduireE(V).
. Exercice 3 :
On choisit au hasard un nombre X dans J1, NK (avec N un entier naturel non nul) puis au hasard un nombre Y dans J1, XK.
1. D´eterminer la loi du couple (X, Y).
2. D´eterminer la loi et l’esp´erance de Y.
3. D´eterminer la loi conditionnelle deX sachant (Y =j) avec j un ´el´ement de J1, NK.
Exercice ` a faire pendant la classe
- Exercice 4 :
Soient X etY deux variables al´eatoires ind´ependantes, de mˆeme loi d´efinies par :
∀k ∈N∗, P(X =k) =P(Y =k) = 1 2k 1. Calculer P(X =Y) et P(X < Y).
2. Notons Z = inf(X, Y) et T = max(X, Y). Donner la loi du couple (Z, T). Les variables al´eatoires Z etT sont-elles ind´ependantes ?
3. Soit r un entier strictement positif. Calculer P(X =rY).
Exercices bonus
_) Exercice 5 :
On estime qu’un jour donn´e N (N variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etre λ (λ r´eel strictement positif)) clients ach`etent quelque chose dans un magasin de fruits et de l´egumes, chaque client ach`ete des fruits avec une probabilit´epet des l´egumes avec des probabilit´es 1−p(avec p ´el´ement de ]0,1[) et qu’aucun n’ach`ete `a la fois des fruits et l´egumes. On note X le nombre de client achetant des fruits ce jour donn´e et Y ceux achetant des l´egumes.
1. D´eterminer la loi du couple (X, Y) et en d´eduire les lois marginales de X et de Y. 2. X et Y sont-elles ind´ependantes ?
3. ´Evaluer E(XY) ainsi que Cov(X, Y).
_) Exercice 6 :
Une usine produit des boˆıtes de conserve. Chaque boˆıte a une probabilit´e p d’ˆetre d´efectueuse et p0 d’ˆetre contrˆol´ee. Ces ´ev´enements sont suppos´es ind´ependants.
1. Donner la loi de N, N ´etant le nombre de boˆıtes produites avant qu’une premi`ere boˆıte d´efectueuse ne soit contrˆol´ee.
2. Soit K le nombre de boˆıtes d´efectueuses parmi les N pr´ec´edentes. Donner la loi conjointe de K etN.
3. En d´eduire la loi de K.
