Chapitre 4 Couple de variables al´eatoires discr`etes

Chapitre 4

Couple de variables al´ eatoires discr` etes

Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee

Table des mati` eres

1 Premi`eres d´efinitions 2

1.1 Notions de couples de Variables al´eatoires . . . 2

1.2 Loi d’un couple de Variables al´eatoires . . . 5

1.3 Lois marginales . . . 6

1.4 Variables al´eatoires ind´ependantes . . . 8

1.5 Lois conditionnelles . . . 10

2 Fonctions de (X, Y) 11 2.1 Cas g´en´eral . . . 11

2.2 Quelques cas particuliers . . . 13

3 Covariance, coefficient de corr´elation 16 3.1 Covariance . . . 16

3.2 Coefficient de corr´elation . . . 21

4 Famille de n variable al´eatoires 22 4.1 Lois et esp´erance . . . 22

4.2 Ind´ependance mutuelle . . . 24

4.3 Somme et lois usuelles . . . 27

4.4 Maximum et Minimum d’une famille . . . 30

5 Exercices du td 31 5.1 Exercices `a chercher . . . 31

5.2 Exercice `a faire pendant la classe . . . 31

5.3 Exercices bonus . . . 32

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Premi`eres d´efinitions

Dans toute cette partie, (Ω,T, P) un espace probabilis´e et X et Y d´esigneront deux variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,T, P) et `a valeur positive.

* Remarque :

Il faut bien noter que le programme limite l’´etude des couples de variables al´eatoires discr`etes dans le cas de variables `a valeurs positives.

1 Premi` eres d´ efinitions

1.1 Notions de couples de Variables al´ eatoires

Le couple de variables al´eatoires (X, Y) est l’application suivante : (X, Y) :

(Ω →R²

ω 7→(X(ω), Y(ω)) D´efinition 1

Voici les exp´eriences que l’on va utiliser tout au long de cette partie :

Exp´erience 4 : On range trois objets au hasard dans trois tiroirs. On noteX le nombre d’objets contenus dans le premier tiroir et Y le nombre de tiroirs vides.

Exp´erience 5 : On lance une pi`ece donnant pile avec la probabilit´e de 2

3 et on note X le rang du premier pile et Y celui du second pile.

On a (X, Y)(Ω)⊂X(Ω)×Y(Ω). Si on pose {x_i, i∈I}=X(Ω) (avec I partie de N au plus d´enombrable) et {y_j, j ∈J}=Y(Ω) (avec J partie de Nau plus d´enombrable), on a :

(X, Y)(Ω)⊂ {(x_i, y_j),(i, j)∈I×J}. Proposition 2

, Exemple :

On peut expliciter (X, Y)(Ω) avec les variables al´eatoires X etY des exp´eriences 4 et 5.

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. On peut avoir (X, Y)(Ω)6=X(Ω)×Y(Ω). On le constate d’ailleurs avec l’exemple pr´ec´edent.

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Premi`eres d´efinitions

• Pour tous ensembles de r´eels J et K, on pose :

((X, Y)∈J×K) = (X ∈J)∩(Y ∈K).

• Pour tous r´eels a etb, on pose :

((X, Y) = (a, b)) = (X =a)∩(Y =b).

D´efinition 3

On pose{x_i, i∈I}=X(Ω) (avecI partie de N au plus d´enombrable) et{y_j, j ∈J}= Y(Ω) (avecJ partie de Nau plus d´enombrable). La famille suivante d’´ev´enements :

((X =x_i)∩(Y =y_j),(i, j)∈I×J)

est un syst`eme complet d’´ev´enements appel´e syst`eme complet d’´ev´enements associ´e `a (X, Y).

Proposition 4

1.2 Loi d’un couple de Variables al´ eatoires

• On appelle loi conjointe de (X, Y) ou densit´e conjointe de (X, Y) l’application L_(X,Y) suivante :

L(X,Y) :

((X, Y)(Ω) →[0,1]

(x, y) 7→P((X =x)∩(Y =y))

• Donner la loi conjointe de (X, Y) consiste ou bien `a expliciter l’applicationL<sub>(X,Y)</sub> d´efinie ci-dessus ou `a d´ecrireX(Ω)×Y(Ω) et `a donner les valeurs, pour tout (x, y) deX(Ω)×Y(Ω), deP((X, Y) = (x, y)).

D´efinition 5

-) Exercice 1 :

Donner les lois conjointes des couples de variables al´eatoires d´ecrites dans les exp´eriences 4 et 5.

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Premi`eres d´efinitions

SoientI etJ deux parties au plus d´enombrables deNet{p_i,j,(i, j)∈I×J}une famille de r´eels. Cette famille d´efinit une loi conjointe de probabilit´e (i.e. il existe (Ω,T, P) un espace probabilis´e et (X, Y) un couple de variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,T, P) telle que la loi conjointe de (X, Y) soit cette famille) si et seulement si les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1. ∀ (i, j)∈I×J, pi,j >0. 2. X

(i,j)∈I×J

p_i,j existe et vaut 1.

Proposition 6

, Exemple :

On peut s’assurer ainsi que les lois conjointes des couples de variables al´eatoires d´ecrites dans les exp´eriences 4 et 5 sont bien des lois conjointes de probabilit´es.

1.3 Lois marginales

• La loi de probabilit´es de X est appel´ee premi`ere loi marginale de (X, Y).

• La loi de probabilit´es de Y est appel´ee seconde loi marginale de (X, Y).

D´efinition 7

On obtient les lois marginales `a partir de la conjointe de la fa¸con suivante :

• Pour tout x deX(Ω), P(X =x) = X

y∈Y(Ω)

P((X =x)∩(Y =y)).

• Pour tout y deY(Ω), P(Y =y) = X

x∈X(Ω)

P((X =x)∩(Y =y)).

Proposition 8

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.

• Avec la loi conjointe, on a donc les lois marginales. La r´eciproque est fausse : on a plus d’information dans la loi conjointe que dans les lois marginales.

• Lorsque la loi conjointe de (X, Y) est donn´ee sous forme d’un tableau `a double entr´ee, la proposition pr´ec´edente montre que l’on obtient les lois deX et deY en sommant les ´el´ements d’une mˆeme ligne ou d’une mˆeme colonne selon le cas. Ce r´esultat n’est pas `a retenir, il est en revanche `a noter que c’est la formule des probabilit´es totales qui permet d’obtenir le r´esultat de la proposition pr´ec´edente.

, Exemple :

On peut ainsi donner sans difficult´e les lois marginales des couples de variables al´eatoires d´ecrites dans les exp´eriences 4 et 5.

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Premi`eres d´efinitions

1.4 Variables al´ eatoires ind´ ependantes

On dit que X et Y sont ind´ependantes si, pour tout xdeX(Ω) et pour tout yde Y(Ω), les ´ev´enements (X =x) et (Y =y) sont deux ´ev´enements ind´ependants. Ainsi, X et Y sont ind´ependantes si, pour tout (x, y) de (X, Y)(Ω), on a :

P((X =x)∩(Y =y)) =P(X =x)×P(Y =y).

D´efinition 9

, Exemple :

On peut se demander si les couples de variables al´eatoires d´ecrites dans les exp´eriences 4 et 5 sont ou non des variables al´eatoires ind´ependantes...

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente d´efinition. Si X et Y sont ind´ependantes alors on peut d´eduire la loi conjointe des lois marginales.

1.5 Lois conditionnelles

• Soit y∈Y(Ω) v´erifiantP(Y =y)6= 0. On appelle loi conditionnelle deX sachant (Y =y) l’application L_X|(Y=y) suivante :

L_X|(Y=y) :

(X(Ω) →R

x 7→P_(Y=y)(X =x)

en ayant pos´e, pour tout x deX(Ω), P_(Y=y)(X=x) = P[(Y =y)∩(X =x)]

P(Y =y) .

• La d´efinition deL_Y|(X=x)pour toutx∈X(Ω) v´erifiantP(X =x)6= 0 est similaire.

D´efinition 10

Soit (x, y)∈X(Ω)×Y(Ω). On a : P((Y =y)∩(X =x)) =

(P(Y =y)×P_(Y=y)(X=x) si P(Y =y)6= 0

0 si P(Y =y) = 0

Proposition 11

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Fonctions de (X, Y)

2 Fonctions de (X, Y )

2.1 Cas g´ en´ eral

Soit une application ϕ : R² −→ R⁺ d´efinie sur (X, Y)(Ω) et `a valeur positive. On pose U = ϕ(X, Y), {x_i, i∈I} = X(Ω) (avec I partie de N au plus d´enombrable) et {yj, j ∈J}=Y(Ω) (avecJ partie de N au plus d´enombrable).

• U est une variable al´eatoire de (Ω,T, P). U est d´efinie de la mani`ere suivante : U =

(Ω →R

ω 7→ϕ(X(ω), Y(ω))

• Son univers image, U(Ω), est :

{ϕ(x, y),(x, y)∈(X, Y)(Ω)}. On a U(Ω)⊂ {ϕ(x_i, y_j),(i, j)∈I×J}.

• Soit u∈U(Ω) , on a :

P(U =u) =P ({ω ∈Ω tel queϕ(X(ω), Y(ω)) = u})

= X

(i,j)∈I×J tel queϕ(xi,yj)=u

P((X =x_i)∩(Y =y_j)).

Cette derni`ere formule donne la loi de U.

• Si X

(i,j)∈I×J

ϕ(xi, yj)P((X = xi)∩(Y = yj)) existe alors U admet une esp´erance et on a :

E(U) =E(ϕ(X, Y))

= X

(i,j)∈I×J

ϕ(x_i, y_j)P((X =x_i)∩(Y =y_j)).

Cette derni`ere formule s’appelle le th´eor`eme de transfert. Sinon, X

(i,j)∈I×J

ϕ(x_i, y_j)P((X =x_i)∩(Y =y_j)) est +∞ etU n’admet pas d’esp´erance.

Proposition 12

+ Mise en garde :

Il faut bien noter que ϕest `a valeur positive ! - Exercice 2 :

Evaluer, si elle existe, l’esp´´ erance de X × Y, avec X et Y les variables al´eatoires d´ecrites dans l’exp´erience 5.

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Fonctions de (X, Y)

2.2 Quelques cas particuliers

• Si {x_i, i∈I}=X(Ω) (avecI partie deN au plus d´enombrable) et {y_j, j ∈J}= Y(Ω) (avecJ partie de N au plus d´enombrable), alors, pour tout r´eel z, on a :

P(X+Y =z) = X

i∈I

P((X =x_i)∩(Y =z−x_i))

=X

j∈J

P((X =z−y_j)∩(Y =y_j)).

• Si de plus X et Y sont `a valeurs dans N alors, pour tout entier z, on a : P(X+Y =z) =

z

X

j=0

P((X =z−j)∩(Y =j)).

Proposition 13

On suppose X et Y ind´ependantes, on appelle FX et FY leurs fonctions de r´epartition respectives. On pose :

G_X = 1−F_X, G_Y = 1−F_Y, M = max(X, Y) et m = min(X, Y).

On a F_M =F_X ×F_Y et F_m = 1−G_X ×G_Y. Proposition 14

* Remarque :

1. On peut ´etendre sans difficult´e cette proposition aux cas den (n entier sup´erieur `a 2) variables al´eatoires discr`etes mutuellement ind´ependantes. On verra cela en fin de chapitre dans la partie consacr´ee aux famille de n variable al´eatoires.

2. Une fois que la fonction de r´epartition est connue, il suffit, pour avoir la loi, d’appliquer la m´ethode vue pour passer de loi `a fonction de r´epartition.

3. Pour un couple de variable al´eatoire, on peut se passer de la proposition pr´ec´edente en es- sayant de donner directement la loi. On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. On s’int´eresse donc aux ´ev´enements min(X, Y) = m avec m ´el´ement de min(X, Y) (Ω) (ou bien max(X, Y) = m avec m ´el´ement de max(X, Y) (Ω)), on d´ecrit ces ´ev´enements et on essaye d’en ´evaluer la probabilit´e. C’est beaucoup plus d´elicat quand on cherche le max ou le min d’une famille de n variable al´eatoires avec n un entier naturel grand.

+ Mise en garde :

Dans la proposition pr´ec´edente, ne pas oublier l’hypoth`ese fondamentale d’ind´ependance. Sans cette hypoth`ese, expliciter la loi du max ou du min serait bien plus d´elicat !

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Covariance, coefficient de corr´elation

- Exercice 3 :

Soient p un ´el´ement de ]0,1[ et X et Y deux variables ind´ependantes sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) ind´ependantes suivant une loi g´eom´etrique sur N^? de param`etre p. D´eterminer la loi de min(X, Y).

3 Covariance, coefficient de corr´ elation

3.1 Covariance

On suppose que X etY admettent des variances

• E(X×Y) existe.

• Si elles sont en plus ind´ependantes, on a :E(X×Y) =E(X)×E(Y).

Proposition 15

* Remarque :

La r´eciproque est fausse, on verra un exemple un peu plus loin !

SiX et Y admettent des variances alors :

• (X−E(X))×(Y −E(Y)) est int´egrable.

• on appelle covariance de X etY le nombre suivant :

Cov(X, Y) =E((X−E(X))×(Y −E(Y))). D´efinition 16

* Remarque :

Une variance est une quantit´e positive. La covariance peut ˆetre n´egative !

(Formule de Kœnig-Huygens)

SiX et Y admettent des variances alors on a :

Cov(X, Y) =E(X×Y)−E(X)×E(Y).

Proposition 17

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Covariance, coefficient de corr´elation

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. SiX etY admettent des variances, Cov(X, Y) existe et, d’apr`es le th´eor`eme de transfert, on a :

Cov(X, Y) = X

(i,j)∈I×J

(x_i−E(X))×(y_j−E(Y))×P((X =x_i)∩(Y =y_j))

en posant {x_i, i∈I} = X(Ω) (avec I partie de N au plus d´enombrable) et {y_j, j ∈J} = Y(Ω).

Toutefois, on pr´ef`ere en g´en´eral utiliser la formule de Kœnig-Huygens !

SiX et Y admettent des variances et si Cov(X, Y) = 0, on dit que X etY ne sont pas corr´el´ees.

D´efinition 18

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente d´efinition. X etY sont donc non corr´el´ees si admettent des variances et si E(XY) =E(X)×E(Y).

Si X et Y admettent des variances et sont ind´ependantes alors X et Y ne sont pas corr´el´ees.

Proposition 19

* Remarque :

La r´eciproque est fausse. Si on pose Y =X² avec X une variable al´eatoire r´eelle de loi :

x −1 0 1

4P(X =x) 1 2 1 alors X etY ne sont pas corr´el´ees mais ne sont pas ind´ependantes.

SoientX, Y, X₁, X₂, Y₁, Y₂ sont des variables al´eatoires discr`etes sur (Ω,T, P) admettant des variances eta et b deux r´eels. La covariance v´erifie les propri´et´es suivantes :

• Cov(X, Y) = Cov(Y, X) (Sym´etrie).

• Cov(X, X)>0 et si Cov(X, X) = 0 alors X est presque sˆurement une constante (D´efinie positive).

• Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y).

• Cov(X, Y₁+Y₂) = Cov(X, Y₁) + Cov(X, Y₂).

• Cov(aX, Y) =aCov(X, Y).

• Cov(aX, bY) = abCov(X, Y).

• V(aX +bY) =a²V(X) + 2abCov(X, Y) +b²V(Y). En particulier, on a : V(X+Y) = V(X) + 2 Cov(X, Y) +V(Y).

Proposition 20

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Covariance, coefficient de corr´elation

* Remarque :

En particulier, si X etY sont non corr´el´ees (en particulier ind´ependantes) alors : V(X+Y) = V(X) +V(Y).

3.2 Coefficient de corr´ elation

Si V(X) et V(Y) existent et sont non nuls alors on d´efinit le coefficient de corr´elation ρ(X, Y) de X etY par :

ρ(X, Y) = Cov(X, Y) σ(X)σ(Y). D´efinition 21

SiV(X) et V(Y) existent et sont non nuls alors :

• −16ρ(X;Y)61.

• |ρ(X;Y)|= 1⇐⇒ il existe un r´eel a du signe de ρet un r´eel c tel que : P(Y =aX+c) = 1.

Proposition 22

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.

1. Le coefficient de corr´elation est un coefficient sans unit´e et ne d´ependant pas des unit´es choisies (i.e. si on d´ecide de changer d’unit´e pour X alors ρ(X;Y) ne change pas).

2. On peut interpr´eter la valeur absolue deρ(X;Y)comme une mesure du degr´e de d´ependancede X et Y :

• Quand il vaut 0, les variables sont non corr´el´ees.

• Quand il vaut 1 en valeur absolue, les variables sont sont li´ee par une relation affine presque sˆurement.

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Famille de n variable al´eatoires

4 Famille de n variable al´ eatoires

4.1 Lois et esp´ erance

Soientn(nentier naturel non nul) variables al´eatoires discr`etesX₁,· · ·, X_nsur un espace probabilis´e (Ω,T, P).

• La loi conjointe de (X₁,· · · , X_n) est l’application : (X₁,· · · , X_n)

(X₁(Ω) × · · · ×X_n(Ω) →R

(x₁,· · · , x_n) 7→P((X₁ =x₁)∩ · · · ∩(X_n =x_n))

• La premi`ere loi marginale de (X₁,· · ·, X_n) est celle de X₁. La seconde est celle de X₂...

D´efinition 23

Avec les notations pr´ec´edentes, on a :

• Si, pour tout i deJ1, nK,X_i admet une esp´erance alorsX₁+· · ·+X_n admet une esp´erance et :

E(X₁+· · ·+X_n) =E(X₁) +E(X₂) +· · ·+E(X_n).

• Si, pour tout i de J1, nK, X_i admet une variance alors X₁+· · ·+X_n admet une variance et :

V(X₁+· · ·+X_n) =V(X₁) +V(X₂) +· · ·+V(X_n) + 2 X

16i<j6n

Cov(X_i, X_j).

Proposition 24

* Remarque :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Si les variables (Xi)i∈J1,nK sont deux-`a-deux non corr´el´ees (et en particulier si elles sont deux-`a-deux ind´ependantes) et si, pour tout i de J1, nK, X_i admet une variance alorsX₁+· · ·+X_n admet une variance et :

V(X1+· · ·+Xn) =V(X1) +V(X2) +· · ·+V(Xn).

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Famille de n variable al´eatoires

4.2 Ind´ ependance mutuelle

Soit (X_i)i∈Nune suite de variables al´eatoires discr`etes sur un espace probabilis´e (Ω,T, P).

• Soit n un entier naturel non nul. Les variables X₁,· · · , X_n sont mutuelle- ment ind´ependantes si, pour tout n-uplet d’intervalles (I₁,· · · , I_n) de R, les

´

ev´enements ((X ∈I_i))_i∈

J1,nK sont des ´ev´enements mutuellement ind´ependants.

Ainsi, X₁,· · · , X_n sont mutuellement ind´ependantes si, pour tout pour tout n- uplet d’intervalles (I₁,· · ·, I_n) de R, on a :

P((X1 ∈I1)∩(X2 ∈I2)∩· · ·∩(Xn ∈In)) =P(X1 ∈I1)×P(X2 ∈I2)×· · ·×P(Xn∈In).

• (X_i)i∈N est une suite de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes si toute famille extraite de (X_i)i∈N est une famille de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes.

D´efinition 25

* Remarque :

Lorsqu’on a une hypoth`ese d’exp´eriences ind´ependantes, les variables d´efinies relativement `a des exp´eriences al´eatoires deux `a deux distinctes sont mutuellement ind´ependantes.

, Exemple :

On proc´ede `a une infinit´e de tirages avec remise et, pour tout entier naturel non nul i, X<sub>i</sub> est une variable al´eatoire ne d´ependant que dui-`eme tirage (par exemple, le num´ero obtenu aui-`eme tirage).

(X_i)i∈N^? est alors une famille de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes.

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la pr´ec´edente d´efinition. Si (X_i)i∈N est alors une famille de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes alors (Xi)i∈N est alors en particulier une famille de variables al´eatoires deux `a deux ind´ependants. En revanche la r´eciproque est fausse. On prend X et Y deux variable al´eatoires ind´ependantes suivant une loi de Bernoulli de param`etre 1

2 et on poseZ =|X−Y|.

(X, Y, Z) sont deux `a deux ind´ependants mais pas mutuellement ind´ependants.

Soit n un entier naturel non nul. Soit p un entier naturel non nul inf´erieur `a n. Soient n variables al´eatoires X₁,· · · , X_n sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) mutuellement ind´ependantes. On a :

• Toute sous famille de p ´el´ements de (X₁,· · · , X_n) est une famille de p variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes.

• Soient f : R^p −→ R et g : R^n−p −→ R deux fonctions. f(X₁,· · · , X_p) et g(X_p+1,· · · , X_n) sont ind´ependantes (Lemme des coalitions).

• Pour tout i ∈ J1, nK, soit f_i : R −→ R une fonction d´efinie sur X_i(Ω).

(f1(X1),· · · , fn(Xn)) sont mutuellement ind´ependantes.

Proposition 26

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Famille de n variable al´eatoires

, Exemple :

Soient X₁,· · · , X₄ quatre variables al´eatoires sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) mutuellement ind´ependantes.

1. X₁² et exp (X₂) sont ind´ependantes.

2. X₁, X₂, X₄ sont mutuellement ind´ependantes.

3. X1+X₂² etX3×X4 sont ind´ependantes.

4.3 Somme et lois usuelles

Soit n un entier naturel non nul, p un ´el´ement de [0,1] et n variables al´eatoires va- riables al´eatoires discr`etesX<sub>1</sub>,· · · , X<sub>n</sub> sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) mutuellement ind´ependantes et suivant toute une loi de Bernoulli de param`etre p. On a alors :

X1+· · ·+Xn ,→ B(n, p).

Proposition 27

Soient n un entier naturel non nul, p un ´el´ement de [0,1] et n variables al´eatoires va- riables al´eatoires discr`etesX<sub>1</sub>,· · · , X<sub>n</sub> sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) mutuellement ind´ependantes. Si, pour tout i de J1, nK, n<sub>i</sub> est un entier naturel non nul et X<sub>i</sub> suit une loi binomiale de param`etre (n_i, p), alors :

X₁+· · ·+X_n,→ B(n₁+· · ·+n_n, p).

Proposition 28

Soient n un entier naturel non nul et n variables al´eatoires variables al´eatoires discr`etes X1,· · · , Xn sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) mutuellement ind´ependantes. Si, pour toutideJ1, nK,λ<sub>i</sub> est un r´eel strictement positif etX<sub>i</sub>suit une loi de Poisson de param`etre λ_i, alors :

X1+· · ·+Xn,→ P(λ1+· · ·+λn).

Proposition 29

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Exercices du td

- Exercice 4 :

Soient p un ´el´ement de ]0,1[ et X et Y deux variables ind´ependantes sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) ind´ependantes suivant une loi g´eom´etrique sur N^? de param`etre p. D´eterminer la loi de X+Y.

4.4 Maximum et Minimum d’une famille

Soient n un entier naturel non nul et n variables al´eatoires variables al´eatoires discr`etes X₁,· · · , X_n sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) mutuellement ind´ependantes. Pour tout i de J1, nK, on note F_Xi la fonction de r´epartition de X_i et G_Xi la fonction 1−F_Xi. On a :

F_M =F_X1 ×F_X2 × · · · ×F_Xn et F_m = 1−G_X1 ×G_X2 × · · · ×G_Xn en posant M = max(X₁,· · · , X_n) et m= min(X₁,· · · , X_n).

Proposition 30

+ Mise en garde :

Dans la proposition pr´ec´edente, ne pas oublier l’hypoth`ese fondamentale de mutuelle ind´ependance.

Sans cette hypoth`ese, expliciter la loi du max ou du min serait bien plus d´elicat !

5 Exercices du td

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes, suivant la mˆeme loi g´eom´etrique de param`etre pavec p∈]0,1[. D´eterminer la loi de X−Y.

. Exercice 2 :

Soit n un entier naturel non nul. Une urne contient n boules num´erot´ees de 1 `a n. On tire deux boules successivement et avec remise. On note X le premier num´ero tir´e et Y le second. On note U = max (X, Y) et V = min (X, Y).

1. D´eterminer la loi du couple (X, Y) . 2. Calculer E(U).

3. En d´eduireE(V).

. Exercice 3 :

On choisit au hasard un nombre X dans J1, NK (avec N un entier naturel non nul) puis au hasard un nombre Y dans J1, XK.

1. D´eterminer la loi du couple (X, Y).

Chapitre 4: Couple de variables al´eatoires discr`etes Exercices du td

2. D´eterminer la loi et l’esp´erance de Y.

3. D´eterminer la loi conditionnelle deX sachant (Y =j) avec j un ´el´ement de J1, NK.

Exercice ` a faire pendant la classe

- Exercice 4 :

Soient X etY deux variables al´eatoires ind´ependantes, de mˆeme loi d´efinies par :

∀k ∈N^∗, P(X =k) =P(Y =k) = 1 2^k 1. Calculer P(X =Y) et P(X < Y).

2. Notons Z = inf(X, Y) et T = max(X, Y). Donner la loi du couple (Z, T). Les variables al´eatoires Z etT sont-elles ind´ependantes ?

3. Soit r un entier strictement positif. Calculer P(X =rY).

Exercices bonus

_) Exercice 5 :

On estime qu’un jour donn´e N (N variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etre λ (λ r´eel strictement positif)) clients ach`etent quelque chose dans un magasin de fruits et de l´egumes, chaque client ach`ete des fruits avec une probabilit´epet des l´egumes avec des probabilit´es 1−p(avec p ´el´ement de ]0,1[) et qu’aucun n’ach`ete `a la fois des fruits et l´egumes. On note X le nombre de client achetant des fruits ce jour donn´e et Y ceux achetant des l´egumes.

1. D´eterminer la loi du couple (X, Y) et en d´eduire les lois marginales de X et de Y. 2. X et Y sont-elles ind´ependantes ?

3. ´Evaluer E(XY) ainsi que Cov(X, Y).

_) Exercice 6 :

Une usine produit des boˆıtes de conserve. Chaque boˆıte a une probabilit´e p d’ˆetre d´efectueuse et p⁰ d’ˆetre contrˆol´ee. Ces ´ev´enements sont suppos´es ind´ependants.

1. Donner la loi de N, N ´etant le nombre de boˆıtes produites avant qu’une premi`ere boˆıte d´efectueuse ne soit contrˆol´ee.

2. Soit K le nombre de boˆıtes d´efectueuses parmi les N pr´ec´edentes. Donner la loi conjointe de K etN.

3. En d´eduire la loi de K.