Proposition 2.28 (Loi d’une variable al´eatoire discr`ete). Soient (Ω,F,P) un espace probabilis´e et X : Ω → K une variable al´eatoire discr`ete ou un vecteur al´eatoire discret (au sens de la d´efinition 2.8, avec K=R, C ou Rd, d >1). La loi de X sous P est la mesure PX sur P(K), donc aussi par restriction sur Bor(K), donn´ee par :
PX = X
x∈X(Ω)
P(X =x)δx, (2.9)
o`u δx d´esigne la mesure de Dirac au point x. Rappelons qu’ici X(Ω) est au plus d´enom- brable, le second membre de (2.9) est donc une somme finie ou une s´erie de mesures finies.
D´emonstration. Nous savons d´ej`a (cf. preuve du corollaire2.12) que pour toutB ∈P(K), X−1(B) =X−1 B ∩X(Ω)
. Par cons´equent, comme PX =P◦X−1,
∀B ∈P(K), PX(B) =PX B∩X(Ω)
. (2.10)
L’ensembleB∩X(Ω) est au plus d´enombrable, donc union finie ou d´enombrable de ses singletons. Par additivit´e ou σ-additivit´e de la mesure PX, on en d´eduit :
PX B∩X(Ω)
= X
x∈B∩X(Ω)
PX({x})
= X
x∈B∩X(Ω)
P(X =x)
= X
x∈X(Ω)
P(X =x)1B(x)
= X
x∈X(Ω)
P(X =x)δx(B).
Compte tenu de (2.10), nous venons ainsi de v´erifier que :
∀B ∈P(K), PX(B) = X
x∈X(Ω)
P(X =x)δx(B),
ce qui est pr´ecis´ement la traduction de (2.9).
58 Ch. Suquet,Cours I.F.P.
