GIS 1 Mesure et Probabilit´e Ann´ee 2003–2004
Corrig´e du Devoir Surveill´e du 21 janvier 2003 Ex 1. Simulation d’un d´e.
1) SoitU une variable al´eatoire de loi uniforme sur ]0,1]. Sa loiPU est donc d´efinie par
∀B ∈B(R), P(U ∈B) = PU(B) = λ(B∩]0,1])
λ(]0,1]) =λ(B∩]0,1]). (1) On en d´eduit imm´ediatement
P U ∈]1/3,2/3]
=λ ]1/3,2/3]∩]0,1]
=λ ]1/3,2/3]
= 2 3 −1
3 = 1 3. P U >2/3
=P U ∈]2/3,+∞[
=λ ]2/3,+∞[∩]0,1]
=λ ]2/3,1]
= 1− 2 3 = 1
3. 2) On dispose d’un g´en´erateur de nombres al´eatoires capable de simuler une variable al´eatoireU de loi uniforme sur ]0,1]. D´ecrire une m´ethode permettant de simuler `a partir de ce g´en´erateur une variable al´eatoireX ayant mˆeme loi que les points indiqu´es par un d´e ´equilibr´e. Indication : il n’est pas n´ecessaire de passer par la fonction de r´epartition deX.
D’apr`es (1), si I est un intervalle inclus dans ]0,1], on aP(U ∈I) =λ(I). La loi de X est la loi discr`ete uniforme sur E :={1,2,3,4,5,6}, autrement dit
X(Ω) =E et ∀k ∈E, P(X =k) = 1 6. Pour construireX `a partir de U, il suffit donc de la d´efinir par
X(ω) :=
1 si 0< U(ω)≤1/6, 2 si 1/6< U(ω)≤2/6, 3 si 2/6< U(ω)≤3/6, 4 si 3/6< U(ω)≤4/6, 5 si 4/6< U(ω)≤5/6, 6 si 5/6< U(ω)≤1.
Avec cette d´efinition on a bien
∀k ∈ {1, . . . ,6}, P X =k/6
=P U ∈](k−1)/6, k/6]
= 1 6.
Ex 2. Calculs d’int´egrales.
Rappelons que si δa est la mesure de Dirac au point a ∈ Ω, une fonction mesurable f : Ω→Restδa-int´egrable si et seulement si|f(a)|<+∞et que dans ce casR
Ωfdδa = f(a). Dans cet exercice, on prend Ω = R, a = 1 et pour la premi`ere int´egrale, f : x7→
(3x2+ 1)1]0,1](x). Ici, |f(1)|=f(1) = 4. La fonction f est donc clairement int´egrable et Z
]0,1]
(3x2+ 1) dδ1(x) = Z
R
(3x2+ 1)1]0,1](x) dδ1(x) = f(1) = 4.
L’existence et le calcul de la deuxi`eme int´egrale se justifient de la mˆeme fa¸con en rem- pla¸cantf par g :x7→(3x2+ 1)1]0,1[(x). Comme g(1) = 0,
Z
]0,1[
(3x2+ 1) dδ1(x) = Z
R
(3x2 + 1)1]0,1[(x) dδ1(x) =g(1) = 0.
Pour calculer la troisi`eme int´egrale, on remarque que la fonction h : x 7→ 3x2 + 1 est continue sur l’intervalle ferm´e born´e [0,1]. Elle est donc `a la fois Riemann int´egrable et λ-int´egrable sur cet intervalle et les deux int´egrales (au sens de Riemann et au sens de Lebesgue co¨ıncident). Par ailleurs comme λ({0}) = λ({1}) = 0, R
]0,1[hdλ = R
[0,1]hdλ.
On en d´eduit : Z
]0,1[
(3x2+ 1) dλ(x) = Z
[0,1]
(3x2+ 1) dλ(x) = Z 1
0
(3x2+ 1) dx=
x3+x1 0 = 2.
Ex 3. Loi exponentielle censur´ee.
On note X une variable al´eatoire d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) et `a valeurs dans R+. On suppose que X suit la loi exponentielle de param`etre 1.
1) Rappelons la formule g´en´erale d’int´egration par parties : siu etv sont des fonc- tions de classe C1 sur [a, b],
Z b a
u(t)v0(t) dt= [u(t)v(t)]ba− Z b
a
u0(t)v(t) dt.
En prenant u(t) = t, v0(t) = e−t, on au0(t) = 1 etv(t) = −e−t, d’o`u Z b
a
te−tdt=
−te−tb a−
Z b a
−e−tdt =ae−a−be−b− e−tb
a=ae−a−be−b −e−b+ e−a. On a donc bien
Z b a
te−tdt= (a+ 1)e−a−(b+ 1)e−b. (2) 2) La variable al´eatoireX a une esp´erance siE|X|=R
Ω|X|dP < +∞. Cette int´e- grale sur Ω relativement `a P se transforme par transfert en int´egrale surRrelativement
`
a la mesure image PX =P ◦X−1 ou loi de X : Z
Ω
|X(ω)|dP(ω) = Z
R
|t|dPX(t) = Z
R
|t|f(t) dλ(t) = Z
[0,+∞[
te−tdλ(t).
La fonctiong :t7→te−t estcontinue et positive sur [0,+∞[. Son int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee R+∞
0 g(t) dt est absolument convergente, elle co¨ıncide alors avec R
[0,+∞[gdλ qui est donc bien finie. Ceci justifie l’existence de l’esp´erance de X. De plus on a
EX = Z
R
tf(t) dλ(t) = Z
[0,+∞[
te−tdλ(t) = Z +∞
0
te−tdt= 1,
la derni`ere ´egalit´e se justifiant grˆace `a (2), en prenant 0 = a < b et en faisant tendre b vers +∞.
3) Pour tout entier n≥1, on d´efinit la variable al´eatoire Xn par Xn := min(X, n), c’est-`a-dire, ∀ω∈Ω,Xn(ω) =
(X(ω) siX(ω)≤n, n siX(ω)> n.
On dit que l’on acensur´e la variableX au niveaun. Cherchons la fonction de r´epartition Fn deXn. En partitionnant Ω en les deux ´ev`enements compl´ementaires A :={X ≤ n}
etB :={X > n}, on peut simplifier l’expression de Xn sur A et sur B et ´ecrire : Fn(x) =P(Xn≤x) = P(Xn ≤x etX ≤n) +P(Xn≤x et X > n)
= P(X ≤x etX ≤n) +P(n ≤x etX > n).
La condition«X ≤x etX ≤n»´equivaut `a«X ≤min(x, n)», d’o`u
P(X ≤x etX ≤n) =P X ≤min(x, n)
=F min(x, n)
=
0 si x <0, 1−e−x si 0 ≤x < n, 1−e−n si x≥n.
Si x < n, la condition «n ≤ x et X > n» n’est v´erifi´ee par aucun ω, l’´ev`enement associ´e est donc l’ensemble vide et sa probabilit´e est nulle. Si x≥ n, cette condition se r´eduit `a «X > n» et l’´ev`enement associ´e a pour probabilit´e P(X > n) = 1−P(X ≤ n) = 1−F(n) = e−n. Ainsi
P(n≤x etX > n) =
(0 si x < n, e−n si x≥n.
Finalement la fonction de r´epartition de Xn est donn´ee par
Fn(x) =
0 si x <0, 1−e−x si 0 ≤x < n,
1 si x≥n.
On remarque qu’au point x=n, Fn a pour limite `a gauche 1−e−n et pour limite `a droiteFn(n) = 1. Elle pr´esente donc en ce point unediscontinuit´e avec saut d’amplitude e−n. Cette discontinuit´e de Fn empˆeche la loi PXn d’avoir une densit´e par rapport `aλ.
1 1−e−n
0 n x
y
Fig. 1 – repr´esentation graphique de Fn
4) V´erifions que la loiPXn deXn est la mesureµn=νn+ e−nδn, o`uνn est la mesure de densit´e (par rapport `a λ) fn : t 7→ e−t1[0,n](t). Il suffit pour cela de montrer que µn(I) = PXn(I) pour tout intervalle I =]− ∞, x] avec x r´eel quelconque. En effet la famille C des intervalles I de cette forme est stable par intersection finie et engendre la tribu bor´elienne de R. D’apr`es le th´eor`eme d’unicit´e pour les mesures, si PXn et µn co¨ıncident surC, elles co¨ıncident aussi surB(R).
Calculons donc µn(I) pour I =]− ∞, x] : µn(I) =νn(I) + e−nδn(I) =
Z
I
fndλ+ e−nδn(I).
Par d´efinition de la mesure de Dirac, δn(I) vaut 1 si n ∈ I (c’est-`a-dire si n ≤ x) et 0 sinon (i.e. si n > x). L’int´egrale R
Ifndλ s’´ecrit aussi en notant que fn=f1]−∞,n] : Z
I
fndλ = Z
R
fn1Idλ= Z
R
f1]−∞,n]1Idλ= Z
R
f1]−∞,n]∩Idλ = Z
R
f1]−∞,min(n,x)]dλ.
Par cons´equent,R
Ifndλ=F min(n, x) d’o`u µn(I) = F min(n, x)
+ e−n1{n≤x} =Fn(x).
Comme PXn(I) =Fn(x) et puisque x ´etait quelconque dans R, on a bien v´erifi´e queµn
etPXn co¨ıncident sur C, donc aussi sur B(R).
5) La variable al´eatoire X ´etant `a valeurs dans R+, on d´eduit de la d´efinition de Xn que l’encadrement 0≤Xn(ω)≤n est v´erifi´e pour tout ω ∈Ω. Par cons´equent|Xn| est major´ee par la variable al´eatoire constante n qui est P-int´egrable sur Ω puisque P est une mesurefinie. On en d´eduit la finitude deE|Xn|et l’int´egrabilit´e deXn. Voici le
calcul de EXn, les justifications sont d´etaill´ees apr`es l’affichage (8) du r´esultat.
EXn = Z
R
tdPXn(t) = Z
R
tdµn(t) = Z
R
tdνn(t) + e−n Z
R
tdδn(t) (3)
= Z
R
tfn(t) dλ(t) +ne−n (4)
= Z
[0,n]
te−tdλ(t) +ne−n (5)
= Z n
0
te−tdt+ne−n (6)
= 1−(n+ 1)e−n+ne−n. (7) Finalement on obtient apr`es simplification :
EXn = 1−e−n. (8)
Justifications :
– Ligne (3) : on utilise la formule de transfert (R
ΩXn(ω) dP(ω) =R
RtdPXn(t)), puis PXn =µn, l’expression de µn et la formule d’int´egration par rapport `a une somme de mesures.
– Ligne (4) : expression d’une int´egrale par rapport `a une mesure `a densit´e (ici νn de densit´e fn par rapport `aλ) et calcul d’une intgrale relativement `a une mesure de Dirac.
– Ligne (5) : on a explicit´efnet supprim´e l’indicatrice1[0,n] en modifiant l’ensemble d’int´egration en [0, n].
– Ligne (6) : la fonction g :t 7→te−t est continue sur l’intervalle ferm´e born´e [0, n], son int´egrale de Lebesgue R
[0,n]gdλ co¨ıncide donc avec son int´egrale de Riemann Rn
0 g(t) dt.
– Ligne (7) : on applique (2) avec a= 0 et b=n.
Revenant `a (8), on voit imm´ediatement que
n→+∞lim EXn = 1. (9)
6) On peut retrouver cette limite en utilisant un th´eor`eme d’interversion limite- int´egrale vu en cours. En fait ici, on peut appliquer le th´eor`eme de Beppo Levi ou le th´eor`eme de convergence domin´ee pour obtenir (9).
V´erification de (9) par le th´eor`eme de Beppo Levi.CommeX est `a valeurs dansR+, il en va de mˆeme pourX=min(X, n). La suite (Xn) est donc une suite de variables al´eatoires (donc fonctions mesurables) positives. Elle converge en croissant versX. En effet d’une part
∀ω∈Ω, ∀n∈N, Xn(ω) = min X(ω), n
≤min X(ω), n+ 1
=Xn+1(ω), ce qui montre que lasuite de fonctions (Xn)n∈N∗ estcroissante. D’autre part X(ω) ´etant fini pour tout ω ∈Ω (puisque l’´enonc´e nous dit que X est `a valeurs dans R+, il existe
un unique entier n0(ω) tel que n0(ω) ≤ X(ω) < n0(ω) + 1. Alors vu la d´efinition de Xn(ω) on a Xn(ω) = X(ω) pour tout n > n0(ω). Ainsi la suite Xn(ω)
n∈N∗ converge vers X(ω), pour tout ω ∈Ω. Autrement dit, (Xn)n∈N∗ converge sur Ω vers X. Les deux hypoth`eses du th´eor`eme de Beppo Levi ´etant satisfaites (Xn↑X), on peut conclure que
quand n→+∞, EXn ↑EX = 1.
V´erification de (9) par le th´eor`eme de convergence domin´ee. Comme nous venons de le voir, la suite de fonctions mesurables (Xn)n∈N∗ converge sur tout Ω vers X. V´erifions que cette suite de fonctions estdomin´ee par la fonction P-int´egrable X. En effet
∀ω ∈Ω, ∀n∈N∗, |Xn(ω)|=Xn(ω) = min X(ω), n
≤X(ω),
d’o`u|Xn| ≤X pour toutn et sur tout Ω. CommeEX est finie, on a bien domination de la suite (Xn)n∈N∗ par une fonction P -int´egrable. Le th´eor`eme de convergence domin´ee nous permet alors d’affirmer que
n→+∞lim EXn=E
n→+∞lim Xn
=EX= 1.
Ex 4. Loi de Pareto.
Une variable al´eatoireX a pour densit´e par rapport `aλ f(t) = a
ta+11[1,+∞[(t),
o`u le param`etre a est un r´eel strictement positif. La loi de densit´e f s’appelle loi de Pareto de param`etre a.
1) La fonctionf est la densit´e d’une loi de probabilit´e si elle est mesurable positive et si R
Rfdλ = 1. L’´enonc´e demandait d’admettre la mesurabilit´e de f. Les ´etudiants consciencieux pourront l’´etablir a posteriori, par exemple en v´erifiant que pour tout b∈R,
f−1 [b,+∞[
=
∅ si b > a,
[1, c] avec c= (a/b)1/(a+1) si 0 < b≤a,
R si b≤0.
On voit ainsi que pour tout intervalle I de la famille C=
[b,+∞[; b ∈ R , f−1(I) est un bor´elien de R. Comme C engendre la tribu bor´elienne, on en d´eduit la mesurabilit´e def (pour la tribu bor´elienne au d´epart et `a l’arriv´ee).
Une autre fa¸con d’´etablir la mesurabilit´e de f est de v´erifier qu’elle est limite simple sur R d’une suite (fn)n∈N∗ de fonctions continues (donc bor´eliennes), par exemple en prenant fn nulle sur ]− ∞,1−1/n], affine sur [1 −1/n,1] avec fn(1) = f(1) = a et co¨ıncidant avecf sur [1,+∞[ (faites le dessin !).
Pour calculerR
Rfdλ, on remarque que f est continue positive sur ]1,+∞[ et que son int´egrale de Riemann g´en´eralis´eeR+∞
1 f(t) dtest absolument convergente (car 1+a >1).
On en d´eduit queR
[1,+∞[fdλ =R+∞
1 f(t) dt, d’o`u Z
R
fdλ= Z
[1,+∞[
a
ta+1 dλ(t) = Z +∞
1
a
ta+1dt = lim
b→+∞
−t−ab
1 = lim
b→+∞(1−b−a) = 1.
2) La quantit´e E|X| a toujours un sens comme int´egrale d’une fonction mesurable positive (a priori E|X| est un ´el´ement de R+). On commence par l’exprimer comme int´egrale sur R `a l’aide du th´eor`eme de transfert (en notant PX la mesure image de P par X ou loi de X) et de la r`egle d’int´egration par rapport `a une mesure `a densit´e :
E|X|= Z
Ω
|X(ω)|dP(ω) = Z
R
|t|dPX(t) = Z
R
|t|f(t) dλ(t) = Z
[1,+∞[
a
tadλ(t).
La fonction h : t 7→ at−a est continue et positive sur [1,+∞[. On sait qu’alors les int´egralesR
[1,+∞[h(t) dλ(t) etR+∞
1 h(t) dtsont ´egales dansR+(ou bien elles valent toutes deux +∞, ou bien elles ont la mˆeme valeur finie). On a donc le droit d’´ecrire
E|X|= Z +∞
1
a
ta dt. (10)
3) L’int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee dans (10) converge si et seulement si a > 1.
Dans ce cas on a (noter queX ´etant positive, |X|=X) : EX =
Z +∞
1
a
tadt= lim
b→+∞
−a (a−1)ta−1
b 1
= lim
b→+∞
a
a−1 − a (a−1)ba−1
= a
a−1. 4) Soit Y une variable al´eatoire de loi exponentielle de param`etre a, i.e. de densit´e g(t) =ae−at1R+(t). On pose Z = eY. Calculons la fonction de r´epartition G deZ. Pour tout x∈R,
G(x) =P(Z ≤x) =P eY ≤x . Comme Y est `a valeurs dans R+, exp Y(ω)
≥1 pour toutω ∈Ω. Il est donc clair que si x < 1, G(x) = P(∅) = 0. Pour x ≥ 1, on ´equivalence entre les in´egalit´es eY ≤ x et Y ≤lnx, d’o`u
∀x≥1, G(x) = P(Y ≤lnx) = Z
]−∞,lnx]
g(t) dλ(t) = Z
[0,lnx]
ae−atdλ(t).
La fonction t7→ae−at est continue sur l’intervalle ferm´e born´e [0,lnx], ses int´egrales de Riemann et de Lebesgue sur cet intervalle sont donc bien d´efinies et ´egales, d’o`u
∀x≥1, G(x) = Z lnx
0
ae−atdt=
−e−atlnx
0 = 1−e−alnx. Finalement,
G(x) = 1−x−a
1[1,+∞[(x).
On constate queG estC1 sur ]− ∞,1[ et sur ]1,+∞[ avec un raccord continu au point x= 1. La loi de Z admet donc une densit´e ´egale presque partout `aG0. Or G0(t) vaut 0 sur ]− ∞,1[ et at−a−1 sur ]1,+∞[. On a donc G0 =f λ-presque partout, ce qui montre que Z a mˆeme loi que X. Ainsi la variable al´eatoire Z = eY suit la loi de Pareto de param`etre a.