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1) SoitU une variable al´eatoire de loi uniforme sur ]0,1]

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Texte intégral

(1)

GIS 1 Mesure et Probabilit´e Ann´ee 2003–2004

Corrig´e du Devoir Surveill´e du 21 janvier 2003 Ex 1. Simulation d’un d´e.

1) SoitU une variable al´eatoire de loi uniforme sur ]0,1]. Sa loiPU est donc d´efinie par

∀B ∈B(R), P(U ∈B) = PU(B) = λ(B∩]0,1])

λ(]0,1]) =λ(B∩]0,1]). (1) On en d´eduit imm´ediatement

P U ∈]1/3,2/3]

=λ ]1/3,2/3]∩]0,1]

=λ ]1/3,2/3]

= 2 3 −1

3 = 1 3. P U >2/3

=P U ∈]2/3,+∞[

=λ ]2/3,+∞[∩]0,1]

=λ ]2/3,1]

= 1− 2 3 = 1

3. 2) On dispose d’un g´en´erateur de nombres al´eatoires capable de simuler une variable al´eatoireU de loi uniforme sur ]0,1]. D´ecrire une m´ethode permettant de simuler `a partir de ce g´en´erateur une variable al´eatoireX ayant mˆeme loi que les points indiqu´es par un d´e ´equilibr´e. Indication : il n’est pas n´ecessaire de passer par la fonction de r´epartition deX.

D’apr`es (1), si I est un intervalle inclus dans ]0,1], on aP(U ∈I) =λ(I). La loi de X est la loi discr`ete uniforme sur E :={1,2,3,4,5,6}, autrement dit

X(Ω) =E et ∀k ∈E, P(X =k) = 1 6. Pour construireX `a partir de U, il suffit donc de la d´efinir par

X(ω) :=

















1 si 0< U(ω)≤1/6, 2 si 1/6< U(ω)≤2/6, 3 si 2/6< U(ω)≤3/6, 4 si 3/6< U(ω)≤4/6, 5 si 4/6< U(ω)≤5/6, 6 si 5/6< U(ω)≤1.

Avec cette d´efinition on a bien

∀k ∈ {1, . . . ,6}, P X =k/6

=P U ∈](k−1)/6, k/6]

= 1 6.

(2)

Ex 2. Calculs d’int´egrales.

Rappelons que si δa est la mesure de Dirac au point a ∈ Ω, une fonction mesurable f : Ω→Restδa-int´egrable si et seulement si|f(a)|<+∞et que dans ce casR

fdδa = f(a). Dans cet exercice, on prend Ω = R, a = 1 et pour la premi`ere int´egrale, f : x7→

(3x2+ 1)1]0,1](x). Ici, |f(1)|=f(1) = 4. La fonction f est donc clairement int´egrable et Z

]0,1]

(3x2+ 1) dδ1(x) = Z

R

(3x2+ 1)1]0,1](x) dδ1(x) = f(1) = 4.

L’existence et le calcul de la deuxi`eme int´egrale se justifient de la mˆeme fa¸con en rem- pla¸cantf par g :x7→(3x2+ 1)1]0,1[(x). Comme g(1) = 0,

Z

]0,1[

(3x2+ 1) dδ1(x) = Z

R

(3x2 + 1)1]0,1[(x) dδ1(x) =g(1) = 0.

Pour calculer la troisi`eme int´egrale, on remarque que la fonction h : x 7→ 3x2 + 1 est continue sur l’intervalle ferm´e born´e [0,1]. Elle est donc `a la fois Riemann int´egrable et λ-int´egrable sur cet intervalle et les deux int´egrales (au sens de Riemann et au sens de Lebesgue co¨ıncident). Par ailleurs comme λ({0}) = λ({1}) = 0, R

]0,1[hdλ = R

[0,1]hdλ.

On en d´eduit : Z

]0,1[

(3x2+ 1) dλ(x) = Z

[0,1]

(3x2+ 1) dλ(x) = Z 1

0

(3x2+ 1) dx=

x3+x1 0 = 2.

Ex 3. Loi exponentielle censur´ee.

On note X une variable al´eatoire d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) et `a valeurs dans R+. On suppose que X suit la loi exponentielle de param`etre 1.

1) Rappelons la formule g´en´erale d’int´egration par parties : siu etv sont des fonc- tions de classe C1 sur [a, b],

Z b a

u(t)v0(t) dt= [u(t)v(t)]ba− Z b

a

u0(t)v(t) dt.

En prenant u(t) = t, v0(t) = e−t, on au0(t) = 1 etv(t) = −e−t, d’o`u Z b

a

te−tdt=

−te−tb a

Z b a

−e−tdt =ae−a−be−b− e−tb

a=ae−a−be−b −e−b+ e−a. On a donc bien

Z b a

te−tdt= (a+ 1)e−a−(b+ 1)e−b. (2) 2) La variable al´eatoireX a une esp´erance siE|X|=R

|X|dP < +∞. Cette int´e- grale sur Ω relativement `a P se transforme par transfert en int´egrale surRrelativement

`

a la mesure image PX =P ◦X−1 ou loi de X : Z

|X(ω)|dP(ω) = Z

R

|t|dPX(t) = Z

R

|t|f(t) dλ(t) = Z

[0,+∞[

te−tdλ(t).

(3)

La fonctiong :t7→te−t estcontinue et positive sur [0,+∞[. Son int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee R+∞

0 g(t) dt est absolument convergente, elle co¨ıncide alors avec R

[0,+∞[gdλ qui est donc bien finie. Ceci justifie l’existence de l’esp´erance de X. De plus on a

EX = Z

R

tf(t) dλ(t) = Z

[0,+∞[

te−tdλ(t) = Z +∞

0

te−tdt= 1,

la derni`ere ´egalit´e se justifiant grˆace `a (2), en prenant 0 = a < b et en faisant tendre b vers +∞.

3) Pour tout entier n≥1, on d´efinit la variable al´eatoire Xn par Xn := min(X, n), c’est-`a-dire, ∀ω∈Ω,Xn(ω) =

(X(ω) siX(ω)≤n, n siX(ω)> n.

On dit que l’on acensur´e la variableX au niveaun. Cherchons la fonction de r´epartition Fn deXn. En partitionnant Ω en les deux ´ev`enements compl´ementaires A :={X ≤ n}

etB :={X > n}, on peut simplifier l’expression de Xn sur A et sur B et ´ecrire : Fn(x) =P(Xn≤x) = P(Xn ≤x etX ≤n) +P(Xn≤x et X > n)

= P(X ≤x etX ≤n) +P(n ≤x etX > n).

La condition«X ≤x etX ≤n»´equivaut `a«X ≤min(x, n)», d’o`u

P(X ≤x etX ≤n) =P X ≤min(x, n)

=F min(x, n)

=





0 si x <0, 1−e−x si 0 ≤x < n, 1−e−n si x≥n.

Si x < n, la condition «n ≤ x et X > n» n’est v´erifi´ee par aucun ω, l’´ev`enement associ´e est donc l’ensemble vide et sa probabilit´e est nulle. Si x≥ n, cette condition se r´eduit `a «X > n» et l’´ev`enement associ´e a pour probabilit´e P(X > n) = 1−P(X ≤ n) = 1−F(n) = e−n. Ainsi

P(n≤x etX > n) =

(0 si x < n, e−n si x≥n.

Finalement la fonction de r´epartition de Xn est donn´ee par

Fn(x) =





0 si x <0, 1−e−x si 0 ≤x < n,

1 si x≥n.

On remarque qu’au point x=n, Fn a pour limite `a gauche 1−e−n et pour limite `a droiteFn(n) = 1. Elle pr´esente donc en ce point unediscontinuit´e avec saut d’amplitude e−n. Cette discontinuit´e de Fn empˆeche la loi PXn d’avoir une densit´e par rapport `aλ.

(4)

1 1−e−n

0 n x

y

Fig. 1 – repr´esentation graphique de Fn

4) V´erifions que la loiPXn deXn est la mesureµnn+ e−nδn, o`uνn est la mesure de densit´e (par rapport `a λ) fn : t 7→ e−t1[0,n](t). Il suffit pour cela de montrer que µn(I) = PXn(I) pour tout intervalle I =]− ∞, x] avec x r´eel quelconque. En effet la famille C des intervalles I de cette forme est stable par intersection finie et engendre la tribu bor´elienne de R. D’apr`es le th´eor`eme d’unicit´e pour les mesures, si PXn et µn co¨ıncident surC, elles co¨ıncident aussi surB(R).

Calculons donc µn(I) pour I =]− ∞, x] : µn(I) =νn(I) + e−nδn(I) =

Z

I

fndλ+ e−nδn(I).

Par d´efinition de la mesure de Dirac, δn(I) vaut 1 si n ∈ I (c’est-`a-dire si n ≤ x) et 0 sinon (i.e. si n > x). L’int´egrale R

Ifndλ s’´ecrit aussi en notant que fn=f1]−∞,n] : Z

I

fndλ = Z

R

fn1Idλ= Z

R

f1]−∞,n]1Idλ= Z

R

f1]−∞,n]∩Idλ = Z

R

f1]−∞,min(n,x)]dλ.

Par cons´equent,R

Ifndλ=F min(n, x) d’o`u µn(I) = F min(n, x)

+ e−n1{n≤x} =Fn(x).

Comme PXn(I) =Fn(x) et puisque x ´etait quelconque dans R, on a bien v´erifi´e queµn

etPXn co¨ıncident sur C, donc aussi sur B(R).

5) La variable al´eatoire X ´etant `a valeurs dans R+, on d´eduit de la d´efinition de Xn que l’encadrement 0≤Xn(ω)≤n est v´erifi´e pour tout ω ∈Ω. Par cons´equent|Xn| est major´ee par la variable al´eatoire constante n qui est P-int´egrable sur Ω puisque P est une mesurefinie. On en d´eduit la finitude deE|Xn|et l’int´egrabilit´e deXn. Voici le

(5)

calcul de EXn, les justifications sont d´etaill´ees apr`es l’affichage (8) du r´esultat.

EXn = Z

R

tdPXn(t) = Z

R

tdµn(t) = Z

R

tdνn(t) + e−n Z

R

tdδn(t) (3)

= Z

R

tfn(t) dλ(t) +ne−n (4)

= Z

[0,n]

te−tdλ(t) +ne−n (5)

= Z n

0

te−tdt+ne−n (6)

= 1−(n+ 1)e−n+ne−n. (7) Finalement on obtient apr`es simplification :

EXn = 1−e−n. (8)

Justifications :

– Ligne (3) : on utilise la formule de transfert (R

Xn(ω) dP(ω) =R

RtdPXn(t)), puis PXnn, l’expression de µn et la formule d’int´egration par rapport `a une somme de mesures.

– Ligne (4) : expression d’une int´egrale par rapport `a une mesure `a densit´e (ici νn de densit´e fn par rapport `aλ) et calcul d’une intgrale relativement `a une mesure de Dirac.

– Ligne (5) : on a explicit´efnet supprim´e l’indicatrice1[0,n] en modifiant l’ensemble d’int´egration en [0, n].

– Ligne (6) : la fonction g :t 7→te−t est continue sur l’intervalle ferm´e born´e [0, n], son int´egrale de Lebesgue R

[0,n]gdλ co¨ıncide donc avec son int´egrale de Riemann Rn

0 g(t) dt.

– Ligne (7) : on applique (2) avec a= 0 et b=n.

Revenant `a (8), on voit imm´ediatement que

n→+∞lim EXn = 1. (9)

6) On peut retrouver cette limite en utilisant un th´eor`eme d’interversion limite- int´egrale vu en cours. En fait ici, on peut appliquer le th´eor`eme de Beppo Levi ou le th´eor`eme de convergence domin´ee pour obtenir (9).

V´erification de (9) par le th´eor`eme de Beppo Levi.CommeX est `a valeurs dansR+, il en va de mˆeme pourX=min(X, n). La suite (Xn) est donc une suite de variables al´eatoires (donc fonctions mesurables) positives. Elle converge en croissant versX. En effet d’une part

∀ω∈Ω, ∀n∈N, Xn(ω) = min X(ω), n

≤min X(ω), n+ 1

=Xn+1(ω), ce qui montre que lasuite de fonctions (Xn)n∈N estcroissante. D’autre part X(ω) ´etant fini pour tout ω ∈Ω (puisque l’´enonc´e nous dit que X est `a valeurs dans R+, il existe

(6)

un unique entier n0(ω) tel que n0(ω) ≤ X(ω) < n0(ω) + 1. Alors vu la d´efinition de Xn(ω) on a Xn(ω) = X(ω) pour tout n > n0(ω). Ainsi la suite Xn(ω)

n∈N converge vers X(ω), pour tout ω ∈Ω. Autrement dit, (Xn)n∈N converge sur Ω vers X. Les deux hypoth`eses du th´eor`eme de Beppo Levi ´etant satisfaites (Xn↑X), on peut conclure que

quand n→+∞, EXn ↑EX = 1.

V´erification de (9) par le th´eor`eme de convergence domin´ee. Comme nous venons de le voir, la suite de fonctions mesurables (Xn)n∈N converge sur tout Ω vers X. V´erifions que cette suite de fonctions estdomin´ee par la fonction P-int´egrable X. En effet

∀ω ∈Ω, ∀n∈N, |Xn(ω)|=Xn(ω) = min X(ω), n

≤X(ω),

d’o`u|Xn| ≤X pour toutn et sur tout Ω. CommeEX est finie, on a bien domination de la suite (Xn)n∈N par une fonction P -int´egrable. Le th´eor`eme de convergence domin´ee nous permet alors d’affirmer que

n→+∞lim EXn=E

n→+∞lim Xn

=EX= 1.

Ex 4. Loi de Pareto.

Une variable al´eatoireX a pour densit´e par rapport `aλ f(t) = a

ta+11[1,+∞[(t),

o`u le param`etre a est un r´eel strictement positif. La loi de densit´e f s’appelle loi de Pareto de param`etre a.

1) La fonctionf est la densit´e d’une loi de probabilit´e si elle est mesurable positive et si R

Rfdλ = 1. L’´enonc´e demandait d’admettre la mesurabilit´e de f. Les ´etudiants consciencieux pourront l’´etablir a posteriori, par exemple en v´erifiant que pour tout b∈R,

f−1 [b,+∞[

=





∅ si b > a,

[1, c] avec c= (a/b)1/(a+1) si 0 < b≤a,

R si b≤0.

On voit ainsi que pour tout intervalle I de la famille C=

[b,+∞[; b ∈ R , f−1(I) est un bor´elien de R. Comme C engendre la tribu bor´elienne, on en d´eduit la mesurabilit´e def (pour la tribu bor´elienne au d´epart et `a l’arriv´ee).

Une autre fa¸con d’´etablir la mesurabilit´e de f est de v´erifier qu’elle est limite simple sur R d’une suite (fn)n∈N de fonctions continues (donc bor´eliennes), par exemple en prenant fn nulle sur ]− ∞,1−1/n], affine sur [1 −1/n,1] avec fn(1) = f(1) = a et co¨ıncidant avecf sur [1,+∞[ (faites le dessin !).

Pour calculerR

Rfdλ, on remarque que f est continue positive sur ]1,+∞[ et que son int´egrale de Riemann g´en´eralis´eeR+∞

1 f(t) dtest absolument convergente (car 1+a >1).

On en d´eduit queR

[1,+∞[fdλ =R+∞

1 f(t) dt, d’o`u Z

R

fdλ= Z

[1,+∞[

a

ta+1 dλ(t) = Z +∞

1

a

ta+1dt = lim

b→+∞

−t−ab

1 = lim

b→+∞(1−b−a) = 1.

(7)

2) La quantit´e E|X| a toujours un sens comme int´egrale d’une fonction mesurable positive (a priori E|X| est un ´el´ement de R+). On commence par l’exprimer comme int´egrale sur R `a l’aide du th´eor`eme de transfert (en notant PX la mesure image de P par X ou loi de X) et de la r`egle d’int´egration par rapport `a une mesure `a densit´e :

E|X|= Z

|X(ω)|dP(ω) = Z

R

|t|dPX(t) = Z

R

|t|f(t) dλ(t) = Z

[1,+∞[

a

tadλ(t).

La fonction h : t 7→ at−a est continue et positive sur [1,+∞[. On sait qu’alors les int´egralesR

[1,+∞[h(t) dλ(t) etR+∞

1 h(t) dtsont ´egales dansR+(ou bien elles valent toutes deux +∞, ou bien elles ont la mˆeme valeur finie). On a donc le droit d’´ecrire

E|X|= Z +∞

1

a

ta dt. (10)

3) L’int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee dans (10) converge si et seulement si a > 1.

Dans ce cas on a (noter queX ´etant positive, |X|=X) : EX =

Z +∞

1

a

tadt= lim

b→+∞

−a (a−1)ta−1

b 1

= lim

b→+∞

a

a−1 − a (a−1)ba−1

= a

a−1. 4) Soit Y une variable al´eatoire de loi exponentielle de param`etre a, i.e. de densit´e g(t) =ae−at1R+(t). On pose Z = eY. Calculons la fonction de r´epartition G deZ. Pour tout x∈R,

G(x) =P(Z ≤x) =P eY ≤x . Comme Y est `a valeurs dans R+, exp Y(ω)

≥1 pour toutω ∈Ω. Il est donc clair que si x < 1, G(x) = P(∅) = 0. Pour x ≥ 1, on ´equivalence entre les in´egalit´es eY ≤ x et Y ≤lnx, d’o`u

∀x≥1, G(x) = P(Y ≤lnx) = Z

]−∞,lnx]

g(t) dλ(t) = Z

[0,lnx]

ae−atdλ(t).

La fonction t7→ae−at est continue sur l’intervalle ferm´e born´e [0,lnx], ses int´egrales de Riemann et de Lebesgue sur cet intervalle sont donc bien d´efinies et ´egales, d’o`u

∀x≥1, G(x) = Z lnx

0

ae−atdt=

−e−atlnx

0 = 1−e−alnx. Finalement,

G(x) = 1−x−a

1[1,+∞[(x).

On constate queG estC1 sur ]− ∞,1[ et sur ]1,+∞[ avec un raccord continu au point x= 1. La loi de Z admet donc une densit´e ´egale presque partout `aG0. Or G0(t) vaut 0 sur ]− ∞,1[ et at−a−1 sur ]1,+∞[. On a donc G0 =f λ-presque partout, ce qui montre que Z a mˆeme loi que X. Ainsi la variable al´eatoire Z = eY suit la loi de Pareto de param`etre a.

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