Examen d’analyse.
Pharmacie – fili`ere ing´enieurs. 17 mai 2013, 1`ere session. Dur´ee 1h30 Traiter seulement 3 exercices parmi les suivants
Bar`eme indicatif : 7 points pour chaque exercice. Calculatrice et documents autoris´es
Exercice 1. Soit (fn)n≥0 la suite de fonctions d´efinies sur [0, π] par fn(x) = n2sinx+ 1
n2+x+ 1
1. Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions dans l’intervalle [0, π].
2. La convergence de (fn) est-elle uniforme dans [0, π] ? 3. Sans chercher une primitive defn, calculer la limite
n→∞lim Z π
0
fn(x)dx.
Exercice 2. Soit fn(x) la suite de fonctions d´efinie sur [0,+∞[, par fn(x) = 1
(n+x)2 (n≥1)
1. Calculer f0(x) pour tout x≥0. Calculer ensuite supx≥0|f(x)| et supx≥0|f0(x)|.
2. D´emontrer que les s´eries P
fn(x) et P
fn0(x) convergent uniform´ement dans [0,+∞[.
3. Soit
S(x) =
∞
X
n=1
fn(x).
Expliquer pourquoi S est une fonction de classe C1 (=d´erivable avec S0 continue) dans [0,∞[
et d´emontrer que S0(x)<0 pour tout x≥0.
4. Tracer un graphe approximatif de la fonction S(x) sur [0,∞[.
Exercice 3. On consid`ere les deux s´eries enti`eres
X(−1)n2nxn et X(−1)n2n 2n+ 1 xn.
1. D´emontrer que ces deux s´eries enti`eres sont de mˆeme rayon de convergenceR. Calculer R.
2. Pour quelles valeurs de x ∈ R les s´eries ci-dessus sont-elles convergentes ? Distinguer les cas
−R < x < R, x=±R et |x|> R.
Exercice 4. On consid`ere la s´erie S =P∞ n=1
1
n4 et sa somme partielle S10=P10 n=1
1 n4. 1. Calculer, en fonction de A >0, l’int´egrale impropre
Z +∞
A
1 x4 dx.
2. En d´eduire l’encadrement pour le resteR10 =S−S10: 0.0001< S −S10<0.001.
3. Si l’on souhaite approcher la valeur de la sommeS en calculant la somme partielleS10, combien de chiffres d´ecimales apr`es la virgule seront correctes ? (On ne demande pas de calculerS10).
1
