1) Montrer que pour 0≤x≤1, on a n→+∞lim fn(x

Universit´e de Cergy-Pontoise - Licence L3- S5 Calcul Int´egral - Vendredi 11 janvier 2008 Dur´ee: 3h00 - Ni document ni calculatrice autoris´es.

Notations: B=B(IR) est la tribu bor´elienne deIR. On note 1_Ala fonction indicatrice de l’ensemble A (1_A(x) = 1 six∈A et 1_A(x) = 0 six /∈A).

Les 3 exercices sont ind´ependants.

Exercice I(4 pts)

Pour toutn∈IN^∗ et pour tout x≥0, on pose

f_n(x) = 1

1 +x+x²+...+xⁿ et on note

I_n= Z _n

0 f_ndx.

1) Montrer que pour 0≤x≤1, on a

n→+∞lim f_n(x) = 1−x.

Que vaut lim

n→+∞f_n(x) pour x >1?

2) Montrer que pour toutn≥2 et pour tout x≥0, on a 0< f_n(x)≤ 1

1 +x². 3) D´eduire des questions pr´ec´edentes que

n→+∞lim I_n= 1 2 en justifiant soigneusement le passage `a la limite.

Exercice II (10 pts)

Soit l’intervalleI = [1,+∞] et soitf :I 7→IRune fonction mesurable. Pour x≥0, on pose

F(x) = Z _+∞

1

f(t) (t+x)²dt

Dans les questions 1) `a 4), on fait l’hypoth`ese que f ∈L¹(I).

1) Montrer que F(x) est bien d´efini pour x ≥ 0 et que la fonction F est continue sur [0,+∞].

2) a) Montrer que F est d´erivable sur [0,+∞] et donner l’expression deF⁰(x) pour toutx≥0.

b) Montrer queF est C^∞sur [0,+∞].

3) Montrer que pour toutx≥0, on a

|F(x)| ≤ ||f||_L1(I)

(x+ 1)² 4) Montrer queF est int´egrable sur [0,+∞] et que

Z _+∞

0 F dx= Z _+∞

1

f(t) t dt

5) On suppose `a pr´esent que f ∈ L^p(I) avec 1 < p < +∞. On note q l’exposant conjugu´e dep.

a) Rappeler la d´efinition deq et montrer que 1< q <+∞.

b) Montrer queF est bien d´efinie surIR^∗₊ et que pour tout x≥0, on a

|F(x)| ≤ ||f||_Lp(I)

(2q−1)(x+ 1)^2q−1

6) Donner un exemple de fonction mesurable positive f : I 7→ IR₊ pour laquelle pour toutx≥0, on a

Z _+∞

1

f(t)

(t+x)²dt= +∞

Exercice III(6 pts)

Soit (Ω,T, µ) un espace mesur´e et soit f : (Ω,T) 7→ (IR₊,B) une fonction mesurable positive. On pose pour toutn∈IN^∗

A_n={1

n ≤f ≤n} etf_n=f1_An 1) Montrer queA_n∈ T, que

n→+∞lim µ(A_n) =µ(f >0) et que

n→+∞lim Z

Ωf_ndµ= Z

Ωf dµ 2) On suppose `a pr´esent que f ∈L¹(IR₊).

a) Montrer que pour toutn∈IN^∗, µ(A_n)≤n(

Z

Ωf dµ)<+∞

et que

n→+∞lim Z

Ω\An

f dµ= 0.

b) En d´eduire que pour tout² >0, il existe un ensembleA∈ T tel que µ(A)<∞, sup

x∈Af(x)<+∞ et Z

Ω\Af dµ < ².