pour toutx∈R, 1 +x 1 +ex = x ex 1 x+ 1 1 +e−x donc : x→+∞lim 1 x+ 1 = 1 X→+∞lim 1 +e−x= 1 ) (quotient) x→+∞lim 1 x+ 1 1 +e−x = 1 ligne x→+∞lim x ex = 0 car lim x

TS Correction Fiche TP 6 _2011-2012

Soitg la fonction définie par :g(x) = 1 +x 1 +e^x

On noteCg sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. g est définie surRcar∀x∈R,e^x+ 16= 0 en effet∀x∈R, e^x>0.

2. Limite degen−∞:

x→−∞lim 1 +x=−∞

X→−∞lim 1 +e^x= 1

) (quotient)

x→−∞lim 1 +x

1 +e^x =−∞

3. Limite degen +∞: pour toutx∈R, 1 +x 1 +e^x = x

e^x 1

x+ 1 1 +e^−x

donc :

x→+∞lim

1

x+ 1 = 1

X→+∞lim 1 +e^−x= 1 )

(quotient)

x→+∞lim

1 x+ 1 1 +e^−x = 1 ligne

x→+∞lim x

e^x = 0 car lim

x→+∞

e^x x = +∞











(produit)

x→+∞lim g(x) = 0

Interprétation graphique du résultat : la droite d’équationy = 0 (axe des abscisses) est asymptote àCg en +∞.

4. Calcul de g^′(x).

g est le quotient de deux fonctions dérivables surRdoncg est dérivable surR.

Pour toutx∈R, g^′(x) = 1×(1 +e^x)−(1 +x)e^x

(1 +e^x)² = 1−xe^x (1 +e^x)²

My Maths Space 1 sur 1