x2 + x −1 lim x&rarr
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Texte intégral
(2) Mr ABIDI FARID x −2 = x − 5x + 4. . 2. donc. lim x→ 4. (. x−2. )(. x−2 = lim x − 5 x + 4 x→ 4 2. x −2. ). x + 2 ( x − 1). (. =. 1. ). x + 2 ( x −1). x 3 − 3x + 2 (x + 2)( x 2 − 2x + 1) (x −1)2 = = x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) x−2 1+ x −1 = x. (. donc lim x→ 0. )(. 1+ x −1 x. 4A. SOLUTION. (. )=. 1+ x + 1. ). 1 + x +1. 1+ x −1 = lim x→ 0 x. (. 1. x. =. ). x + 2 ( x − 1) 1 12. ). =. lim. =. 1. ) ( 1 + x +1). 1 + x +1. 1 + x +1. x3 − 3x + 2 ( x −1) 2 9 = lim =− 2 x → −2 x → −2 x − 2 x −x 4 4. donc. x. (. (. 1. 1 2. x3 − x2 + x −1 ( x − 1)( x2 + 1) = lim = lim x 2 +1 = 2 x→ 1 x → 1 x→ 1 x −1 x −1 π sin x − sin 4 π π π x− ' sin sin x − sin 4 4 4 = lim limπ = π π π x→ π x→ cos ' cos x − cos 4 cos x − cos 4 4 4 4 π x− 4 lim. ( ) ( ). =. π cos 4 π - sin 4. ( ) ( ). =− 1. 2. 1. a) La courbe (C) de f présente un saut en 1 donc la fonction n'admet pas de limite en 1. Voir figure page 3.. Année scolaire 2008-09. © www.mathsecondaire.net. page 2 / 5.
(3) Mr ABIDI FARID. SOLUTION. b) lim f(x) = lim x→ 1. x→1. lim f(x) = lim+ + x→ 1. x→1. 4A. x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) = lim = lim − ( x + 1) = −2 x → 1 x→ 1 x −1 1− x x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) = lim+ = lim ( x +1) = 2 x → 1 x→1+ x −1 x −1. 2. a) La courbe (C') de g présente un saut en 1 donc la fonction n'admet pas de limite en 1. Voir figure page 4. x( x −1) = lim x = 1 x→ 1 + x − 1 x→1+. b) lim f ( x) = lim x→1+. Année scolaire 2008-09. lim- f ( x) = limx→ 1. x→ 1. x(1 − x) = lim-− x = −1 x→ 1 x −1. © www.mathsecondaire.net. page 3 / 5.
(4) 4A. SOLUTION. Mr ABIDI FARID. 3. a) E f = ¡* et on a : lim f ( x) = −∞ donc la droite des ordnnées est asymptote verticale à C . f. x→ 0. De plus f ( x ) = x −. Comme. lim −. | x | →+∞. Année scolaire 2008-09. 1 x2. 1 x2 =0. ⇔. f (x ) − x =. 1 x2. donc la droite d’équation y = x est asymptote oblique à C f .. © www.mathsecondaire.net. page 4 / 5.
(5) Mr ABIDI FARID. 4A. SOLUTION. b) E f = ]−∞ ; −1] U [1; +∞[ et on a f ( x) x −1 = lim = lim x →+∞ x →+∞ x x 2. lim f ( x ) = + ∞ et. lim. x →+∞. x →+∞. puis lim f ( x ) − x = lim x →+∞. x. x →+∞. 2. ( −1 − x = lim x →+∞. 1 x 2 = lim 1 − 1 = 1 x →+∞ x x2. x 1−. x2 − 1 − x. )(. x2 − 1 + x. x2 − 1 + x. ) = lim. x →+∞. −1 x2 − 1 + x. =0. d’où la droite d'équation y = x est asymptote oblique à C . f. lim f ( x ) = +∞. x →−∞. et. f ( x) x2 − 1 lim lim = lim = x →−∞ x →−∞ x →−∞ x x. puis lim f ( x ) + x = lim x →−∞. ( x −1 + x = lim 2. x →−∞. x →−∞. 1 x2 = lim − 1 − 1 = − 1 x →−∞ x x2. −x 1−. x2 − 1 − x. )(. x2 − 1 + x. x2 − 1 − x. ) = lim. x →−∞. −1 x2 − 1 − x. =0. donc la droite d'équation y= -x est asymptote oblique à C . f. 4. f ( x) = lim 1. lim x→ 0+ x→ 0+. x 1 = lim+ = −1 x − x x→ 0 x − 1 2. et lim f ( x) = limx→ 0 -. x→ 0. x 1 = lim =1 x + x x→ 0- x +1 2. donc f ne peut être prolongée par continuité en 0 x3 − 2 x2 − x + 2 ( x − 1)( x2 − x − 2) = lim = lim2 + x − x2 = 2 x→ 1 x→ 1 x → 1 x→ 1 1− x 1− x x3 − 2x2 − x + 2 ( x + 1)(x 2 − 3x + 2) lim f ( x ) = lim = lim = lim x 2 − 3x + 2 = 6 x → −1 x →−1 x → − 1 x → −1 1+ x 1+ x. 2. lim f ( x) = lim. donc on peut prolonger f par continuité en 1 et en –1 et on a : g ( x) = f ( x) , si x ∈ ¡ − {−1;1} g (1) = 2 g (− 1) = 6 Année scolaire 2008-09. © www.mathsecondaire.net. page 5 / 5.
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