x→0 1 x2+o  1 x2 ‹ +3+1 x+o 1 x

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE NIVEAU 1

PETITS o

1 « Nettoyer » les expressions suivantes : 1) . . . =

x→0

1 x²+o

 1 x²

‹ +3+1

x+o

1 x

‹ . 2) . . . =

n→+∞

p1 n+ 1

2ⁿ+o

1 2ⁿ

‹ +1

n+o

1 n

‹ + 1

n². 3) . . . =

x→0x+o(x)+xlnx+o x²lnx

+x²+o x² . 4) . . . =

n→+∞

1 n+lnn

n +o

lnn n

‹ + 1

n²+o

1 n²

‹

+ 1 nlnn+o

 1 nlnn

‹ . 5) . . . =

n→+∞n+o(n) +p n+op

n + n²

lnn +nlnn+o nlnn

.

————————————–

2 1) Proposer un exemple de suite(u_n)_n∈Npour la- quelle lim

n→+∞u_n= +∞etu_n =

n→+∞o(lnn).

2) Proposer un exemple de suite(u_n)_n∈Npour laquelleu_n =

n→+∞o(aⁿ)etn^α =

n→+∞o(u_n)pour tous a>1 etα >0.

————————————–

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

3 Montrer que les familles suivantes sont libres dans R^Rgrâce à des développements limités.

1) €

x7−→e^x , x7−→xe^x, x7−→e^x3Š . 2) €

x7−→e^x , x7−→e^2x , x7−→e^x2Š . 3) €

x7−→sinx, x7−→xsinx, x7−→cosx, x7−→xcosxŠ

.

————————————–

4 Calculer les développements limités suivants au voisinage de 0 :

1) e^xArctanx à l’ordre 4.

2) ln 1+x²p3

1+x à l’ordre 4.

3) sin(2x)

p1+x à l’ordre 3.

4) xe^−x

2x+1 à l’ordre 4.

5) sin⁴x à l’ordre 8.

6) ln(1+3x)

chx à l’ordre 3.

7) tanx à l’ordre 5.

8) x²

1−cosx à l’ordre 3.

9) p

1+sinx à l’ordre 3.

10) ln ch(2x) à l’ordre 3.

11) ln e^x+cosx

à l’ordre 2.

12) (1+sinx)^1x à l’ordre 3.

13) e^cosx−(1+x)^1x à l’ordre 2.

14) p

ch sinx à l’ordre 3.

15) Arctanx

Arcsinx à l’ordre 4.

16) ln(1+sinx)−sin ln(1+x) à l’ordre 5.

17) (chx)^sh1x à l’ordre 3.

18) ln€

1+x+p 1+xŠ

à l’ordre 3.

19)

p3cosx

1+x² à l’ordre 5.

————————————–

5 Calculer les développements limités suivants à l’ordre 2 :

1) p

x en 5. 2) sinxcos(3x) en π 3. 3) lnx

x en 3. 4) xe^x en 1.

5) e^xcosx en π

4. 6) ln sinx en π 3. 7) Arctan 1

1+x en 0. 8) lnx

x² en 2.

————————————–

6 1) Montrer que pour toutn∈N: p 1

1+x =

x→0

Xn

k=0

(−1)^k 4^k

2k k

‹

x^k+o xⁿ . 2) En déduire un développement limité de la fonction

arcsinus à tout ordre au voisinage de 0.

————————————–

7 Calculer un développement asymptotique :

1) de

 1+1

n

‹n

à la précision o

1 n³

‹ lorsque ntend vers+∞.

2) de Arctanxà la précision o

1 x²

‹

lorsquex tend vers+∞.

3) de 1

n!

n

X

k=0

k! à la précision o

1 n²

‹ lorsque ntend vers+∞.

————————————–

8 On pose pour toutx∈R: f(x) =

¨

e^−x12sin€ e^x12Š

six6=0

0 six=0.

1) Montrer que pour toutn∈N: f(x) =

x→0o xⁿ . 2) Montrer que f est dérivable surR tout entier. Y

est-elle de classeC¹?

3) a) Une fonction dérivable qui possède un déve- loppement limité d’ordre 2 en un point est-elle deux fois dérivable en ce point ?

b) On a vu qu’on peut toujours primitiver les déve- loppements limités d’une dérivée. Peut-on tou- jours dériver les développements limités d’une fonction dérivable ?

c) On a vu que les coefficients d’un développe- ment limité sont uniques. Réciproquement, deux fonctions qui ont le même développement li- mité à tout ordre au voisinage d’un point sont- elles égales au voisinage de ce point ?

————————————–

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE NIVEAU 1

ÉQUIVALENTS

9 Trouver un équivalent simple des expressions suivantes :

1) ⌊x⌋

px+1 en+∞. 2) n²ln

 1+1

n

‹

tanπ n

.

3) x⁴−x³+1

⌊x⌋²−4x en+∞. 4) ln n⁴+4 n+1 . 5) cosx−x^x

e^x en 0. 6) lnx

px+2 en 1.

7) 3+e¹ⁿ−6

n. 8) ln chx+sh²x en 0.

9) ln(1+x) +sinx en+∞.

10) ln(n+1)−ln(n+2). 11) Arcsin e^−pn. 12) ln1+chx

2 en 0. 13) 1

n+1− 1 n+5− 4

n². 14) (x+1)^x−x^x en 0. 15) sinx

px enπ.

16) ln x⁷+p⁵ x

x²+9 en+∞. 17) e^ee−n−e.

18) ln(1+x)−p

1+x+1

cosx−e^x en 0.

19) n+lnn

e⁻ⁿ⁺¹. 20) (cosx)^lnx−1 en 0.

21) e^x2−p⁷ 1+x 2+ln(1+5x)−p

4+x en 0.

22) e^{Arccos 1n}−e^π2cos 1

pn. 23) e^tannπ2 −1.

24) pp

x+2−p

x+1 en+∞. 25) ln 2e^x+x

−p

x²+x+sinx en+∞. 26) x^sinx−(sinx)^x en 0. 27) p

n sinπ

n. 28) ln n²+2

−ln n²+1

ln(n+2)−ln(n+1) . 29) e^pn+1−pn. 30) x^1x −cos1

x en+∞. 31) (2n)!−nⁿ. 32) cosx

1+x−1 en 0. 33)

n+p n

‹

(p∈N).

34) e^5pcosx−cos 7x² en 0.

35)

 1+ 2

x²

‹x

−

 1+ 1

x³

‹x²

en+∞. 36) cos(2x)−ch(3x)

x+sin² 4p

x en 0.

37) sin 1

2ⁿ+cos e⁻ⁿ− ⁴ s

1+ 1 n²+ 1

n². 38) cos(tanx)−

Ç3

1+e^−x12

sinx en 0.

39) 1 n²− 1

n²+1− 1

n⁴. 40) (n+1)ⁿ⁺¹¹ −n¹ⁿ. 41) sinx−sinθ enθ (θ∈R).

42) p

nⁿ+n^pn+nⁿ². 43) sin€ πp

n²+1Š .

————————————–

10 Soientα,β∈R. Déterminer un équivalent simple de x^α

1+x^β lorsquextend vers 0 et vers+∞.

————————————–

11 Soient(x_n)_n∈N,(x^′_n)_n∈N,(y_n)_n∈N et(y_n^′)_n∈N des suites strictement positives pour lesquellesx_n ∼

n→+∞ x^′_n ety_n ∼

n→+∞ y_n^′. Montrer quex_n+y_n ∼

n→+∞x^′_n+y_n^′.

————————————–

12 Soit (u_n)_n∈N une suite réelle. Montrer que si u_n =

n→+∞op

n , alors

1+u_n

n n

n→∼+∞e^un.

————————————–

13 Soient(u_n)_n∈Net(v_n)_n∈Ndeux suites réelles. On supposeu_n6=0 etv_n6=0 à partir d’un certain rang.

1) Trouver deux suites (u_n)_n∈N et (v_n)_n∈N pour les- quelles :

a) lim

n→+∞

u_n

v_n =1 mais lim

n→+∞(u_n−v_n)6=0.

b) lim

n→+∞(u_n−v_n) =0 mais lim

n→+∞

u_n v_n 6=1.

2) a) Montrer l’équivalence : e^un_n∼

→+∞e^vn ⇐⇒ u_n−v_n =

n→+∞o(1).

b) Trouver deux suites(u_n)_n∈Net(v_n)_n∈Npour les- quellesu_nn∼

→+∞ v_n, mais pour lesquelles il est faux que e^un ∼

n→+∞e^vn. 3) a) Montrer que siu_n ∼

n→+∞v_net lim

n→+∞u_n= +∞, alors lnu_n ∼

n→+∞lnv_n.

b) Trouver deux suites(u_n)_n∈Net(v_n)_n∈Npour les- quellesu_n ∼

n→+∞ v_net lim

n→+∞u_n=1, mais pour lesquelles il est faux que lnu_nn∼

→+∞lnv_n.

————————————–

CALCULS DE LIMITES 14 Étudier les limites suivantes :

1) lim

x→0

ln(1+x)−sinx

tanx−x . 2) lim

x→1

ln 2x²−1 xp

x−1 . 3) lim

x→0

x−Arctanx

sh³x . 4) lim

x→0

1 x²− 1

sin²x

‹ . 5) lim

n→+∞

€3pⁿ 2−2pⁿ

3Šn

. 6) lim

x→0(cosx)^x12. 7) lim

x→0

1 x³− 1

sin³x

‹ .

————————————–

15 Montrer que la fonction x 7−→ Arccos1−x² 1+x² n’est pas dérivable en 0.

————————————–

16 Soienta,b∈R. On note f la fonctionx7−→1

x − a

ln(1+x)− b e^x−1. 1) À quelle condition nécessaire et suffisante suraet

best-il vrai que lim

0 f =0 ?

2) Montrer que, dans ce cas, pour un certainλ∈Rà préciser : f(x) =

x→0λx²+o x² .

————————————–

ÉTUDES DE SUITES

17 On note(u_n)_n∈N la suite définie par u₀ = 0 et pour toutn∈N: u_n+1=p

u_n+n². 1) Montrer que lim

n→+∞u_n= +∞. 2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE NIVEAU 1

2) Montrer que pour toutn∈N: n−1¶u_n¶ n, puis en déduire un équivalent simple deu_nlorsque ntend vers+∞.

————————————–

18 On note(u_n)_n∈N la suite définie par u₀= 1 et pour toutn∈N: u_n+1=1+ n

u_n. Montrer que pour toutn∈N: p

n¶u_n¶p

n+1, puis en déduire un équivalent simple deu_nlorsquentend vers+∞.

————————————–

19 Soienta>1. On note(u_n)_n∈N la suite définie par u₀ = a et pour tout n ∈ N : u_n+1 = 1

2

 u_n+ a

u_n

‹ . On pose pour toutn∈N: v_n= u_n−p

a u_n+p

a.

1) Calculerv_n+1en fonction dev_npour toutn∈N. 2) En déduire pour toutn∈Nune expression dev_n,

puis deu_nen fonction den.

3) En déduire queu_n−p a ∼

n→+∞2p a

pa−1 pa+1

‹²ⁿ . Cette méthode puissante — pourquoi puissante ? — de calcul des valeurs approchées d’une racine carrée est appelée la méthode de Héronou méthode des Babylo- niens.

————————————–

ÉTUDES LOCALE DE FONCTIONS 20 Montrer que les fonctions suivantes sont prolon-

geables en des fonctions de classeC¹: 1) x7−→e^x−1

x surR. 2) x7−→ x

ln(1+x) sur]−1,+∞[.

————————————–

21 On note f la fonction définie par f(0) =0 et pour toutx∈R^∗

+ : f(x) =x^1+1x.

1) Étudier la continuité et la dérivabilité def surR₊. 2) Montrer que f possède un DL₃(1)et le calculer.

Qu’en déduit-on sur le graphe de f ?

————————————–

22 On note f la fonction définie par f(0) =0 et pour toutx∈R^∗: f(x) = x²

shx. 1) Calculer le DL₃(0)de f.

2) En déduire quef est dérivable surRet préciser la position relative au voisinage de 0 du graphe de f par rapport à sa tangente en 0.

————————————–

23 Étudier localement au voisinage de 0 les fonc- tions d’expressions : 1) ln(1+x)

e^x−1 . 2) chx¹_x

. 3) 1

x− 1 e^x−1.

4) 1

ln(1+x)− 1

x. 5) x−ln(1+x) e^x+1 .

————————————–

24 Montrer que les fonctions suivantes possèdent une asymptote en+∞et étudier la position relative de leur graphe par rapport à celle-ci au voisinage de+∞:

1) x7−→x

sx−1

x+1. 2) x7−→(x+1)e^1x. 3) x7−→ln e^2x−e^x+1

. 4) x7−→ x²

x+1Arctanx.

————————————–

25 1) On note f la fonctionx7−→x+ln(1+x).

a) Montrer que f est bijective de]−1,+∞[sur son image — que l’on précisera.

b) Montrer que f⁻¹possède un DL₃(0)et le cal- culer.

2) On note gla fonctionx7−→xe^x2.

a) Montrer quegest bijective deRsur son image

— que l’on précisera.

b) Montrer que g⁻¹possède un DL₅(0)et le cal- culer.

————————————–

3