x+ 1 x2+ 2x etF(x

TS 8 Interrogation 14A : Correction 18 mars 2017 Les trois premi`eres questions sont ind´ependantes. Pour chaque question, une affirmation est propos´ee. Indiquer si chacune est vraie ou fausse, en justifiant la r´eponse.

Exercice 1 :

Soit les fonctionsf etF d´efinies sur ]0; +∞[ par :f(x) = x+ 1

x²+ 2x etF(x) = 1 + ln x²+ 2x

2 .

La fonctionF est une primitive sur ]0; +∞[ de la fonction f.

Solution: D´erivonsF. On poseu(x) =x²+ 2x, on au⁰(x) = 2x+ 2.

F⁰(x) = 2x+ 2

2(x²+ 2x) =f(x).

Vrai

Exercice 2 : Z ln 3

0

e^x

e^x+ 2dx= ln3 5.

Solution:

Z ln 3

0

e^x

e^x+ 2dx= [ln (e^x+ 2)]^{ln 3}₀ = ln e^{ln 3}+ 2

−ln(2)6= ln3 5. Faux

Exercice 3 :

Sur le graphique ci-contre, on a trac´e les courbes repr´esentatives des fonctionsf et gd´efinies surRparf(x) =xet g(x) = (x−2)².

L’aire du domaine color´e est ´egale `a 4,5 en unit´e d’aire.

Rq : 4³= 64

−1. 1. 2. 3. 4.

−1.

1.

2.

3.

4.

0

Solution: Il suffit de calculer Z 4

1

(f(x)−g(x))dx.

Une primitive def(x)−g(x) =−x²+ 5x−4 estF(x) =−^x₃³ +⁵₂x²−4x.

Donc Z 4

1

(f(x)−g(x))dx= 4,5.

Vrai

Exercice 4 : SoitI=

Z 1

−1

6

x+ 3dxet J= Z 1

−1

2x x+ 3dx.

1. CalculerI etI+J 2. En d´eduireJ.

Solution:

1. I= Z 1

−1

6

x+ 3 = [6 ln(x+ 3)]¹₋₁= 6 ln(4)−6 ln(2) = 6 ln(2).

I+J = Z 1

−1

6

x+ 3+ 2x x+ 3

dx=

Z 1

−1

6 + 2x

x+ 3 dx= 2×2 = 4.

2. J =I+J−I= 4−6 ln 2