X estY ne sont pas ind´ependantes car, on voit quef(X,Y)(x, y) n’est pas le produit defX(x) et defY(y)

CORRRECTION

(1) Une variable al´eatoire X est une application mesurable de (Ω,F) dans (R,B) o`u Ω est un espace des eventualit´es,F est une tribu,Best la tribu Borelienne de R. Autrement dit, pour toutB∈ B,{ω:X(ω)∈B} ∈ F.

SoitPune mesure de probabilit´e sur (Ω,F). Sa mesure-image PX parX sur (R,B) est la loi de X. Autrement dit, pour toutB∈ B,PX(B) =P(ω:X(ω)∈B).

(2) R R

f_(X,Y)(x, y)dxdy=CR∞ 0 xR∞

x/2e^−ydy=CR∞

0 xe^−x/2dx=−2CR∞

0 x(e^−x/2)⁰dx=−2Cxe^−x/2

∞ 0

+2CR∞

0 e^−x/2dx= 0−4Ce^−x/2

∞ 0

= 4C.DoncC= 1/4.

(3) X est de loi abs. continue par rapport `a la mesure de Lebesgue de densit´eR

f_(X,Y)(x, y)dy=Cxe^−x/21_{x>0}. X estY ne sont pas ind´ependantes car, on voit quef_(X,Y)(x, y) n’est pas le produit def_X(x) et def_Y(y).

(4) On pose x/y = u, y =v. Alors x =uv, y = v. Le Jacobien vaut |v|. Pour toute fonctionh : R² → Rmesurable born´ee Eh(X/Y, Y) =R R

h(x/y, y)f_(X,Y)(x, y)dxdy=CR R

h(u, v)uve^−v1{v>0,u∈]0,2[}vdudv.Donc la densit´e du cou- ple (X/Y, Y) vautCuv²e^−v1{v>0,u∈]0,2[}.

(5) La densit´e de X/Y vaut constu1_{u∈[0,2]}. Par cons´equent (comme R

f_X/Y(u)du = 1) la constante vaut 1/2. Donc f_X/Y(u) = (1/2)u1_{u∈[0,2]}.

(6) X/Y etY sont ind´ependantes carf_(X/Y,Y)(u, v) =f_X/Y(u)fY(v).

(7) E|lnX1|=−R1

0 lnxdx=−

(xlnx)|¹₀−R1

0 x(1/x)dx

=−(0−0−1) =−(−1)<∞et ElnX1 =−1. E((lnX1)²) = R1

0(lnx)²dx= (xln²x)|¹₀−R1

0 x(1/x)2 lnxdx=−2R1

0 lnxdx= 2<∞. V ar(lnX₁) = 2−(−1)²= 1.

(8) Cette suite converge versElnX₁=−1 p.s. par la loi de grands nombres. Donc la limite dansL², si existe, doit ˆetre la mˆeme. On aE(lnY_n−ElnX₁)²=V arlnY_n= (1/n²)Pn

k=1V arlnX_k = (1/n²)nV arlnX₁= 1/n→0 quandn→ ∞.

On conclut que la suite converge dansL²vers−1.

(9) Comme Yn = exp(lnYn), et lnYn→ −1 p.s. par la loi de grands nombres, alorsYn →exp(−1) p.s.

(10) Comme lnYn → −1 p.s. par la loi de grands nombres, Yn = exp lnYn ce quotient converge vers (exp(x))⁰ x=−1= exp(−1) p.s.

(11) √

n(Y_n−exp(−1)) =√

n(lnY_n+ 1)^Yn_ln^−exp(−1)_Y

n+1 . Le premier terme converge en loi vers la loi Gaussienne d’esp´erance 0 et de varianceV arlnX₁= 1 par le Th´eor`eme de la Limite Centrale, le second terme converge vers la constante exp(−1).

Comme cette suite est un produit de deux suites convergentes en loi, dont une est convergente en loi vers la constante, elle converge en loi vers la loi Gaussienne d’esp´erance 0 et de variance 1×(exp(−1))²= exp(−2).

(12) On a pour tout >0 P(|s−M_n|> ) =P(s−M_n > ) = P(M_n < s−) = (P(X₁< s−))ⁿ = (Rs−

0 g(x)dx)ⁿ = (^F(s−)_F(s) )ⁿ. Commef(x)>0 pour toutx >0 et continue, alorsF(s)−F(s−) =Rs

s−f(x)dx >0 et donc ^F_F^(s−)_(s) <1.

Alors, la s´erieP

nP(|s−Mn|> ) est convergente. Doncs−Mn converge p.s. vers 0 par le lemme de Borel-Cantelli (13) FZ_n(x) =P(n(s−Mn)≤x) =P(Mn ≥s−x/n). Ceci vaut 1−(^F(s−x/n)_F(s) )ⁿ si 0≤x≤sn, 0 six <0 et 1 si x > sn.

(14) On aF(s−x/n) =F(s)−(x/n)F⁰(s) +o(x/n) quandn→0. Donc ^F(s−x/n)_F(s) = 1−(x/n)^F_F(s)^0(s)+o(1/n) quandn→0.

DoncFZ_n(x) = 0 pour x <0 et FZ_n(x) converge vers 1−exp(−λ(s)x) o`u λ(s) = <sup>F</sup><sub>F</sub><sup>0</sup><sub>(s)</sub><sup>(s)</sup> = <sub>F(s)</sub><sup>f(s)</sup> pour x >0. La suite (Z<sub>n</sub>)<sub>n≥1</sub>converge en loi vers la loi exponentielle de param`etreλ(s) =f(s)(F(s))⁻¹.

(15) Siα >1, la s´eriePP(Y_n=n²) est convergente. DoncP(S

N≥1

T

n≥N{Vn=s−Mn}) =P(S

N≥1

T

n≥N{Yn= 1}) = 1 par le lemme de Borel-Cantelli. Si α≤ 1 cette s´erie est divergente et les ´ev´enements {Yn =n²} sont ind´ependants pourn= 1,2, . . .. Par le lemme de Borel-CantelliP(S

N≥1

T

n≥N{Vn =s−M_n}) =P(S

N≥1

T

n≥N{Yn= 1}) = 0. Le domaine est doncα∈]1,∞[. Par le r´esultat de (12)V_n→0 p.s. pour tout α >1.

(16) La s´erie PP(Y_n = 1) est divergente pour tout α > 0. De plus les ´ev´enements {Y_n = 1} sont ind´ependants pour n= 1,2, . . .. DoncP(T

N≥1

S

n≥N{V_n=s−M_n}) = 1 pour toutα >0 par le lemme de Borel-Cantelli.

La s´erie PP(Y_n = n²) est divergente ssi α ∈]0,1]. De plus les ´ev´enements {Y_n = n²} sont ind´ependants pour n= 1,2, . . .. DoncP(T

N≥1

S

n≥N{V_n=n²(s−M_n)}) = 1 ssiα∈]0,1] par le lemme de Borel-Cantelli.

Finalement P(T

N≥1

S

n≥N{Vn = s−M_n}) = 1 et P(T

N≥1

S

n≥N{Vn = n²(s−M_n)}) = 1 ssi α ∈]0,1]. Comme s−M_n →0 p.s. par (12) etn²(s−M_n) ne converge pas vers 0 p.s. par (14), la suiteV_n ne converge pas p.s. pour aucunα∈]0,1].

3

(17) Etant la transformation lin´eaire d’un vecteur Gaussien, c’est un vecteur Gaussien, son vecteur des esp´erances est 0, sa matrice des covariances est

D=A(Id)A^T =





3 0 0

0 2 −1

0 −1 2



.

φAX~ (t1, t2, t3) = exp(−(~t, D~t^t)/2),~t= (t1, t2, t3).

(18) Commeφ_AX~ (~t) =φ_{X1+X2+X3,X2−X1,X3−X2}(t₁, t₂, t₃) =φ_X1+X2+X3(t₁)φ_{X2−X1,X3−X2}(t₂, t₃) les vecteursX₁+X₂+X₃ et (X₂−X₁, X₃−X₂) sont ind´ependants, et par cons´equent ces variables al´eatoires le sont aussi aussi.

(19) Comme la matriceD est non degener´ee, le vecteur admet une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue (2π)^−3/2(1/3) exp(−(~x, D⁻¹~x)/2),x= (x₁, x₂, x₃).

(20) Les variables X₁, . . . , X_n, . . . sont ind´ependantes, on a φ_Sn(t) = Qn

k=1φ_Xk(t). Comme S_n → S en loi, φ_S(t) = lim_n→∞φ_Sn(t)=Q∞

k=1φ_Xk(t).

(21) φS(0) = 1 et φS(t) est continue, alorsφS(t)6= 0 dans un voisinage de 0. Alors,Q∞

k=1φX_k(t)6= 0 dans un voisiange de 0 et par cons´equent lim_m,n→∞Qm

k=nφk(t) = 1.pour touttdans un voisinage de 0.

(22) On a pour tout t∈Ret toute variable X 1−cos(2tX)≤4(1−cos(tX)). Alors 1−Ecos(2tX)≤4(1−Ecos(tX)).

CommeφX(t) =Ecos(tX) +iEsin(tX), on a ReφX(t) =Ecos(tX), ce qui implique l’in´egalit´e demand´ee.

Pour tout t dans un voisinage [−T, T] de 0 on a : ReφS_m−Sn(2t)≥1−4(1−ReφS_m−Sn(t)). Comme φS_m−Sn(t)→ 0 quand n, m → ∞, on obtient lim inf_n,m→∞ReφS_m−Sn(2t) ≥ 1. Comme ReφS_m−Sn(2t) ≤ 1, on a forc´ement lim_n,m→∞ReφS_m−Sn(2t) = 1.Comme|φS_m−Sn(2t)| ≤1, ceci implique lim_n,m→∞φS_m−Sn(2t) = 1.DoncφS_m−Sn(t)→ 1 pourt∈[−2T,2T]. En continuant de cette fa¸con on couvre toutt∈R.

(23) Comme φS_m−S_n(t) →1 pour tout t ∈ R, Sm−Sn converge en loi vers 0 quand n, m→ ∞. La convergence en loi vers une constante implique la convergence en probabilit´e. Donc Sm−Sn converge en en probabilit´e vers 0 quand n, m→ ∞.

(24) Pour tout , δ > 0 il existe N₀ tel que pour tout m ≥ n ≥ N₀ P(|Sm−S_n| ≥ δ) < . Pour tout k nous pouvons donc trouver N₀(k) tel que P(|Sm−S_n| ≥ k⁻²) < k⁻² pour tout n, m ≥ N₀(k). Nous pouvons donc construire une sous-suite de num´eros (n_k)^∞_k=1 telle que P(|Snk+1−S_nk| ≥ k⁻²) < k⁻². Alors par le lemme de Borel-Cantelli P(S∞

K=1

T

k≥K{|S_nk+1−S_nk| ≤k⁻²}) = 1. La s´erie P∞

k=1S_nk+1−S_nk et donc absolument convergente p.s. Alors, la sous-suite (S_nk)_k≥1converge p.s. (versS).

(25) Soient , δ >0. On aP(|S_n−S|> δ)≤P(|S_n−S_nk| ≥δ/2) +P(|S_nk−S| ≥δ/2). Comme (S_n)_n≥1 est de Cauchy en probabilit´e, il existeN0 tel que pour toutn≥ N0 et toutnk ≥n P(|Sn−Sn_k| ≥ δ/2)< /2. Comme (Sn_k)_k≥1 converge p.s. vers S, il existeK0 tel que pour toutk≥K0 P(|Sn_k−S| ≥δ/2)< /2. Pour tout n≥max(N0, NK₀) on aP(|Sn−S|> δ)< ce qui prouve la convergence en probabilt´e.

(26) La covergence en probabilit´e de (Sn)_n≥1implique la convergence p.s. dans le cadre de l’exercice car il s’agit des sommes de variables al´eatoires ind´ependantes ! (Thm du cours).

Cet exercice prouve donc un r´esultat tr`es fort: une s´erie de variables al´eatoires ind´ependantes qui converge en loi, converge forc´ement p.s. !!

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