TD DE MOD `ELES LIN ´EAIRES I - S ´ERIE 2 : LOI GAUSSIENNE
Exercice 1. Soit X un vecteur al´eatoire de dimension p et deux matrices A et B de dimension (n,p).
Calculer IE(AX), Var(AX) et Cov(AX, BX).
Exercice 2. Soit X de loi N
0 0 0
,
3 −1 0
−1 3 0
0 0 2
!
. Trouver une matrice A de dimension (3,3) telle que AX soit un vecteur de composantes ind´ependantes.
Exercice 3.
(1) Soient X etεdeux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes, telles que IP(ε= +1) = IP(ε=−1) = 1/2 et X de loiN(0,1). On poseY =εX.
(a) Calculer la fonction de r´epartition de Y. En d´eduire sa loi.
(b) Les variables al´eatoires r´eelles X et Y sont-elles non corr´el´ees?
(c) Calculer IP(X+Y = 0). Le vecteur (X, Y) est-il gaussien? Les variables al´eatoires r´eelles X et Y sont-elles ind´ependantes?
(2) Soient X, Y, Z trois variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loiN(0,1). On pose U = X - Y et V = X + Y - 2 Z.
(a) Quelles sont les lois de U et de V?
(b) Ces variables al´eatoires sont-elles ind´ependantes?
Exercice 4. SoitX= (X1, X2, X3) un vecteur gaussien tel que∀i∈ {1,2,3},IEXi= 0,IEXi2= 1 et IE(XiXj) = 1/2, i6=j. ´Ecrire la fonction caract´eristique de ce vecteur et chercher sa densit´e.
Exercice 5. Soit (X1, ..., Xn) un n-´echantillon de loi N(µ, σ2). On pose Yi = Xi −X1,2 ≤ i ≤ n, X¯n = 1
n
n
X
i=1
Xi ets2n = 1 n−1
n
X
i=1
(Xi−X¯n)2. (1) Quelle est la loi de (Y2, ..., Yn)?
(2) Montrer que (Y2, ..., Yn) est ind´ependant de ¯Xn. En d´eduire que ¯Xn ets2n sont ind´ependants.
(3) Quelle est la loi de la statistique de Student
√n( ¯Xn−µ) sn
?
Exercice 5. SoientX1, ..., Xn des variables al´eatoires ind´ependantes de loi N(0,1), a1, ..., an, b1, ..., bn des r´eels. Montrer queY =Pn
i=1aiXiet Z=Pn
i=1biXi sont ind´ependantes ´equivaut `aPn
i=1aibi= 0.
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