D´eveloppement dyadique et Bernoulli
31 d´ ecembre 2012
R´esum´e
A partir d’une variable de loi uniforme on construit une suite de Ber-` noulli12 ind´ependantes, on en d´eduite une suite de variables ind´ependantes pour n’importe quelle suite de lois et on fini par une construction de me- sures diffuses ´etrang`eresz `a la mesure de Lebesgue.
1 Des suites i.i.d. de Bernoulli et d’uniformes
SoitX ∼U[0,1], soit Dn len`eme terme du d´eveloppement dyadique deX (bien d´efini siX(ω) n’est pas un rationel dyadique c’est-`a-dire un 2pq, qui sont de mesure de Lebesgue nulle). Consid´erons un n-upletε= (ε1, . . . , εn) et notons
Iεn=
n
X
j=1
εj
2j,
n
X
j=1
εj
2j + 1 2n
P
n
\
j=1
(Dj=εj)
=λ(Iεn) = 1 2n Et donc
P(Dj= 1) = X
ε/εj=1
λ(Iεn) = 1 2 Et ainsi
P
n
\
j=1
(Dj=εj)
=
n
Y
j=1
P(Dj =εj)
n´etant arbitraire, on a bien (Dn)N∼⊥ B(12). Soitφ:N×N→Nbijective, posons Yj =P
k≥1 1
2kDφj(k) La loi de Yj est ´egale `a la loi uniforme sur le π- syst`eme des intervalles dyadiques (qui engendre la tribue des boreliens) etYjest mesurable par rapport `a la tribue engendr´ee par lesDφj(k)qui sont ind´ependants desDφi(k)pouri6=j, donc les (Yj) sont ind´ependants.
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2 Des suites ind´ ependantes de lois quelconques
Soitµune loi,Fsa fonction de r´epartition, consid´erons son inverse g´en´eralis´ee Gd´efinie parG(x) = inf{y/F(y)≤x}. On a alors
y≤G(x)⇔F(y)≤x
En effet, le sens direct d´ecoule de la d´efinition de G et de la croissance de F, la r´eciproque de croissance et de la continuit´e `a droite de F (et donc F(G(x)) =x). Ainsi, siX'U[0,1],
P(G(X)≤y) =P(X ≤F(y)) =F(y)
DoncG(X) a pour fonction de r´epartitionF, autrement dit suit la loiµ.
3 De singuli` eres mesures
Soit (Yn)N∼⊥B(p) etX =P
n∈N∗ 1
2nYn, alors
PX({ω}) = PX(∀n, Dn=ωn)
≤ PX(D1=ω1. . . Dn=ωn)
≤ max(p,1−p)n →0
D’autre part, d’apr`es la loi des grands nombres, l’´ev`enement n1(D1+· · ·+ Dn)→pest de probabilit´e 1 si lesDi∼ B(p) et de probabilit´e 0 si lesDi∼ B(r) avecr6=p.
SoitF la fonction de r´epartition deX, soit 0≤x < 21n, on a
F( 1
2n +x) = PX(ω≤ 1 2n +x)
= PX ∀i∈[|1, n−1|], Dj(ω) = 0 et x≥X
k≥n
1
2kDk(ω)
= 1
2n−1PX 2n−1x≥X
k≥1
1
2kDk(ω)
= 1
2n−1F(2n−1x) Autrement dit,F est fractale.
R´ ef´ erences
Ouvrard, “probabilit´es 2”
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