Examen LM346, 2`eme session de l’ann´ee 2010–2011, sans document.
Partie A On consid`ere une courbe ferm´ee C surR2 sans intersections, on noteInt(C) son int´erieur dont l’aire est not´ee parS. On suppose que (0,0)∈Int(C).
On cherche `a simuler la loi uniforme surInt(C).
[1] SoientU et V deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. Donner les lois de variables (2U−1)aet (2V −1)baveca, b >0 des constantes.
[2] SoitU1, V1, U2, V2, U3, V3, . . .une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. On pose Xi= (2Ui−1)a et Yi = (2Vi−1)b pour i= 1,2, . . .avec a, b≥0 des constantes. Ces constantes sont choisies telles queInt(C)⊂Go`uGest un carr´e avec les sommets (−a,−b), (−a, b), (a, b), (a,−b). Soit
ν = min{i≥1 : (Xi, Yi)∈Int(C)}.
DonnerP(ν =k) en fonction deS,a,b.
[3] DonnerP(ν <∞).
[4] Soit ∆⊂Int(C), on noteD l’aire de ∆. DonnerP((Xν, Yν)∈∆) en termes de D etS.
[5]Comment simuler un vecteur al´eatoire de loi uniforme sur Int(C) ?
[6] Donner Eν en fonction de a, b, S. Comment devrait-on choisir a et b pour minimiser le temps moyen de la simulation d’un vecteur al´eatoire de loi uniforme surInt(C) ?
Partie B.[7] Formuler le Th´eor`eme de la Limite Centrale.
[8] SoientX1, . . . , Xn, . . . des variables al´eatoires ind´ependantes, de mˆeme loi, de second moment fini, EX1 = 0.
Pour α ∈]0,1/2[, on note b(α) tel que (√
2π)−1R∞
b(α)exp(−t2/2)dt = α. Donner la valeur de la limite suivante : limn→∞P
−b(α)< √X1+···+Xn
nVar (X1) < b(α) .
[9] Soitα ∈]0,1/2[. Construire un intervalle de confiance asymptotique [In(α),∞[ de niveau de fiabilit´e 1−2α pour la variance Var (X1), c’est-`a-dire tel que
n→∞lim P(Var (X1)∈[In(α),∞[)≥1−2α.
[10] Une ´election au sufrage universel pour un poste important entre deux candidatsM et N s’annonce dans un pays. Une proportion pde la populatiion est d´ej`a determin´ee dans son choix : exactement la moiti´e compte voter pourM et l’autre moiti´e pourN. La proportion (1−p) de la population n’est pas encore determin´ee dans son choix.
On veut estimerp. Pour cela on fait un sondage de 100000 individus : 46000 se disent ind´ecis, 26000 vont voter pour M et 28000 pourN. Construire un intervalle de confiance pour le param`etrepde niveau 1−2α.
Suggestion : on pourrait essayer de mod´eliser la r´eponse de chaque individus par une variable al´eatoire `a trois valeurs1,−1,0 (si l’individu est pout M,N ou ind´ecis respectivement) qui sont prises avec des probabilit´es que vous pr´eciserez (en fonction de ce que vous avez lu ci-dessus). On pourrait calculer la variance de ces variables al´eatoires...
Partie C.On consid`ere une chaine de Markov (Yn)n≥0surE ={1,2,3,4,5,6,7}de matrice de transition
1/7 1/7 0 3/7 1/7 1/7 0
2/7 3/7 1/7 0 0 0 1/7
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 p 1−p 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1/2 1/2
0 0 0 0 0 1/3 2/3
.
Icip∈[0,1[ est un param`etre (la valeurp= 1 est exclue de l’exercice).
[11] Donner les classes d’´etats. Pr´eciser leur r´ecurrence/transience.
[12] On note TA = min{n >0 : Yn ∈A} pour A⊂E. Donner tous les ´etatsi ∈ {1,2,3,4,5,6,7} pour lesquels P(Ti<∞ |Y0=i)<1.
[13] Soitν= (1/3,0,1/3,0,0,0,1/3) la loi initiale. DonnerP(X1= 4, X3= 5) sous cette loi.
[14] Donner toutes les lois stationnaires pour cette chaine de Markov.
[15] Soitµ= (0,0,(1−p)/(6−4p),1/(6−4p),(1−p)/(6−4p),1/5,3/10) la loi initiale. DonnerP(X5= 4), puis P(X10= 4, X12= 5) sous cette loi.
[16] DonnerE(Ti|X0=i) pouri= 1,2,3,4,5,6,7.
[17] SoithAi =P(TA<∞ |X0=i). PourA⊂ {3,4,5}calculerhA1 et hA2.
[18] Donner la limite limn→∞P(Xn = 4|X0=i) pour diff´erentes valeurs de param`etrepet i = 1,2,3,4,5,6,7, quand cette limite existe. Pour quelles valeurs de param`etrepet pour quelsicette limite n’existe pas ? Pourquoi ?
[19] Donner la limite limn→∞P(Xn = 4) sous la loi initialeν de la question [13] pour les valeurs du param`etrep pour lesquelles elle existe.
[20] Soit Nin = Pn
k=01{Xk=i} le nombre de visites dans l’´etat i pendant le temps [0, n]. Pour tout les ´etats i = 1,2,3,4,5,6,7 : ´etudier la convergence de la suite de variables al´eatoires (n−1Nni)n≥0 quand n → ∞ sous la condition initiale X0=i.
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