Soit X n une variable al´ eatoire de loi binomiale B(n, θ n ), (n ∈ N ∗ , 0 < θ n < 1).

UPS - Toulouse - Magist` ere d’´ econom´ etrie et statistique Partiel de Probabilit´ es du 10 F´ evrier 2010

La dur´ ee de l’´ epreuve est 2h-Pas de document autoris´ e- Calculatrices UPS autoris´ ees.

1 Question de cours : approximations de la loi binomiale

Soit X n une variable al´ eatoire de loi binomiale B(n, θ n ), (n ∈ N ^∗ , 0 < θ n < 1).

1) On suppose que la suite θ _n est constante. Soit θ cette constante. Expliquer pourquoi, pour t ∈ R ,

n→∞ lim P

X _n − nθ

√ n < t

= Z t

−∞

exp

− _2θ(1−θ) ^x

p 2πθ(1 − θ) dx. (1)

2) On ne suppose plus que la suite θ _n est constante. Mais on suppose que

n→∞ lim nθ _n = λ > 0.

Expliquer pourquoi, pour k ∈ N ,

n→∞ lim P (X _n = k) = e ^−λ λ ^k

k! . (2)

3) La mutation d’un certain g` ene a une probabilit´ e p d’ˆ etre pr´ esente chez un individu donn´ e. On observe un ´ echantillon de n = 10000 individus. En expliquant soigneusement la mod´ elisation utilis´ ee, donner une approximation num´ erique des probabilit´ es suivantes : a) P (Observer au moins un mutant), si l’on suppose que la mutation du g` ene est tr` es

rare, p = 10 ⁻⁴ ,

b) P (Observer plus de 3021 mutants), si l’on suppose que la mutation du g` ene est fr´ equente, p = 0.3.

2 Lois B´ eta

On consid` ere le domaine A du plan : A =

x y

∈ R ² : x ² ≤ y ≤ x, x ∈ [0, 1]

1) Soit C l’aire de l’ensemble A. Calculer C.

2) On consid` ere un couple de variables al´ eatoires (X, Y ) de densit´ e : f(x, y) = 1 A (x, y)

C .

Les variables al´ eatoires X et Y sont-elles ind´ ependantes ? Calculer E (X) et E (Y ).

1

3) On pose







U = X

V = Y − X ² X(1 − X)

Quelle est la loi de (U, V ) ? Montrer que les variables U et V sont ind´ ependantes et donner leurs lois marginales.

3 Cauchy

Rappels et compl´ ements admis

Soit f une fonction continue et int´ egrable sur R . Rappelons que sa transform´ ee de Fourier f b est d´ efinie par l’int´ egrale :

f(ω) = b Z

R

exp(iωx)f (x)dx, (ω ∈ R ).

Par ailleurs, lorsque f b est int´ egrable on a la formule d’inversion : pour tout x ∈ R , f (x) = 1

2π Z

R

exp(−iωx) f b (ω)dω.

Soit X une variable al´ eatoire de loi exponentielle double. C’est-` a-dire que X a pour densit´ e : f _X (x) = 1

2 exp −|x|, (x ∈ R ).

Soit Y une variable al´ eatoire de loi de Cauchy. Y a pour densit´ e f _Y (x) = 1

π(1 + x ² ) , (x ∈ R ).

1) Calculer la fonction caract´ eristique de X. En utilisant la formule d’inversion pr´ ec´ edente, d´ eduire celle de Y .

2) Soit Y ₁ , Y ₂ deux variables al´ eatoires ind´ ependantes toutes deux de mˆ eme loi que Y . Quelle est la loi de ¹ ₂ (Y ₁ + Y ₂ ) (ne pas essayer d’utiliser la formule de convolution ! ! !) ?

3) Soit (Y _n ) une suite i.i.d. de loi de Cauchy et soit Y _n la moyenne empirique construite ` a partir de Y ₁ . . . Y _n :

Y _n = 1 n

n

X

j=1

Y _j .

Quelle est la loi de Y _n ? Ce r´ esultat contredit-il la loi forte des grands nombres ?

2