EILCO Probabilit´ es CP1
Ann´ ee 2020-2021 Fiche n◦5. Th´ eor` emes limites.
Exercice 1. D´ esignons par Z n une variable al´ eatoire suivant la loi binomiale B(n, p).
(1) Par la loi des grands nombres, que peut-on dire de Z n
n? (2) Justifier que Z n
n− p
× q np
p(1−p) converge en loi vers U , o` u U suit la loi normale centr´ ee r´ eduite.
(3) Par quelle loi peut-on approcher la loi de Z n ?
(4) On prend n = 100, p = 0.5. Donner une valeur approch´ ee de P (Z n < 51).
Exercice 2. On jette 1000 fois une pi` ece qui a une probabilit´ e p := 0.25 de tomber sur pile.
(1) Pr´ eciser quelle est la suite X
1, X
2, . . . consid´ er´ ee ainsi que la moyenne et la variance.
(2) Donner une valeur approch´ ee de la probabilit´ e pour que la proportion de piles obtenues soit comprise entre 0.22 et 0.28.
Exercice 3. Soit (X n ) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, suivant toutes la mˆ eme loi donn´ ee par la densit´ e f : R → R, d´ efinie pour tout x ∈ R, par :
f (x) =
( e
−(x−θ)si x ≥ θ
0 sinon,
o` u θ ∈ R est un certain param` etre.
(1) Justifier que f est une densit´ e de probabilit´ e.
(2) Eudier la convergence en loi de la suite de terme g´ en´ eral Y n = min{X
1, . . . , X n }.
Exercice 4. Soit (U n ) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi uniforme sur [0, 1].
On pose, pour tout n ∈ N
∗,
M n = max{X
1, . . . , X n } et X n = n(1 − M n ).
Etudier la convergence en loi de (X n ).
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