Universit´e Pierre et Marie Curie LM - 390
Ann´ee 2006-2007 Probabilit´es
Examen LM390, deuxi`eme session.
I X et Y sont deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Cauchy. La loi de Cauchy est la loi sur R de densit´e π(1+x1 2).
(a) SoitZ =XY, U =X. Calculer la densit´e du couple (Z, U).
(b) D´eduire la densit´e de la variable al´eatoire Z.
(c) D´eduire la densit´e de la variable al´eatoire ln|X|+ ln|Y|.
(d) D´eduire la valeur de l’int´egraleR∞
−∞
t et−e−tdt.
II SoitX1, . . . , Xn des variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Poisson de param`etre 1.
(a) SoitZn=Qn
i=1(1 +Xi). Etudier la convergence p.s. de lnnZn. (b) Soit Vn=Qn
k=1Xk. Etudier la convergence en probabilit´e de Vn. On pourra calculer P(Vn>0).
(c) Etudier la convergence p.s. de Vn. (d) Etudier la convergence dans L1 de Vn.
(e) Donner la fonction g´en´eratrice puis la loi deX1+· · ·+Xn.
(f) SoitYn une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etre n. Donner lim
n→∞P(Yn>2n).
(g) Etudier la convergence en loi de Y√nY−n
n .
III On r´ealise une suite d’essais ind´ependants o`u la probabilit´e de succ`es est `a chaque fois p∈]0,1[. SoitXp le nombre d’essais n´ecessaires pour obtenir un succ`es.
(a) Donner la fonction de repartition de la variable al´eatoire Xp.
(b) Etudier la convergence en loi de suite pXp quand p→ 0 (Suggestion : pensez `a utiliser les fonctions de r´epartition).
IVSoitW1une variable al´eatoire de loi uniforme sur [−1,1] (c’est-`a-dire de densit´e 12·1{x∈[−1,1]}).
Soit φ1/W1(t) la fonction caract´eristique de la variable al´eatoire 1/W1.
(a) Quelle formule parmi les deux suivantes donne la fonction caract´eristique de 1/W1?
φ1/W1(t) = Z 1
0
cos (t/x)dx ou bien φ1/W1(t) = Z 1
0
sin (t/x)dx
On d´emontrera la formule choisie.
(b) En d´eduire l’une des ´egalit´es suivantes
φ1/W1(t) =|t|
Z ∞
|t|
sin (y)y−2dy ou bien φ1/W1(t) =|t|
Z ∞
|t|
cos (y)y−2dy.
Donner le d´eveloppement limit´e d’ordre 1 de φ1/W1(t) quand t→0.
Rappel. R∞
0 y−2(cos (y)−1)dy=−π/2.
(c) SoientW1, . . . , Wndes variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [−1,1]. Donner la limite en loi de la suiteZn=n−1Pn
i=1(1/Wi).
V Soient σ1, σ2, ρ∈RetB la matrice
B =
σ21 ρ
ρ σ22
.
(a) Quelle condition faut-il imposer sur σ1, σ2, ρ pour qu’il existe un vecteur gaussien (X, Y) d’esp´erance (0,0) et de matrice de covarianceB?
(b) Quelle condition faut-il imposer surσ1, σ2, ρpour que le vecteur gaussien (X, Y) d’esp´erance (0,0) et de matrice de covarianceBposs`ede une densit´e surR2par rapport `a la mesure de Lebesgue ? Donner cette densit´e.
(c) On consid`ere le vecteur W~ = (U, V) = (X−Y,(X+Y)/2). Donner sa loi. Quelle condition faut-il imposer sur les param`etres σ1 et σ2 pour que ses composantes soient ind´ependantes pour toutρ∈]− ∞, σ21σ22[ ?
(d) Soitσ21 =σ22= 3, ρ= 1. Trouver une application lin´eaireA:R2 →R2, telle que le vecteur A ~W soit un vecteur gaussien dont l’esp´erance est (0,0) et la matrice de covariance est
G=
18 5
4 5 4 5
2 5
.
VI Enoncer le th´´ eor`eme central limite vectoriel.