Exercice 1. On d´ esigne par X, une variable al´ eatoire de densit´ e f

EILCO Probabilit´ es CP1

Ann´ ee 2020-2021 Fiche n

4. Variables al´ eatoires ` a densit´ e.

Exercice 1. On d´ esigne par X, une variable al´ eatoire de densit´ e f

d´ efinie par : f

(t) =

1 si 0 ≤ t ≤ 1 0 sinon.

(1) Tracer le graphe de f

.

(2) Calculer F

(x) pour tout x ∈ R puis tracer le graphe de la fonction de r´ epartition F

. (3) Calculer l’esp´ erance et la variance de X.

Exercice 2. D´ esignons par f la fonction d´ efinie par :

f (t) =







0 si t ∈] − ∞, −1[∪]1, ∞[

3

4 · (1 − t

) sinon.

(1) Montrer que f est une densit´ e de probabilit´ e.

(2) D´ esignons par X une variable al´ eatoire de densit´ e f . (a) D´ eterminer P (X ≤ x) pour tout x ∈ R.

(b) Calculer l’esp´ erance et la variance de X .

Exercice 3. Soit X une variable al´ eatoire de densit´ e f d´ efinie, pour tout x ∈ R, par :

f (x) =

( 0 si x < 0 xe

2

2

si x ≥ 0.

(1) V´ erifier que f est une densit´ e de probabilit´ e et tracer l’allure de son graphe.

(2) Calculer la fonction de r´ epartition de X et tracer l’allure de son graphe.

(3) Montrer que X admet une esp´ erance et une variance que l’on calculera.

(4) Montrer que Y = X

suit une loi exponentielle dont on pr´ ecisera le param` etre.

Exercice 4. La dur´ ee de vie T , exprim´ ee en ann´ ees, d’un circuit int´ egr´ e NE555 est distribu´ ee suivant une loi exponentielle E(λ), λ > 0. On consid` ere que la dur´ ee de vie moyenne de ces circuits est de 30 ans.

(1) D´ eterminer la valeur de λ.

(2) Calculer la probabilit´ e que ce circuit fonctionne encore au bout de 30 ans.

(3) Calculer la probabilit´ e que ce circuit fonctionne encore au bout de 25 ans sachant qu’il a d´ ej` a fonctionn´ e 10 ans.

Exercice 5. Soit F : R → R la fonction d´ efinie, pour tout x ∈ R, par F(x) = 1

1 + e

.

(1) (a) Justifier que F est la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire X ` a densit´ e.

(b) D´ eterminer la densit´ e de X.

(c) Etudier l’existence de l’esp´ erance et de la variance de X.

1

(d) Calculer l’esp´ erance de X .

(2) On consid` ere la variable al´ eatoire Y =

. (a) D´ eterminer la densit´ e de Y .

(b) La variable al´ eatoire Y admet-elle une esp´ erance ? Si oui, la calculer.

Exercice 6. On estime que la fiabilit´ e d’un appareil suit une loi de Weibull : R(t) := e

(

)

. Dans ce probl` eme t sera exprim´ e en milliers d’heures. Une ´ etude r´ ev` ele que :

— 90% des appareils fonctionnent encore ` a 5000 heures,

— 20% des appareils fonctionnent encore ` a 10000 heures.

(1) Les donn´ ees pr´ ec´ edentes sont traduites par les ´ egalit´ es : R(5) = 0.9 et R(10) = 0.2. Calculer β et η.

(2) D´ eterminer la m´ ediane et le premier quartile puis interpr´ eter ces r´ esultats.

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