DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Encore des suites
Exercice 1 : S´ eries absolument convergentes
On consid`ere deux suites r´eelles (an) et (bn), ainsi que les suites de termes g´en´eraux un = Pn
k=0ak et vn=Pn
k=0bk.
1On suppose dans cette question les suitesaet b`a termes positifs.
a Montrer que sia6bet v converge, alorsuconverge.
b Montrer que sian = O(bn) etv converge, alorsuconverge.
2On supposeb `a termes positifs. Montrer que sian= O(bn) etv converge, alorsuconverge.
3On dit que la s´erie Pan de terme g´en´eral (an) est convergente si u converge. On dit que cette s´erie est absolument convergente si la s´erie de terme g´en´eral |an| est convergente. On dit que cette s´erie est semi- convergente si elle est convergente mais non absolument convergente.
a Montrer que siP
an converge, alors (an) tend vers 0, mais que la r´eciproque est fausse.
b Donner, en le justifiant, un exemple de s´erie semi-convergente.
c Montrer que toute s´erie absolument convergente est convergente.
Exercice 2 : (tan(n))
Montrer que (tan(n)) est bien d´efinie et divergente de seconde esp`ece.
Remarque : on supposera l’irrationalit´e deπconnue.
Exercice 3 : Sur la densit´ e
1Montrer queD={2a5b,(a, b)∈Z2}est dense dansR+. 2
a Montrer que le sous-groupe Z+πZ de R est dense dans R (on admettra que π est irrationnel). En d´eduire que la suite (sin(n))n∈Ndiverge.
b Retrouver ce r´esultat par un raisonnement ´el´ementaire.
Exercice 4 : D´ eveloppements asymptotiques
1Soit (un)n∈N∗ la suite donn´ee paru1 et 1, et, pour toutn∈N∗ :un+1= ln(n+un).
Montrer que cette suite est d´efinie, tend vers +∞, et plus pr´ecis´ement, que :
un= ln(n) +ln(n) n + o
ln(n) n
.
2Montrer que pour toutn∈N∗, l’´equation x+ ln(x) =nd’inconnue x∈R∗+ poss`ede une unique solution que nous noteronsun.
Montrer que (un) tend vers +∞, et, plus pr´ecis´ement, que : un =n−ln(n) + o (ln(n)).
