Exercice 1. (L’Hospital et Ces` aro-Stoltz )

Universit´ e Lyon 1

Pr´ eparation ` a l’Agr´ egation de Math´ ematiques Pr´ eparation ` a l’´ ecrit d’Analyse et Probabilit´ es Ann´ ee 2013-2014

Semi-convergence

Exercice 1. (L’Hospital et Ces` aro-Stoltz )

a) (R` egle de l’Hospital) Soient f, g : [0, ∞[→ R d´ erivables et telles que : (i) g ⁰ > 0 ;

(ii) lim

x→∞ g(x) = ∞.

Montrer que, si la limite ` = lim

x→∞

f ⁰ (x)

g ⁰ (x) existe, alors la limite lim

x→∞

f (x)

g(x) existe et vaut aussi `.

b) (Th´ eor` eme de Ces` aro-Stoltz) Soient (a _n ) _n≥0 , (b _n ) _n≥0 deux suites r´ eelles telles que : (j) (b _n ) est strictement croissante ;

(jj) b _n → ∞.

Montrer que si la limite ` = lim

n→∞

a n+1 − a n

b _n+1 − b _n existe, alors la limite lim

n→∞

a n

b _n existe et vaut aussi `.

c) Citer un cas particulier d’application du th´ eor` eme de Ces` aro-Stoltz.

Exercice 2. (Convergence simple, uniforme et normale)

On consid` ere la s´ erie de fonctions dont le terme g´ en´ eral est u _n (x) = xe ^−nx / ln n, x ∈ I = [0, +∞[, n ≥ 2.

a) ´ Etudier la convergence simple de cette s´ erie sur I.

b) Montrer que la s´ erie n’est pas normalement convergente sur I.

c) Montrer que la s´ erie est uniform´ ement convergente sur I.

Exercice 3. (Abel ) Soient (a _n ) n≥0 , (b _n ) n≥0 deux suites de nombres complexes, et A _n =

n

X

k=0

a _k .

a) Pour n > N , exprimer

n

X

k=N

a _k b _k en fonction des suites (A _n ) et (b _n ).

b) (Th´ eor` eme d’Abel) En d´ eduire que, si (i) b _n → 0,

(ii) X

n≥0

|b _n+1 − b _n | < ∞, (iii) (A _n ) est born´ ee, alors X

n≥0

a n b n converge.

c) Cas particuliers ?

d) G´ en´ eraliser ce qui pr´ ec` ede ` a des suites (a _n ), (b _n ) ` a valeurs dans des espaces/alg` ebres de Banach.

e) (Th´ eor` eme d’Abel) Soient f, g : [a, ∞[→ C telles que : (i) lim

t→∞ g(t) = 0 ,

1

(ii) g ∈ C ¹ et Z ∞

a

|g ⁰ (t)|dt < ∞ ,

(iii) f est continue et admet une primitive born´ ee F . Alors

Z ∞

a

f (t)g(t)dt converge.

f) Cas particulier ?

Exercice 4. (S´ erie vs int´ egrale)

a) Soit f ∈ C ¹ ([a, ∞[), avec a ∈ Z . Montrer que pour tout N ∈ Z , N > a,

N

X

n=a+1

f (n) = Z N

a

f(t)dt + Z N

a

{t}f ⁰ (t)dt , o` u {t} = t − [t] = t − E(t) repr´ esente la partie fractionnaire de t.

b) Si Z ∞

a

|f ⁰ (t)|dt < ∞, montrer que

∞

X

a

f (n) et Z ∞

a

f(t)dt sont de mˆ eme nature.

c) Cas particulier ?

Exercice 5. (Commutativement=absolument, en dimension finie) a) Soit P

a _n une s´ erie absolument (c’est-` a-dire normalement) convergente dans un espace de Banach. Montrer que la s´ erie est commutativement convergente et que la somme S _σ de P

a _σ(n) ne d´ epend pas de la permutation σ ∈ S _N . b) (Th´ eor` eme de Riemann) Soit P

a _n une s´ erie r´ eelle semi convergente (c’est-` a dire la s´ erie est convergente, sans ˆ etre absolument convergente). Montrer que les s´ eries X

n≥0

(a _n ) ⁺ et X

n≥0

(a _n ) ⁻ divergent, o` u x ⁺ = max(x, 0) et x ⁻ = max(−x, 0).

En d´ eduire qu’il existe σ ∈ S _N telle que X

n≥0

a _σ(n) = +∞.

Plus g´ en´ eralement, si ` ∈ R , montrer qu’il existe σ ∈ S _N telle que X

n≥0

a _σ(n) = `. De mˆ eme, il existe σ ∈ S _N telle que X

n≤N

a _σ(n) n’ait pas de limite lorsque N → +∞.

c) Montrer que dans tout espace vectoriel de dimension finie, une s´ erie est commutativement convergente si et seulement si elle est absolument convergente.

d) En consid´ erant, dans ` <sup>2</sup> ou ` ^∞ , la s´ erie de terme g´ en´ eral a _n = 1

n + 1 (δ _in ) _{i∈ N} , montrer que le r´ esultat n’est plus vrai en dimension infinie.

R´ evisions associ´ ees ` a cette feuille :

Limites de suites et de fonctions. Crit` ere de Cauchy.

Th´ eor` eme des accroissements finis (g´ en´ eralis´ e) pour les fonctions R → R .

Int´ egration par parties

(discr` ete et continue).

Convergence uniforme des suites de fonctions. Lemme de Dini.

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Convergence, convergence absolue des s´ eries num´ eriques. Convergence simple, uniforme, nor- male des s´ eries de fonctions.

S´ eries g´ eom´ etriques. S´ eries de Bertrand.

Int´ egrales semi-convergentes. Comparaison s´ eries-int´ egrales.

Ouvrage recommand´ e :

Dieudonn´ e, J. Calcul infinit´ esimal. 2e ´ edition revue et augment´ ee. Collection : M´ ethodes Her- mann, Paris, 1980. 479 pp. ISBN : 2-7056-5907-2

Lecture suppl´ ementaire. (Th´ eor` eme de Steinitz) Soit E un espace norm´ e de dimension finie.

Soit P

a _n une s´ erie semi-convergente. On consid` ere l’ensemble S =

(

x ∈ E ; ∃ σ ∈ S _N telle que X

n≥0

a _σ(n) = x )

.

Alors S est convexe. (Notons que, si E = R , alors S = R , d’apr` es le deuxi` eme th´ eor` eme de Riemann de l’exercice 5.)

Pour la preuve de ce r´ esultat, voir par exemple les sections 5 et 6 du premier chapitre du livre

Gonnord, S., Tosel, N. Th` emes d’Analyse pour l’Agr´ egation. Topologie et Analyse fonctionnelle.

Ellipses. Collection : Math/Agr´ eg, Paris, 1996. 160 pp. ISBN : 2-7298-9694-5

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