Comme la s´erie P n≥1 1 n2 converge, le th´eor`eme de comparaison des s´eries `a termes positifs permet alors d’affirmer que la s´erie P n≥1un converge aussi

Corrig´e de l’examen du 14 juin 2018

Exercice 1. Pour tout n ≥ 1, posons un = xn−xn−1. Compte tenu de l’hypoth`ese sur xn, on a 0 ≤ un ≤ _n¹2. Comme la s´erie P

n≥1 1

n² converge, le th´eor`eme de comparaison des s´eries `a termes positifs permet alors d’affirmer que la s´erie P

n≥1un converge aussi. Par d´efinition de la convergence d’une s´erie, cela ´equivaut `a dire que la suite des sommes partiellesUn =u1+u2+· · ·+un

a une limiteU dansR. Or, par t´elescopage des termes, on aUn=xn−x0, c’est-`a-direxn=x0+Un. Il en r´esulte que la suite (xn)n≥0 converge (versx0+U).

Exercice 2. Rappelons que αest suppos´e strictement positif dans tout l’exercice.

a. Le d´eveloppement limit´e de la fonction sin `a l’ordre 3 en 0 s’´ecrit sinx = x− ^x₆³ +x³ε(x) avec limx→0ε(x) = 0. Comme on a suppos´e α > 0, on a limn→∞ 1

n^α = 0 et on peut donc ´ecrire un = ¹_6n¹3α − _n¹3αε(_n¹α) = ¹₆−ε(_n¹α) ₁

n^3α ∼ ¹_6n¹3α. La s´erie de terme g´en´eral ¹_6n¹3α est, `a une constante multiplicative non nulle pr`es, une s´erie de Riemann qui converge si et seulement si on a 3α > 1, c’est-`a-dire α > <sup>1</sup><sub>3</sub>. Deux s´eries `a termes positifs ´equivalents ´etant de mˆeme nature, il s’ensuit finalement quela s´erie P

n≥1un converge si et seulement si on a α > ¹₃. b. Ecrivons´ un=vn+wn avecvn= ^sin(n_n2^α) etwn = _n2/α¹ .

Pour tout n ≥ 1, on a |vn| ≤ _n¹2 et on sait que la s´erie de terme g´en´eral _n¹2 converge. Par comparaison de s´eries `a termes positifs, la s´erie de terme g´en´eral|vn|converge aussi. Ainsi, la s´erie P

n≥1vn est absolument convergente, donc convergente, et ceci quelle que soit la valeur du r´eel α >0.

La s´erie P

n≥1wn est, quant `a elle, une s´erie de Riemann. Elle converge si et seulement si on a 2/α >1, c’est-`a-dire 0< α <2.

On peut alors conclure : pourα≥2, la s´erie de terme g´en´eralundiverge en tant que somme d’une s´erie convergente et d’une s´erie divergente, et pour 0< α <2 elle converge comme somme de deux s´eries convergentes. Ainsi,la s´erie P

n≥1un converge si et seulement si on a 0< α <2.

c. Pour 0 < α < 1, on a limn→∞(1 +α²ⁿ) = 1, d’o`u un ∼ α<sup>n</sup>. Pour ces valeurs de α, la s´erie g´eom´etrique de raison α converge, ainsi que la s´erie de terme g´en´eral un puisque deux s´eries `a termes positifs ´equivalents sont de mˆeme nature.

Pour α > 1, on a limn→∞α²ⁿ = +∞, d’o`u 1 +α²ⁿ ∼ α²ⁿ et un ∼ _α^α2nⁿ = _α¹n

. La s´erie g´eom´etrique de raison _α¹ converge puisqu’on a |_α¹| < 1. On conclut comme pr´ec´edemment `a la convergence de P

n≥0un.

Pourα= 1, on a un = ¹₂ pour toutn et la s´erie diverge grossi`erement.

Finalement, la s´erie P

n≥0un converge si et seulement si on a α6= 1.

d. On a un = (−1)ⁿf(_n¹α) avec f(x) = x−sinx. La fonction f est d´erivable sur R, avec f⁰(x) = 1−cosx. On a donc f⁰(x) ≥ 0 pour tout x, et par cons´equent f est croissante sur R.

Commeαest suppos´e strictement positif, _n¹α d´ecroˆıt vers 0 quandn→ ∞, on en d´eduit quef(_n¹α) d´ecroˆıt versf(0) = 0. Le th´eor`eme de convergence des s´eries altern´ees permet alors d’affirmer que la s´erieP

n≥1un converge pour tout α >0.

Remarque : les questions a et d reprennent un exercice du DS de janvier 2018. Tout candidat ayant ´etudi´e s´erieusement le corrig´e de ce DS devrait donc ˆetre capable de les traiter parfaitement.

Exercice 3.

1. C’est un exemple fondamental vu en cours : l’int´egrale consid´er´ee converge si et seulement si on a α > 1, et elle vaut alors _α−1¹ . Rappelons la d´emonstration : soit x ∈ [1,+∞[ et soit I(x) = Rx

1 dt

t^α = Rx

1 t^−αdt. Lorsque α = 1, on a I(x) = lnx, d’o`u limx→+∞I(x) = +∞ et

l’int´egrale R+∞

1 dt

t diverge. Lorsque α6= 1, on a I(x) =h

t^−α+1

−α+1

ix

1 = _α−1¹ (1−x^1−α). Si α <1, on a limx→+∞x^1−α = +∞, d’o`u limx→∞I(x) = +∞ et l’int´egrale R+∞

1 dt

t^α est donc divergente. Si α > 1, on a lim_x→+∞x^1−α = 0, d’o`u lim_x→∞I(x) = _α−1¹ ; ainsi l’int´egrale R+∞

1 dt

t^α converge et vaut _α−1¹ .

2. La fonctiont7→ _tx(t+1)¹ est continue sur [1,+∞[, donc localement int´egrable sur cet intervalle.

De plus, lorsque t→+∞, on a _tx(t+1)¹ ∼ _tx+1¹ . D’apr`es le th´eor`eme de comparaison des int´egrales g´en´eralis´ees de fonctions positives ´equivalentes, les int´egrales R+∞

1

dt

t^x(t+1) et R+∞

1 dt

t^x+1 sont de mˆeme nature. D’apr`es la question 1, il y a donc convergence si et seulement si on a x+ 1 > 1, c’est-`a-direx >0.

3. Par d´efinition de la valeur d’une int´egrale g´en´eralis´ee, on aF(x) = lim_T→+∞RT 1

dt

t^x(t+1). Comme on l’a expliqu´e en cours, les calculs se font sur l’int´egraleRT

1 dt

t^x(t+1) avecT ≥1 (qui n’estpas´egale

`

a F(x), contrairement `a ce que l’on peut lire dans certaines copies), et on passe ensuite `a la limite pour obtenir la valeur de F(x).

Pour x = 1, on va utiliser la relation _t(t+1)¹ = ¹_t − _t+1¹ . On a RT 1

dt

t(t+1) = RT 1

dt t −RT

1 dt t+1 = lnT −(ln(T + 1)− ln 2) = ln

T T+1

+ ln 2. On en tire alors F(1) = limT→+∞

RT 1

dt t(t+1) = limT→+∞ln

T T+1

+ ln 2 = ln 1 + ln 2 = ln 2.

Remarque : les int´egrales I1 = R+∞

1 dt

t et I2 = R+∞

1 dt

t+1 sont divergentes. La diff´erence I1−I2

n’a donc ici aucun sens ; c’est pourquoi il est imp´eratif de faire les calculs sur l’intervalle [1, T] avant de passer `a la limite. Il est par ailleurs inqui´etant de voir qu’en L2, un certain nombre de candidats pensent encore que l’int´egrale d’un produit est le produit des int´egrales.

Pour x = 1/2, on est amen´e `a calculer RT 1

√ dt

t(t+1). Le changement de variable t = s², dt = 2sds, donne RT

1

√ dt

t(t+1) = R

√ T 1

2sds

s(s²+1) = 2R

√ T 1

ds

s²+1 = 2 [arctans]

√ T

1 = 2(arctan√

T − ^π₄) = 2 arctan√

T −^π₂. On en tire alors F(1/2) = limT→+∞2 arctan√

T− ^π₂ = 2×^π₂ −^π₂ = ^π₂.

4. Soient I = [1,+∞[ et X =]1,+∞[. On consid`ere la fonction f : I ×X → R d´efinie par f(t, x) = _tx(t+1)¹ , de sorte queF(x) =R+∞

1 f(t, x)dt pour tout x∈X.

(i) La fonctionf est continue surI×X d’apr`es les r`egles usuelles sur la composition d’applications continues.

(ii) Pour toutt≥1 et toutx >1, on at^x ≥tett+ 1≥t. Il en r´esulte que pour tout (t, x)∈I×X, on a |f(t, x)| ≤ϕ(t) avec ϕ(t) = _t¹2. De plus, l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞

1 ϕ(t)dt est convergente d’apr`es1.

D’apr`es le th´eor`eme de continuit´e pour les fonctions d´efinies par une int´egrale g´en´eralis´ee, les points (i) et (ii) permettent de conclure `a la continuit´e de F sur X.

5. On a F(x) +F(x + 1) = R+∞

1

dt

t^x(t+1) +R+∞

1

dt

t^x+1(t+1) = R+∞

1

1

t^x(t+1) +_tx+1¹(t+1)

dt = R+∞

1

1

t^x(t+1) 1 + ¹_t

dt=R+∞

1 1 t^x(t+1)

t+1

t dt=R+∞

1 dt

t^x+1dt = _(x+1)−1¹ = ¹_x en appliquant le r´esultat rappel´e en1 avecα=x+ 1.

6. Pour toutx >0, on a doncF(x) = ¹_x−F(x+ 1). Sur ]0,+∞[, la fonctionx7→x+ 1 est continue et prend ses valeurs dans ]1,+∞[. On sait, d’apr`es4, que la fonction F est continue sur ]1,+∞[.

Par composition de fonctions continues, on en tire que la fonction x7→ F(x+ 1) est continue sur

]0,+∞[. Comme la fonction x 7→ _x¹ est aussi continue sur ]0,+∞[, il en r´esulte que la fonction x7→ _x¹−F(x+ 1), c’est-`a-dire la fonctionF, est continue sur ]0,+∞[.

7. En multipliant la relationF(x) = ¹_x−F(x+ 1) parx, on trouvexF(x) = 1−xF(x+ 1). D’apr`es 6, la fonction F est continue en 1 et on a donc limx→0F(x+ 1) = F(1). Il s’ensuit que l’on a limx→0xF(x) = 1−0×F(1) = 1. Ceci ´equivaut `a direF(x)∼ _x¹ quand x→0.

8. SoitT ≥1. On calculeRT 1

dt

t^x(t+1) avec une int´egration par parties sur [1, T] en posantu(t) = _t+1¹ et v⁰(t) = t^−x, puis u⁰(t) = −_(t+1)¹ 2 etv(t) = ^t_−x+1^−x+1 = −_x−1¹ _tx−1¹ (ce calcul de v(t) ´etant l´egitime puisqu’on a x 6= 1). On a alors RT

1 dt

t^x(t+1) = RT

1 u(t)v⁰(t)dt = [u(t)v(t)]^T₁ −RT

1 u⁰(t)v(t)dt =

−_x−1¹ h

1 t^x−1(t+1)

iT

1 − _x−1¹ RT 1

dt

t^x−1(t+1)², c’est-`a-dire

(∗)

Z T

1

dt

t^x(t+ 1) = 1 x−1

1

2 − 1

T^x−1(T + 1)

− 1 x−1

Z T

1

dt t^x−1(t+ 1)².

Lorsque T → +∞, on a _Tx−1¹(T+1) ∼ _T¹x ce qui entraˆıne limT→+∞ 1

T^x−1(T+1) = 0. En faisant tendreT vers +∞ dans l’´egalit´e (∗), on en d´eduit l’existence deϕ(x) = limT→+∞

RT 1

dt t^x−1(t+1)² et la relation F(x) = _2(x−1)¹ −_x−1¹ ϕ(x).

9. Pour tout t ≥1, on a 0 ≤ _(t+1)¹ 2 ≤ _t¹2 et donc 0 ≤ _tx−1(t+1)^{1 2} ≤ _tx+1¹ . On en tire 0 ≤ϕ(x) ≤ R+∞

1 dt

t^x+1, cette derni`ere int´egrale ´etant convergente et ´egale `a _x¹ en appliquant les r´esultats de 1 avecα=x+ 1.

10. D’apr`es8, on axF(x) = _2(x−1)^x −_x−1^x ϕ(x). Or, l’encadrement9 implique limx→+∞ϕ(x) = 0.

En passant `a la limite dans l’´egalit´e pr´ec´edente, on obtient alors limx→+∞xF(x) = <sup>1</sup><sub>2</sub>−1×0 = <sup>1</sup><sub>2</sub>. Ceci ´equivaut `a dire que l’on aF(x)∼ _2x¹ quand x→ +∞.