Or, on sait que la série P n≥1√1 n est divergente (série de Riemann P n≥1 1 nα avec α et que deux séries à termes positifs équivalents sont de même nature

(1)

Corrig´e du DS Exercice 1.

a. Pour tout n ≥ 1, on a |un| ≤ _n3/2¹ puisque |sin(√

n)| ≤ 1. La s´erie P

n≥1 1

n^3/2 ´etant convergente (s´erie de Riemann P

n≥1 1

n^α avec α = 3/2 > 1), le théorème de comparaison des séries à termes positifs permet d’affirmer que la série P

n≥1|un| converge aussi. Ainsi, la s´erie P

n≥1un

est absolument convergente, donc convergente.

b. On a un = ln

n+1+√ n n+1

= ln 1 +

√n n+1

. On a limn→∞

√n

n+1 = 0, et on sait que ln(1 +x)∼x quand x → 0. On en d´eduit un ∼

√n

n+1 ∼ ^√¹_n. Or, on sait que la s´erie P

n≥1√1

n est divergente (s´erie de Riemann P

n≥1 1

n^α avec α = 1/2 ≤ 1) et que deux séries à termes positifs équivalents sont de même nature. Par conséquent, la série de terme généralun diverge.

c. La série étudiée est à termes positifs et pour tout n ≥ 1, on a √ⁿ

un = ³

1+√1 n

4 . On a donc lim_n→∞ √ⁿ

un= ³₄ <1. Le test de Cauchy permet ainsi de conclure `a la convergence de la s´erie.

d. Pour toutn, on aun>0 et ^u_uⁿ⁺¹

n = 2·4·6···(2n)(2n+2)

(n+1)ⁿ⁺¹ ·2·4·6···(2n)ⁿⁿ = ²ⁿ⁺²_n+1(_n+1ⁿ )ⁿ = 2(_n+1ⁿ )ⁿ. On a (_n+1ⁿ )ⁿ= ⁿ⁺¹_n −n

= (1 + _n¹)ⁿ−1

, d’o`u limn→∞(_n+1ⁿ )ⁿ =e⁻¹. Finalement, on a limn→∞ un+1

un =

2

e <1 et le test de d’Alembert permet de conclure `a la convergence de la s´erie.

e. Pour tout n, on a −1 ≤ cosn ≤ 1 et donc 1 ≤ 2−cosn ≤ 3. On en tire |un| ≥ ¹₃ ; par conséquent la suite (un)n≥0ne converge pas vers 0. La série est donc grossièrement divergente.

f. On a un = vn+wn avec un = sin _n¹

et vn = ⁽⁻¹⁾

n

lnn . Comme limn→∞ 1

n = 0 et sinx ∼ x quand x →0, on a vn ∼ _n¹. La s´erie harmonique P

n≥1 1

n diverge et deux s´eries `a termes positifs

´

equivalents sont de mˆeme nature ; par cons´equent P

n≥1vn diverge. La série de terme général wn est alternée et la suite (|wn|)n≥1 converge vers 0 en décroissant ; par conséquent P

n≥1wn

converge. La s´erie P

n≥1un est donc divergente comme somme d’une s´erie convergente et d’une s´erie divergente.

Exercice 2.

a. On a limn→∞n^1/2un = 1 donc la série diverge d’après le test de Riemann appliqué avec α= 1/2<1 et L= 1>0 (on peut aussi raisonner par équivalents puisque un ∼ ^√¹_n).

b. En multipliant et divisant par l’expression conjugu´ee, on a

2 √

n+ 1−√ n

= 2

√n+ 1−√ n √

n+ 1 +√ n

√n+ 1 +√

n = 2(√

n+ 1)²−(√ n)²

√n+ 1 +√

n = 2

√n+ 1 +√ n. Or, on a 2√

n ≤ √

n+ 1 +√

n ≤ 2√

n+ 1 et donc ^√_n+1¹ ≤ ^√_n+1+² ^√_n ≤ ^√¹_n, ce qui donne l’encadrement souhait´e.

Remarque : une autre preuve possible consiste à appliquer le théorème des accroissement finis

`

a la fonction t 7→ 2√

t sur l’intervalle [n, n+ 1] en remarquant que pour c ∈]n, n+ 1[, on a

√1

n+1 ≤ ^√¹_c ≤ ^√¹_n. On peut aussi encadrer l’in´egrale Rn+1 n

√dt

t, ce qui revient au mˆeme...

c. On a bn+1 −bn = Vn+1 −Vn −2(√

n+ 1−√

n) = vn+1 −2(√

n+ 1−√

n). En utilisant l’encadrementb, on en tirebn+1−bn ≤0. De mˆeme, on auraan+1−an =Vn−Vn−1−2(√

n+ 1−

√n) =vn−2(√

n+ 1−√

n) ≥0 ; ainsi (an)n≥1 est croissante et (bn)n≥1 est d´ecroissante. Enfin

(2)

bn −an = 2(√

n+ 1−√

n) et l’encadrement b implique aussi limn→∞(bn−an) = 0. Les deux suites sont donc adjacentes. Par cons´equent, elles convergent dansR vers une limite communeα.

d. On a wn = ^√¹_n − ^√_n+¹√1 n

=

√n+√¹ n−√¹

√ n

n √

n+^√¹_n = ^√_n(n+1)¹ ∼ _n3/2¹ . La s´erie de Riemann P

n≥1 1 n^3/2

converge et deux séries à termes positifs équivalents sont de même nature ; par conséquentP

n≥1wn

converge.

e. On remarque queWn=Pn

k=1(vk−uk) =Pn

k=1vk−Pn

k=1uk =Vn−Un. On a donc

(∗) 2√

n+bn−Wn= 2√

n+ (Vn−2√

n)−(Vn−Un) =Un, comme indiqu´e.

La convergence de la série de terme généralwnétablie audsignifie que la suite (Wn)n≥1 converge dans R. Nous avons vu au c que la suite (bn)_n≥0 converge aussi. Par conséquent la suite (bn − Wn)n≥1 converge. Soit λ sa limite ; on peut écrire bn −Wn = λ+εn avec limn→∞εn = 0. Le développement asymptotique cherché résulte alors immédiatement de (∗).

Exercice 3.

a. La convergence de P

n≥1un implique que l’on ait limn→∞un = 0. Comme e^x−1∼ x quand x→0, on a vn ∼un. Or on a suppos´e queP

n≥1un est convergente et à termes positifs. D’après le théorème de comparaison par équivalents, on en déduit que P

n≥1vn converge.

b. Soitun = ⁽⁻¹⁾

n

√n . La série de terme généralun est alternée, avec|un|= ^√¹_n, de sorte que la suite (|un|) converge vers 0 en décroissant. Ainsi, P

n≥1un converge. De plus, on a e^x = 1 +x+ ^x₂² + x²ε(x) avec lim_x→0ε(x) = 0. On trouve doncvn =un+wn avecwn= ₂¹u²_n+u²_nε(un)∼ ¹₂u²_n, c’est-

`

a-direwn ∼ _2n¹ . La s´erieP

n≥1 1

2n étant divergente et deux séries à termes positifs équivalents étant de même nature, il s’ensuit queP

n≥1wn est divergentes. Finalement la série de terme généralvn

est divergente comme somme d’une s´erie convergente et d’une s´erie divergente.