´Etablir si la s´erie P (−1)n est convergente et si c’est le cas calculer la somme P∞ n=1(−1)n

Cursus pharmacie-ing´enieurs

Examen du 22 mai 2012 – Dur´ee : 2 heures Documents autoris´es : notes manuscrites, polycopi´e.

Equipements ´´ electroniques interdits

Exercice 1

1. ´Etablir si la s´erie P

(−1)ⁿ est convergente et si c’est le cas calculer la somme P∞

n=1(−1)ⁿ.

2. ´Etablir si la s´erie P

(_n¹ − _n+2¹ ) est convergente et si c’est le cas calculer la somme P∞

n=1(_n¹ −_n+2¹ ).

Exercice 2 D´emontrer que la s´erie P(−1)ⁿ⁻¹

nⁿ converge. On note S = P∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹ nⁿ . D´emontrer que

77

108 ≤S ≤ 85 108.

(Indication : consid´erer la d´ecomposition “somme partielle+reste” S =S₂+R₂).

Exercice 3 Soit a >0.

1. Calculer limn→∞aⁿ.

2. Calculer le rayon de convergence Ra de la s´erie enti`ere suivante : X n

1 +aⁿxⁿ. 3. En d´eduire le rayon de convergence de la s´erie enti`ere

X n

1 +aⁿx²ⁿ.

Exercice 4 D´emontrer que seulement l’une des deux ´equations suivantes poss`ede comme solution une fonction f(x) = P∞

n=0a_nxⁿ d´eveloppable en s´erie enti`ere. Pr´eciser laquelle et ´ecrire la solution obtenue.

i) ∀x∈R: xf⁰(x)−f(x) = cos(x), ii) ∀x∈R: xf⁰(x)−f(x) = sin(x).

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