M1 MIDO, Université Paris-Dauphine 23 Mars 2015 Examen partiel d'analyse convexe approfondie
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la notation. L'exercice et chacune des deux parties du problèmes peuvent être traités séparément.
Exercice
1. SoitP :Rn×R+→Rnla fonction dénie par P(x, t) =x/t. a. Soit(x0, t0),(x1, t1)∈Rn×R+ etθ∈[0,1]. Montrer que
(1−θ)x0+θx1
(1−θ)t0+θt1
= (1−θ)ˆ x0
t0
+ ˆθx1
t1
, où θˆ= θt1
(1−θ)t0+θt1
.
Montrer que l'applicationθ7→θˆest une bijection monotone de [0,1]dans lui-même.
b. En déduire que si C⊆Rn est convexe, P−1(C)est aussi convexe.
2. Soit f :Rn → Rune fonction convexe, et g:Rn×R+ →R dénie par g(x, t) =tf(x/t). Montrer queg est convexe.
(Indication : montrer queepi(g) =P−1(epi(f)) oùP : (x, t, s) = (x/t, s/t)) 3. En déduire la convexité des fonctions :
(énergie cinétique)E : (x, t)∈Rn×R+ 7→ kxk2/t.
(entropie relative) F : (x, t)∈R2+7→tlog(t/x)
(divergence de Kullback-Leibler) G: (u, v)∈Rn+×Rn+7→Pn
i=1(uilog(ui/vi)−ui+vi)
Problème
L'espace Rn est muni du produit scalaire canonique hx|yi = Pn
i=1xiyi et de la norme eu- clidienne kvk = p
hv|vi. L'objet du problème est d'étudier en détail la diérentiabilité de la fonction distance à un sous-ensemble compactK de Rn, dénie par
dK :Rn→R (1)
x7→min
p∈Kkx−pk
On admettra que dK est1-Lipschitz. L'ensemble des projections dexsur K est déni par : ΠK(x) ={p∈K; kx−pk= dK(x)} ⊆K. (2) Partie 1 Soit K un compact convexe de Rn.
1. Montrer que si N est une norme strictement convexe1, alors pour x∈Rn, l'ensemble ΠNK(x) =
p∈K; N(x−p) = min
q∈KN(x−q)
est un singleton. En déduire que ΠK(x) est un singleton, que l'on notera pK(x).
1. On utilisera la dénition∀x6=y∈E, N(x) =N(y) =r=⇒N(x+y2 )< r.
1
2. Soit(xi) une suite de points deRnqui converge vers x∈Rn, etpi=pK(xi).
a. Soitq la limite d'une sous-suite convergente de (pi) : montrer queq ∈ΠK(x).
b. En déduire quelimi→∞pi =pK(x), puis que pK :Rn→K est continue enx.
3. Soit∆(h) = d2K(x+h)−d2K(x). Montrer l'inégalité
∆(h)≤ khk2+ 2hx−pK(x)|hi (3) En déduire (par symétrie) que khk2+ 2hx−pK(x+h)|hi ≤∆(h) puis que
|∆(h)−2hx−pK(x)|hi| ≤2kpK(x)−pK(x+h)k khk+khk2
4. Déduire de 2. et 3. que d2K est diérentiable enx, et que∇d2K(x) = 2(x−pK(x)). Partie 2. Le compactK ⊆Rn n'est plus supposé convexe.
1. Donner un exemple deK ⊆R non convexe etx∈Rtel que card ΠK(x)≥2.
2. On pose φ: x 7→ kxk2−dK(x)2. Montrer que φ(x) = maxp∈K2hx|pi − kpk2 avec égalité pourp∈ΠK(x), en déduire que la fonction φest convexe.
Le but des questions 3 à 6 est de calculer la dérivée directionnelle de φ: φ+(x;v) = lim
t→0+
1
t(φ(x+tv)−φ(x)) = inf
t→0+
1
t(φ(x+tv)−φ(x))
3. Montrer que pour x, v∈Retp∈ΠK(x),φ(x+tv)−φ(x)≥2thv|pi, puis que φ+(x;v)≥ max
p∈ΠK(x)2hv|pi (4)
4. Soitx, y∈Rnetq ∈ΠK(y). Montrer queφ(x)≥2hq|xi−kqk2. En déduire que siy =x+tv avect >0 etv∈Rn, etq∈ΠK(y) alors
φ+(x;v)≤ φ(x+tv)−φ(x)
t ≤2hq|vi (5)
5. Soit yi = x+tiv où limi→∞ti = 0 et qi ∈ ΠK(yi). Montrer que quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que (qi) converge vers un pointp∈Rn, puis quep∈ΠK(x). 6. Déduire de 3., 4. et 5. l'expression suivante :
φ+(x;v) = max
p∈ΠK(x)
2hv|pi (6)
7. En utilisant (6), montrer queφ+(x;v)est linéaire si et seulement siΠK(x)est un singleton.
8. Montrer l'équivalence des propositions suivantes, pour x∈Rn : (i) d2K est (Fréchet-)diérentiable enx;
(ii) φest Gâteaux-diérentiable en x; (iii) ΠK(x)est un singleton.
En déduire qued2K est Fréchet-diérentiable presque partout, donner l'expression de∇d2K.
2
