Universit´e Paris Dauphine, M1, Ann´ee 2016-2017 G. Vigeral
Analyse convexe
Feuille d’exercices 8 : optimisation et cˆones.
((E,k.k) est un evn dans chaque exercice. Si E est un ensemble de Hilbert, on identifieE `a son dual. Sauf pr´ecision f est une fonction de E dansR∪ {+∞}.
1. Cˆone normal
Soit K un convexe ferm´e d’un espace de Hilbert E. Pour tout x∈K on d´efinit le cˆone normal en x `aK par
NK(x) ={z∈E,hz, y|≤i hz, x| i ∀y∈K}.
1. Montrer queNK(x) est un cˆone convexe.
2. Montrer queNK(x) =∂iK(x).
3. Montrer queNK(x) ={z, πK(x+z) =x}, o`u πK est la projection sur K.
2. SoitK un convexe ferm´e d’un espace de HilbertEetf une fonction convexe continue surK.
Montrer quef admet un minimum en x surK ssi il existew∈∂iK(x) tel que πK(x−w) =x.
3. Soit K un convexe ferm´e d’un espace de Hilbert E. On cherche `a montrer que si x ∈ K et w∈∂iK(x) avec w6= 0, alors kwkw ∈∂dK(x). C’est `a dire que, pour touty∈E,
dK(y)≥dK(x) + w
kwk
y−x
1. On poseH ={y∈E, hw|yi ≤ hw|xi}. Montrer l’in´egalit´e pour tout y∈H.
2. On supposey /∈H, soit zla projection de ysurH. Montrer quey−z= D w
kwk
y−x
E w kwk. 3. Montrer queK ⊂H. En d´eduire quedK(y)≥dH(y) et conclure.
4. Application : soit f une fonction convexe continue sur K et x un minimum global de f surK. Montrer qu’il existew tel que 0∈∂(f+kwkdK)(x). En d´eduire qu’il existe un r´e´el λ≥0 tel que x est un minimum global sur E du probl`eme p´enalis´e
minE f(x) +λdK(x).
4. Soit E un espace de Hilbert et f une fonction α fortement convexe sur E. On rappelle que cela veut dire que pour toutx, la fonctiong(y) =f(y)−α/2ky−xk2 est convexe.
1. Soit x∈E etv ∈∂f(x). Montrer que 0∈∂(f− hv|·i)(x) . 1
2. En d´eduire que 0∈∂(f − hv|·i −α/2k · −xk2)(x).
3. En d´eduire que pour touty,f(y)≥f(x) +hv|y−xi+α/2ky−xk2. 4. Montrer que si v∈∂f(x) et v0∈∂f(x0) alorsαkx−x0k ≤ kv−v0k.
5. On suppose f convexe sci. Montrer que si x ∈ ∂f∗(v) et v0 ∈ ∂f∗(x0) alors αkx−x0k ≤ kv−v0k.
6. On suppose de plus f∗ diff´erentiable. Qu’en d´eduit on sur la fonction qui a v associe
∇f∗(v) ?
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