1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, K ⊂ E un compact convexe.

TD DU 08/11/2010 ET DU 15/11/2010

1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, K ⊂ E un compact convexe.

Soit A un ensemble fini d’endomorphismes qui stabilisent K et qui commutent entre-eux. Pour a ∈ A on pose

a _n = 1

n [Id _E +a + · · · + a ⁿ⁻¹ ].

Montrer que \

n∈ N

a∈A

a _n (K) 6= ∅.

2. Soit E l’ensemble des suites complexes qui convergent vers 0 muni de k.k ∞ , Φ l’application lin´ eaire u ∈ E 7→

+∞

P

n=0

u _n

2 ⁿ . On pose H = Ker Φ.

(1) Montrer que Φ est continue et calculer sa norme induite.

(2) Soit u n = 1

n + 1 , calculer Φ((u n )). Trouver la distance de u ` a H.

(3) Construire une suite (y ^p ) dans H tel que ku − y ^p k ₆ d(u, H )(1 + 2 ^−p ).

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Solution 1 On remarque que (Id E −a) ◦ a n = 1

n (Id E −a ⁿ⁺¹ ) donc, si on pose x n = a n (x) pour x ∈ K alors (x _n ) est born´ ee.

• K convexe ⇒ x _n ∈ K ,

• K compact ⇒ x _n born´ ee.

par cons´ equent (Id _E −a) ◦ a _n (x) → 0) et on sait que l’on peut extraire de la suite (x _n ) un suite x _ϕ(n) qui converge dans K vers x ⁰ . Alors (Id _E −a)(x _ϕ(n) ) → (Id _E −a)(x ⁰ ) = 0 donc a(x ⁰ ) = x ⁰ . Il est alors facile de v´ erifier que a _n (x ⁰ ) = x ⁰ donc K _a = {x ∈ K | a(x) = x} est non vide et K _a ⊂ \

n∈ N

a _n (K).

On remarque en outre que K _a est un compact (car K _a ⊂ K born´ e et K _a = (Id _E −a) ⁻¹ (0) ferm´ e) convexe par lin´ earit´ e de a.

Soit a ⁰ ∈ A alors, pour x ∈ K _a , a ⁰ (x) = a ⁰ ◦ a(x) = a ◦ a ⁰ (x) donc a ⁰ (x) ∈ K _a donc a ⁰ (K _a ) ⊂ K _a . On peut donc appliquer le r´ esultat pr´ ec´ edent ` a a ⁰ et K _a et par cons´ equent K _a ∩ K _a

6= ∅.

Par une r´ ecurrence imm´ ediate, on prouve que, si a ₁ , a ₂ . . . , a _p sont des ´ el´ ements de A alors

p

\

i=1

K a

6= ∅.

Solution 2

(1) On a |Φ(u)| ₆ kuk

+∞

P

n=0

1

2 ⁿ = 2kuk d’o` u Φ est continue et kΦk ₆ 2.

On consid` ere la suite (u ^p ) de E d´ efinie par u ^p _n =

( 1 si n ₆ p

0 si n > p alors, par un calcul imm´ ediat, on a Φ(u ^p ) = 1 − (1/2) ^p+1

1 − 1/2 = 2 − 2 ^−p → 2 d’o` u kΦk = 2.

(2) Φ(u) = 2 ln 2 (D.S.E. de ln(1 + x)). On utilise alors la formule d(u, H) = |Φ(u)|

kΦk = ln 2 : On a tout d’abord |Φ(u − y)| = |Φ(u)| ₆ kΦk.ku − yk pour tout y ∈ H par cons´ equent

|Φ(u)| ₆ kΦk d(u, H).

Soit maintenant a ∈ S(0, 1) tel que |Φ(a)| _> kΦk − ε : on peut ´ ecrire u = y + Φ(u)α o` u α = a

Φ(a) et y ∈ H. Alors ku − yk = |Φ(u)|.kαk = |Φ(u)|

|Φ(a)| donc

d(u, H )(kΦk − ε) 6 ku − yk(kΦk − ε) ₆ ku − yk.|Φ(a)| ₆ |Φ(u)|

et ceci pour tout ε > 0 d’o` u l’in´ egalit´ e

d(u, H).kΦk 6 |Φ(u)|

ce qui permet de conclure ` a l’´ egalit´ e d(u, H ) = |Φ(u)|

kΦk .

(3) On reprend la d´ emonstration ci-dessus en prenant pour a la suite u ^p . Φ(u ^p ) = 2 − 2 ^−p d’o` u, avec y ^p = u − 2 ln 2

2 − 2 ^−p u ^p ,

ku − y ^p k(2 − 2 ^−p ) 6 |Φ(u)| = 2 ln 2 soit ku − y ^p k 6 ln 2

1 − 2 ^−p−1 = d(u, H )

1 − 2 ^−p−1 6 d(u, H )(1 + ₂ ¹

).