Soit E un C -espace vectoriel de dimension finie N et soit f ∈ L(E). On note P f (X) = (−1) N Q p

Universit´ e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths

Equations Diff´ erentielles 2012-2013

Correction du Devoir Maison no. 2 Rappels d’Alg` ebre Lin´ eaire

Exercice 14

Soit E un C -espace vectoriel de dimension finie N et soit f ∈ L(E). On note P _f (X) = (−1) ^N Q p

i=1 (X − λ i ) ^α

son polynˆ ome caract´ eristique et Q f son polynˆ ome minimal. Pour tout i, soit N _i = Ker(f − λ _i Id) ^α

le sous-espace caract´ eristique de f associ´ e ` a la valeur propre λ _i . Justifier les points suivants :

1. Pour tout i, N _i est stable par f . 2. On a E = N 1 ⊕ · · · ⊕ N p .

3. Pour tout i, dim N i = α i .

4. Q _f (X) divise le polynˆ ome caract´ eristique P _f (X). On le note Q _f (X) = Q p

i=1 (X − λ _i ) ^β

, avec 1 ≤ β i ≤ α i .

5. N i = ker(f − λ i Id) ^β

.

6. f est diagonalisable si et seulement si β _i = 1 pour i = 1, · · · , p.

Solution

1. On utilise le lemme suivant.

Lemme 1 Soient E un C -espace vectoriel, f et g des endomorphismes de E qui com- mutent (i.e. f ◦ g = g ◦ f). Alors Ker(g) et Im(g) sont stables par f .

Pour tout i, notons P i le polynˆ ome P i (X) = (X − λ 1 ) ^α

. Alors N i = Ker(P i (f)). De plus, f et P _i (f ) commutent (l’alg` ebre C [f ] est commutative !). Par le Lemme 1, N _i est donc stable par f .

2. On utilise les deux r´ esultats suivants.

Proposition 2 (Lemme des noyaux) Soient f ∈ L(E), (P _i ) 1≤i≤p une famille de polynˆ omes deux ` a deux premiers entre eux. Alors

Ker((

p

Y

i=1

P _i )(f )) =

p

M

i=1

Ker(P _i (f )).

Ici, les polynˆ omes P i (1 ≤ i ≤ p) d´ efinis ` a la question pr´ ec´ edente sont bien premiers entre eux (ils n’ont pas de racine commune). Par la Proposition 2, on a donc

Ker((P f )(f)) = Ker((

p

Y

i=1

P i )(f)) =

p

M

i=1

Ker(P i (f )) = N 1 ⊕ · · · ⊕ N p .

Proposition 3 (Th´ eor` eme de Cayley-Hamilton) Le polynˆ ome caract´ eristique P _f de f est un polynˆ ome annulateur de f (i.e. P _f (f ) = 0 _L(E) ).

Par la proposition 3, on obtient finalement

E = N ₁ ⊕ · · · ⊕ N _p . En particulier, dim(E) = P

i dim(N _i ).

3. Commen¸ cons par d´ emontrer les r´ esultats interm´ ediaires suivants.

Proposition 4 Soit n ∈ L(E) un endomorphisme nilpotent. Alors P n (X) = (−1) ^N X ^N (o` u N = dim(E)).

En effet, si λ ∈ C est une valeur propre de n et v un vecteur propre associ´ e ` a λ, on a par un calcul rapide

∀q ∈ N, n ^q (v) = λ ^q v.

Or pour q ´ egale ` a l’indice de nilpotence de n, on obtient n ^q (v) = 0 = λ ^q v. Comme v 6=

0 _E , λ ^q = 0 et donc λ = 0. Finalement, P _n (X) = (−1) ^N Q p

i=1 (X − λ _i ) ^α

= (−1) ^N X ^N . Proposition 5 Soit F un s.e.v strict de E (i.e. F 6= E et F 6= {0 _E }). On suppose que F est stable par f et on note g = f _|F la restriction de f ` a F. Alors g ∈ L(F ) et P <sub>g</sub> divise P <sub>f</sub> . En effet, F ´ etant stable par f , sa restriction g au s.e.v F est un endomorphisme de F . De plus consid´ erons une base B <sup>0</sup> = (e <sub>1</sub> , · · · , e <sub>r</sub> ) de F qu’on compl` ete en une base B(e ₁ , · · · , e N ) de E. La matrice de f dans cette base est de la forme

Mat(f, B) =

A C

0 B

o` u A = Mat(g, B ⁰ ).

Alors P _f =

A − XI r C 0 B − XI N−r

= det(A−XI _r )·det(B −XI _{N −r} ) = P g (X)·det(B−XI _N−r ).

On peut ` a pr´ esent d´ emontrer le r´ esultat demand´ e. Pour tout i, le s.e.v N i est stable par f , donc ´ egalement par f − λ _i Id. Notons f _i (resp. n _i ) la restriction de f (resp. f − λ _i Id)

`

a N _i . f _i , n _i ∈ L(N _i ). Par d´ efinition de N _i = Ker(f − λ _i Id) ^α

, on a n ^α _i

= 0. Donc n _i est nilpotente, et par la Proposition 4,

P n

= (−1) ^dim(N

⁾ X ^dim(N

⁾ .

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Ainsi, P _f

= (−1) ^dim(N

⁾ (X − λ i ) ^dim(N

⁾ .

Par la proposition 5, on sait de plus que P f

divise P f (−1) ^N Q p

i=1 (X − λ i ) ^α

. On a donc finalement pour tout i,

dim(N _i ) ≤ α _i . Comme enfin on a

dim(E) = deg(P _f ) = α ₁ + · · · + α _p et

dim(E) = dim(N 1 ) + · · · + dim(N p ) et que dim(N i ) ≤ α i pour tout i, on obtient finalement

dim(N i ) = α i .

4. Rappelons la d´ efinition du polynˆ ome minimal. Notons I = {P ∈ C [X]|P (f ) = 0 _L(E) } l’ensemble des polynˆ omes annulateurs de f . Cet ensemble est non vide (il contient par exemple le polynˆ ome caract´ eristique P _f de f - ou la famille (Id _E , f, · · · , f ^N

) de L(E) de dimension N ² est li´ ee) et on montre facilement que c’est un id´ eal de C [X] (groupe pour l’addition, stable par produit avec un polynˆ ome quelconque). Comme l’anneau C [X] est principal (car muni d’une division euclidienne), il existe un unique polynˆ ome unitaire Q _f tel que

I = hQ _f i.

Ce polynˆ ome est par d´ efinition le polynˆ ome minimal de f . Par la Proposition 3 (Th.

de Cayley-Hamilton), Q _f divise P _f = (−1) ^N Q p

i=1 (X − λ _i ) ^α

. Ainsi, Q f (X) =

p

Y

i=1

(X − λ i ) ^β

avec β i ≤ α i pour tout i.

Reste ` a montrer que β i ≥ 1 pour tout i. On utilise le r´ esultat suivant.

Proposition 6 Soit f ∈ L(E) et Q ∈ C [X] un polynˆ ome annulateur de f . Alors les valeurs propres de f sont racines de Q.

En effet si λ est une valeur propre de f , v un vecteur propre associ´ e, alors on montre facilement que pour tout polynˆ ome Q ∈ C [X],

Q(f)(v) = Q(λ) · v.

En particulier si Q est un polynˆ ome annulateur de f, on obtient Q(λ) · v = 0 _E . Comme v 6= 0 _E , on a finalement Q(λ) = 0.

Remarque Attention au fait qu’une racine de Q n’est pas n´ ecessairement valeur propre de f : par exemple Q(X) = (X − 1)(X − 2) est annulateur de Id _E , mais 2 n’est pas valeur propre de Id.

Ici pour tout i, λ _i est donc racine de Q _f qui est un polynˆ ome annulateur de f . Donc β i ≥ 1 ce qui termine la preuve de cette question.

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5. Puisque β i ≥ α i pour tout i, on a l’inclusion

Ker(f − λ i Id) ^β

⊆ Ker(f − λ i Id) ^α

.

Comme Q _f est annulateur de f, et en utilisant la Proposition 2, on obtient E = Ker(Q(f )) = Ker

p

Y

i=1

(X − λ _i ) ^β

(f )

!

= Ker(f − λ _i Id) ^β

⊕ · · · ⊕ Ker(f − λ _i Id) ^β

. Enfin, rappelons que

E = Ker(f − λ _i Id) ^α

⊕ · · · ⊕ Ker(f − λ _i Id) ^α

. On en d´ eduit donc que Ker(f − λ _i Id) ^β

= Ker(f − λ _i Id) ^α

.

6. Si β i = 1 pour tout i, alors N i = Ker(f − λ i ) et E est somme direct des s.e. propres de f . Donc f est diagonalisable.

R´ eciproquement, si f est diagonalisable alors

E = Ker(f − λ ₁ Id) ⊕ · · · ⊕ Ker(f − λ ₁ Id).

Par la Proposition 3, on obtient donc E = Ker Y

i

(X − λ i )(f )

!

et Q = Q

i (X − λ i ) est un polynˆ ome annulateur de f . En particulier Q _f divise Q. Donc β _i ≤ 1 pour tout i. Comme on avait montr´ e que β _i ≥ 1, on a donc

β _i = 1 pour tout i = 1, · · · p.

Remarque On a en fait montr´ e les ´ equivalences suivantes

f est diagonalisable ⇔ dim Ker(f − λ _i Id) = α _i pour tout i = 1, · · · , p,

⇔ le polynˆ ome minimal Q _f est scind´ e ` a racines simples,

⇔ f admet un polynˆ ome annulateur scind´ e ` a racines simples.

R´ ef´ erences

• X. Gourdon - Les maths en tˆ ete - Alg` ebre - Ellipses.

• G. Debeaumarch´ e - Manuel de math´ ematiques - Volume 4 Alg` ebre et g´ eom´ etrie - 2e ann´ ee de pr´ epas scientifiques MP-MP* - Ellipses.

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