Mai 2018 L3
Math´ematiques
Alg`ebre lin´eaire et bilin´eaire. Sujet A.
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Pour les exercices une r´eponse non justifi´ee n’est pas prise en compte T ´EL ´EPHONE SORTI DU SAC = EXCLUSION DE L’ ´EPREUVE
SUJET POS ´E SUR LE C ˆOT ´E, C ˆOT ´E QCM = EXCLUSION DE L’ ´EPREUVE Exercice 1. Soit f ∈L(E) o`u E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K. Soit p(x) = p1(x)p2(x) ∈ K[x] avec p1(x) et p2(x) premiers entre eux et de degr´e positif. D´emontrer que
Ker(p(f)) = Ker(p1(f))⊕Ker(p2(f)).
Exercice 2.
a) Sin≥2 et λest un nombre complexe fix´e, d´emontrer qu’il existe un nombre infini de matrices B ∈Mn(C) telles queB2 =λIn.
b) Supposons Adiagonalisable, donc
E =Cn=⊕ri=1Eλi(A) ni:=dimCEλi(A).
D´emontrer que siB ∈Mn(C) est telle queB2 =A alorsB(Eλ(A))⊆Eλ(A).En d´eduire que dans ce cas il existe une matrice inversibleP ∈GLn(C) telle que:
P−1BP est une matrice diagonale par blocs avec blocs diagonaux de taille ni
P−1AP est une matrice diagonale par blocs avec blocs diagonaux λ1In1, ..., λrInr.
c) D´emontrer que si χA(x) a racines simples alors tout B ∈Mn(C) tel queB2 =A est diagonalis- able.
d) D´emontrer que si χA(x) a racines simples il y a un nombre fini non nul de matricesB ∈Mn(C) telles queB2=A.
e) Si n = 2, trouver une matrice A ∈ M2(C) pour laquelle l’´equation B2 = A n’admet pas de solution.
f )Soitλ >0 un nombre r´eel. Demontrer qu’il existe une unique matrice sym´etrique d´efinie positive B ∈Sn(R)++ telle que B2 =λI.
g) Soit A∈Sn(R)++.D´emonter qu’il existe une unique matriceB ∈Sn(R)++ telle que B2=A.
TOURNER SVP
QCM. ENTOURER la bonne r´eponse.
Bonne r´eponse = +1,25. Mauvaise r´eponse = -0,25 (sauf question k) h) Les matricesA, B∈M3(C)
A=
0 −1 1
1
2 2 −12
0 1 1
, B =
1 2 0 12 0 1 0
−12 0 32
sont
´
equivalentes et semblables ni ´equivalentes ni semblables ´equivalentes mais pas semblables i) Les matricesA, B∈M3(R), A=2 1 2
1−1 3 2 3 2
, B =0 1 1
1 0 1 1 1 0
sont congruentes.
VRAI FAUX
j) Les matricesA, B ∈M3(Z/5Z) A=
¯1 ¯0 ¯1
¯0 ¯1 ¯2
¯1 ¯2 ¯2
, B=
¯1 ¯0 ¯2
¯0 ¯1 ¯3
¯2 ¯3 ¯1
sont congruentes.
VRAI FAUX
k) SoitA=
1 0 0 0
0 1 0 0
−2−2 0 1
−2 0−1−2
.Une base de Jordanisation deA est:
µA(x) =
l)SoitEunC-espace vectoriel de dimension 6 et soitf ∈L(E). Lequel de deux cas est-il possible?
µf(x) = (x−2)5 et dim(E2(f)) = 3 µf(x) = (x−2)(x−3)2 et dim(E2(f)) = 3
m) La base B= (v1 =1
01
, v2 =−1
−1 0
, v3 =0
10
) de C3 est une base de Jordanisation pour la matrice
A=
1−1 0
1 0−1
−1 0 2
∈M3(C).
VRAI FAUX
n) Soit A∈Sn(R) telle que il existep∈NetAp= 0. Alors A= 0.
VRAI FAUX
o)SoitEunC-espace vectoriel de dimension 8 et soitf ∈L(E). Lequel de deux cas est-il possible?
E peut s’´ecrire comme la somme directe de deux sous-espacesf-stables de dimension 4 mais aucun bloc de la r´eduite de Jordan de f a taille plus grande que 3.
E peut s’´ecrire comme la somme directe de deux sous-espaces f-stables de dimension 4 et dans la r´eduite de Jordan de f il y a un bloc de taille 5.
p)Toute matrice sym´etrique r´eelle peut s’´ecrire comme la diff´erence de deux matrices sym´etriques r´eelles d´efinies positives.
VRAI FAUX
q) Soit a∈C,3 ≤n∈N. Le nombre de sous-espaces Jn(a)-stables de Cn diff´erents de {0} et Cn est
0 1 n−1
