Soit (E, k k E ) un espace de Banach et (F, k k F ) un espace vectoriel normé. Soit de plus, A une partie non vide de L c (E, F ) . Alors :

Théorème de Banach-Steinhaus

Gourdon, Analyse, page 398 Théorème :

Soit (E, k k E ) un espace de Banach et (F, k k F ) un espace vectoriel normé. Soit de plus, A une partie non vide de L c (E, F ) . Alors :

1. Ou bien (kf k L ) f∈A est borné.

2. Ou bien il existe x ∈ E tel que sup

f∈A kf (x)k F = +∞.

• Soit k ∈ N. Posons O k = (

x ∈ E / sup

f∈A kf (x)k F > k )

.

An d'appliquer le théorème de Baire, montrons que O k est un ouvert de E . Pour g ∈ A , dénissons V _g ^k = {x ∈ E / kg(x)k F > k} . Il est clair que S

g∈A

V _g ^k ⊂ O k .

De plus, si x ∈ O k , il existe g ∈ A tel que kg(x)k F > k , car sinon, pour tout f ∈ A , on aurait kf(x)k F ≤ k et donc sup

f∈A

kf (x)k F ≤ k . Ainsi O k ⊂ S

g∈A

V _g ^k , et nalement,

(1) O k = [

g∈A

V _g ^k

Pour g ∈ A, posons ϕ g : E → R

x 7→ kg(x)k F . L'application g et l'application y 7→ kyk F étant continues, il en est donc de même de ϕ g . Ainsi, comme V _g ^k = ϕ ⁻¹ _g (]k, +∞[) , V _g ^k est un ouvert de E .

Finalement, l'égalité (1) prouve que O k est un ouvert de E.

• 1er cas : pour tout k ∈ N, l'ouvert O k est dense dans E.

L'espace E étant complet, le théorème de Baire prouve alors que T

k∈N

O k est dense dans E . En particulier, T

k∈N

O k 6= ∅ . Soit donc x 0 ∈ T

k∈N

O k . Alors, pour tout k ∈ N , sup

f∈A

kf (x 0 )k F > k . A la limite sur k , il vient ainsi que sup

f∈A

kf (x 0 )k F = +∞ .

• 2ème cas : il existe un entier k 0 tel que O k

0

ne soit pas dense dans E . ( O k

0

peut même être vide).

Il existe donc x ₁ ∈ E et r ₁ > 0 tels que B(x ₁ , r ₁ ) ∩ O _k

₀

= ∅ , où

B(x 1 , r 1 ) = {x ∈ E / kx − x 1 k E < r 1 } Ainsi,

(2) ∀y ∈ B(x 1 , r 1 ), ∀f ∈ A, kf (y)k F ≤ k 0

Soit alors x ∈ E tel que kxk E = 1. Soit de plus f ∈ A.

Comme r 1

2 x+x 1 ∈ B(x 1 , r 1 ) , d'après (2) , on a °

° °f ³ r 1

2 x + x 1

´° °

° F ≤ k 0 . Mais la linéarité de f donne f (x) = 2 r 1

f ³ r 1

2 x + x 1

´

− 2

r 1 f (x 1 ) . De plus, x 1 ∈ B(x 1 , r 1 ) , ainsi kf (x 1 )k F ≤ k 0 . Finalement, kf (x)k F ≤ 2

r 1 k 0 + 2

r 1 k 0 = 4k 0

r 1 = M et donc kf k L ≤ M . Bref, pour tout f ∈ A , kf k L ≤ M . Finalement, (kf k L ) f∈A est borné.

Application 1 : Soit (E, k k E ) un espace de Banach et (F, k k F ) un espace vectoriel normé. Soit de plus (f n ) une suite de L c (E, F ) convergeant simplement vers f : E → F . Alors f ∈ L c (E, F ) .

En eet, l'application f , limite simple d'applications linéaires, est elle aussi linéaire. La seule diculté réside dans la continuité de f .

• Soit A = {f n / n ∈ N} ⊂ L c (E, F ). Soit de plus x ∈ E.

Comme lim

n→+∞ kf n (x) − f (x)k F = 0, la suite (kf n (x)k F ) est donc bornée et ainsi, sup

g∈A kg(x)k F < +∞.

D'après le théorème précédent, (kgk L ) g∈A est borné : il existe donc M ∈ R ⁺ tel que pour tout entier n, kf n k L ≤ M . Finalement, pour tout x ∈ E , et pour tout n ∈ N , kf n (x)k F ≤ M kxk E . A la limite sur n , il vient, pour tout x de E , kf (x)k F ≤ M kxk E . AInsi, f est continue et f ∈ L c (E, F ) .

1

Application 2 : Il existe des fonctions continues diérentes de la somme de leur série de Fourier.

• Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans C, 2π-périodiques. Munissons E de la norme k k ∞ dénie par :

∀f ∈ E, kfk ∞ = sup

t∈[−π,π]

|f (t)|

Pour p ∈ Z , posons c p (f) = 1 2π

Z _π

−π

f (t)e ^−ipt dt .

• Soit n ∈ N . On dénit ϕ n :

E → C

f 7→ P ⁿ

p=−n

c p (f ) .

Pour f ∈ E , ϕ n (f ) représente donc la somme partielle de la série de Fourier associée à f , prise au point 0 . Il est clair que ϕ n ∈ L(E, C) . Par ailleurs, pour t ∈ [−π, π]\{0} , on a

X n

p=−n

e ^−ipt = e ^int 1 − e ^−i(2n+1)t

1 − e ^−it = e ^int e ⁻ⁱ (

²ⁿ⁺¹2

t ) e ⁻ⁱ

^2t

sin ¡ _2n+1

2 t ¢ sin ¡ _t

2

¢ = sin ¡ _2n+1

2 t ¢ sin ¡ _t

2

¢

Dénissons alors h n :

[−π, π] → C

t 7→

 



sin ¡ _2n+1

2 t ¢ sin ¡ _t

2

¢ si t 6= 0 2n + 1 sinon

. Notons que h n est continue. Pour f ∈ E , on a donc

ϕ n (f ) = 1 2π

Z _π

−π

h n (t)f (t)dt, soit

|ϕ n (f )| ≤ µ 1

2π Z _π

−π

|h n (t)|dt

¶ kf k ∞

Ainsi, ϕ n est continue et kϕ n k L ≤ 1 2π

Z _π

−π

|h n (t)|dt .

Soit alors q ∈ N. Soit f q l'application 2π-périodique dénie par : pour tout t ∈ [−π, π], f q (t) = h n (t)

|h n (t)| + ¹ _q . On vérie sans peine que f q ∈ E.

Posons δ q =

¯ ¯

¯ϕ n (f q ) − _2π ¹ R _π

−π |h n (t)|dt

¯ ¯

¯. Alors δ q ≤ 1

2π Z _π

−π

¯ ¯

¯ ¯

¯

h ² _n (t) − |h n (t)| ² − ¹ _q |h n (t)|

|h n (t)| + ¹ _q

¯ ¯

¯ ¯

¯ dt ≤ 1 2πq

Z _π

−π

|h n (t)|

|h n (t)| + ¹ _q dt ≤ 1 q Ainsi,

(3) lim

q→+∞ ϕ n (f q ) = 1 2π

Z _π

−π

|h n (t)|dt

Mais ϕ n (f q ) = |ϕ n (f q )| ≤ kϕ n k L kf q k ∞ ≤ kϕ n k L car kf q k ∞ ≤ 1 . A la limite, avec (3) , on obtient donc kϕ n k L ≥ 1

2π Z _π

−π

|h n (t)|dt . Finalement, kϕ n k L = 1

2π Z _π

−π

|h n (t)|dt = 1 2π

Z _π

−π

¯ ¯

¯ ¯

¯

sin ¡ _2n+1

2 t ¢ sin ¡ _t

2

¢

¯ ¯

¯ ¯

¯ dt.

• Comme pour tout x ∈ R, | sin x| ≤ |x|, on a donc (4) kϕ n k L ≥ 1

2π Z _π

−π

| sin ¡ _2n+1

2 t ¢

¯ |

¯ ^t

2

¯ ¯ dt = 2 π

Z _π

0

¯ ¯ sin ¡ _2n+1

2 t ¢¯ ¯ t dt ≥ 2

π Z

²ⁿ⁺¹

2

π 0

| sin u|

u du Or, on sait que lim

X→+∞

R _X

0

|sin u|

u du = +∞.

D'après (4), on obtient donc

(5) lim

n→+∞ kϕ n k L = +∞

• Mais (E, k k ∞ ) est un espace de Banch, aussi le théorème de Banach-Steinhaus s'applique-t-il. D'après (5), (kϕ n k L ) n'est pas borné : aussi existe-t-il f 0 ∈ E tel que sup

n∈N |ϕ n (f 0 )| = +∞. La série de Fourier de f 0 diverge donc en 0, car sinon, la suite (ϕ n (f 0 )) serait convergente et a fortiori bornée. Par conséquent, f 0 dière de la somme de sa série de Fourier.

• En conclusion, il existe des fonctions continues qui dièrent de la somme de leur série de Fourier.

2