PanaMaths Janvier 2013
Soit E un K-espace vectoriel.
Soit F, G et H trois sous-espaces vectoriels de E.
Comparer F ∩
⎛⎜⎝G + ( F H ∩ )⎞⎟⎠ et ( F G ∩ ) ( + F H ∩ ) .
Analyse
En général, on n’a pas F∩
(
G+H) (
= F∩G) (
+ F∩H)
! (considérez, par exemple, trois droites non parallèles deux à deux d’un plan vectoriel)La situation proposée est légèrement différente et … l’intersection « F∩H » change tout ! Ainsi, il convient bien de montrer l’égalité de F∩
(
G+(
F∩H) )
et de(
F∩G) (
+ F∩H)
.Egalité que nous établissons « tranquillement » par double inclusion.
Résolution
Soit x∈F∩
(
G+(
F∩H) )
.On a x∈F et x∈ +G
(
F∩H)
.Comme x∈ +G
(
F∩H)
, on peut écrire : x= +x1 x2 avec x1∈G et x2∈F∩H. Il vient alors : x1= −x x2 avec x∈F et x2∈F∩H⊂F.Comme F est un sous-espace vectoriel de E, on en déduit x− ∈x2 F, soit x1∈F. Comme x1∈G et x1∈F, on a, en définitive : x1∈F∩G.
Ainsi, on a : x= +x1 x2 avec x1∈F∩G et x2∈F∩H, soit : x∈
(
F∩G) (
+ F∩H)
.On a donc : F∩
(
G+(
F∩H) )
⊂(
F∩G) (
+ F∩H)
.Soit maintenant x∈
(
F∩G) (
+ F∩H)
.On peut écrire : x= +x1 x2 avec x1∈F∩G et x2∈F∩H.
Comme x1∈F∩G⊂F et x2∈F∩H⊂F et comme F est un sous-espace vectoriel de E, il vient : x1+x2 = ∈x F.
Par ailleurs, x1∈F∩G⊂G et x2∈F∩H donc x1+x2= ∈ +x G
(
F∩H)
.PanaMaths Janvier 2013
Ainsi, on a : x∈F et x∈ +G
(
F∩H)
d’où : x∈F∩(
G+(
F∩H) )
.On a donc :
(
F∩G) (
+ F∩H)
⊂F∩(
G+(
F∩H) )
.Résultat final
Si F, G et H sont trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, on a :
( )
( ) ( ) ( )
F∩ G+ F∩H = F∩G + F∩H
