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Soit E un espace vectoriel euclidien.

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Academic year: 2022

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PanaMaths Février 2012

Soit E un espace vectoriel euclidien.

Quels sont les endomorphismes de E autoadjoints et orthogonaux ?

Analyse

Une question très proche du cours. On commence par traduire simplement les deux conditions au niveau de l’adjoint.

Résolution

Soit f un endomorphisme de E, autoadjoint et orthogonal.

Comme f est autoadjoint, on a : f*= f . Comme f est orthogonal, on a : f*= f−1.

On en déduit : f = f−1, soit f Df =IdE.

L’endomorphisme f est donc une symétrie vectorielle. Puisqu’il est autoadjoint, il s’agit donc d’une symétrie orthogonale.

Réciproquement une symétrie orthogonale d’une espace vectoriel euclidien est bien … orthogonale et autoadjointe !

Résultat final

Les endomorphismes autoadjoints et orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien sont les symétries orthogonales de cet espace.

Références

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